Variables aleatorias -Práctica-

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K.R. 2020 
UNIDADES 4 Y 5. Variables aleatorias y modelos de distribución de 
probabilidades. 
Ejercicios resueltos 
Las variables aleatorias son aquellas cuyos valores se obtienen mediante algún 
tipo de experimento aleatorio. Un ejemplo común de estas variables es el resultado 
obtenido del lanzamiento de una moneda o de un dado, puesto se sabe las diferentes 
opciones de resultados (con la moneda cara o sello, y con los dados un número del 1 al 
6) pero no se sabe con exactitud cuál será el resultado 
Las variables aleatorias se separan en dos grupos, las discretas y las continuas. 
Las discretas se conoce como un conjunto de valores numerable, en el 100% de los 
casos siendo estos resultados números enteros (número de hijos por familia, cantidad 
de personas en un supermercado, etc); mientras que las continuas miden valores no 
numerables, en otras palabras, números con decimales (peso de los estudiantes, altura 
de los niños, etc). 
Dentro de las variables aleatorias se encuentran los modelos de distribución de 
probabilidades, también categorizados en discretas y continuas. Como primer modelo de 
probabilidad discreto, tenemos la Distribución Binomial. Este modelo se usará cuando 
solo haya dos posibles resultados en el experimento (éxito y fracaso), si las 
probabilidades de cada suceso son las mismas en cada realización del experimento y, si 
toda realización del experimento es independiente del resto. 
La fórmula de este modelo de distrubición es la siguiente: 
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Ejercicio. Un agente de seguros vende pólizas a cinco personas de la misma 
edad y que disfrutan de buena salud. Según las tablas actuales, la probabilidad de que 
una persona en estas condiciones viva 30 años o más es 2/3. Encontrar la probabilidad 
de que, transcurridos 30 años vivan: a) las 5 personas; b) al menos 3 personas; c) 
exactamente 2 personas. 
Para resolver este ejercicio, primero se deben tener los datos en claro. La 
probabilidad de éxito p, en este caso se refiere a la probabilidad de que las personas 
vivan 30 años o más, es de 2/3. La probabilidad de fracaso q es 1 – p, por ende es 1/3. 
Luego, el número de experimentos n es 5, que son las personas que contrataron el 
seguro. Para el literal a piden la probabilidad de que las 5 personas estén vivas, por tanto 
el número de éxitos x es 5. 
 
Para calcular el literal b, ya es un poco más complicado. Primero, como el ejercicio 
pide la probabilidad de que al menos tres personas sigan vivas, es decir, de tres personas 
en adelante (3, 4 y 5 personas). Para esto, se debe calcular la probabilidad de que 3, 4 
y 5 personas sigan vivas y luego sumarlas. Y por último, el literal c se resuelve 
exactamente de la misma manera que el literal a, simplemente se toma como x el número 
de personas que nos da el enunciado, que es 2. 
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El segundo modelo de probabilidades discreto es la Distribución Geométrica. 
Este modelo se debe aplicar cuando se desea calcular la probabilidad de que ocurra un 
éxito por primera y única vez en el experimento que se está haciendo. La probabilidad 
se calcula con la siguiente fórmula: 
 
Ejercicio. Los registros de una compañía constructora de pozos indica que la 
probabilidad de que uno de sus pozos nuevos requiera reparaciones en el término de un 
año 0,20. ¿Cuál es la probabilidad de que el quinto pozo construido por esta compañía 
en un año sea el primero en requerir reparaciones? 
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Los datos en este ejercicio están claramente identificados en el enunciado, 
teniendo p 0 20 y q 0,80 (1 – p), y x sería 5. 
 
El tercer modelo de de distribución de probabilidades es la Distribución Binomial 
negativa. Este modelo se utiliza con las mismas condiciones que la distribución binomial, 
pero se le agrega una muy específica que la diferencia de esa, y es que los intentos 
continuan hasta conseguir r éxitos. La fórmula es la siguiente: 
 
Ejercicio. Se sabe que la probabilidad de que un niño expuesto a una enfermedad 
contagiosa es de 0,40. Calcula la probabilidad de que el décimo niño estudiado sea el 
tercero en contraer la enfermedad. 
Para la resolución de este ejercicio se deben sacar los datos y luego aplicar la 
fórmula. Recuerden, el primer paréntesis no es una fracción, es una combinación. 
 
 
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El último modelo de probabilidades que trataremos será la Distribución Poisson. 
Este modelo en específico se aplicará cuando se mencione el número de veces que 
sucede un fenómeno en un espacio de tiempo o un lugar determinado. La fórmula es la 
siguiente: 
 
Ejercicio. En una carretera se producen un promedio de 2 accidentes anuales. 
Calcule la probabilidad de que este año se produzcan más de 3 accidentes. El promedio 
de ocurrencia lambda es 2, que es la cantidad promedio de accidentes en el año, y x es 
3. Como se pregunta la probabilidad de ocurrencia de más de tres accidentes, esto 
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abarca de 4 accidente hasta el infinito, por lo que se debe calcular la inversa, que sería 
1 – la probabilidad de que se produzcan tres accidentes o menos. 
 
 
Al finalizar todos los cálculos en todos los modelos de distribución, deben colocar 
una breve respuesta a la pregunta que se hace en el enunciado o sobre lo que se pide 
calcular. Por ejemplo, en este último ejercicio, la respuesta sería La probabilidade de que 
ocurran más de 3 accidentes en un año es del 14%. Repito, debe hacerse en todos los 
ejercicios. 
Los modelos de probabilidad continuos son muchos y variados, siendo el más 
común la Distribución normal como aproximación a la binomial, donde se resuelve 
un ejercicio con aspectos de distribución binomial pero no cumple con los requisitos para 
resolverlo a través de ese modelo. Debido a la complejidad de los modelos continuos, no 
aparecerán en el examen, más sin embargo deben investigar sobre ellos.