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Prof. Enrique Mateus N.
Doctorando en Educación Matemática.
1
Serie matemática
En matemáticas, una serie es la generalización de la noción de suma a los términos de una sucesión
infinita. Informalmente, es el resultado de sumar los términos: n2 a,,a,a 1 lo cual suele escribirse en
forma más compacta con el símbolo de sumatorio: na . El estudio de las series consiste en la
evaluación de la suma de un número finito n de términos sucesivos, y mediante un pasaje al límite
identificar el comportamiento de la serie a medida que n crece indefinidamente.
Una secuencia o cadena «finita», tiene un primer y último término bien definidos; en cambio en una
serie infinita, cada uno de los términos suele obtenerse a partir de una determinada regla o fórmula,
o por algún algoritmo. Al tener infinitos términos, esta noción suele expresarse como serie infinita,
pero a diferencia de las sumas finitas, las series infinitas requieren de herramientas del análisis
matemático para ser debidamente comprendidas y manipuladas. Existe una gran cantidad de
métodos para determinar la naturaleza de convergencia o no-convergencia de las series
matemáticas, sin realizar explícitamente los cálculos.
Definiciones
Sumas Parciales: Para cualquier secuencia  na de números racionales, reales, complejos, sus
funciones, etc., la serie asociada se define como la suma formal ordenada: 



0
10
n
nn aaaa 
que corresponde a las siguientes sumas parciales:
nn aaaaS
aaaS
aaS
aS






321
3213
212
11
La sucesión de sumas parciales  kS asociada a una sucesión  na está definida para
cada k como la suma de la sucesión  na desde 0a hasta ka : 


k
n
knk aaaaS
0
10 
Muchas de
las propiedades generales de las series suelen enunciarse en términos de las sumas parciales
asociadas.
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Convergencia: Por definición, la serie 

0n
na converge al límite L si y solo si la sucesión de
sumas parciales asociada kS converge a L . Esta definición suele escribirse como

 

k
n
k
k
n SlimLaL
0
.
Ejemplos
 En una serie "p" cada término se obtiene multiplicando el anterior por una constante, llamada
razón r. En este ejemplo,
2
1r : .
n
n



0 2
1
4
1
2
1
1 
 En general, una serie geométrica es convergente, sólo si 1,r  a: 

 

0 1n
n
z
a
za
 La serie armónica es la serie .
nn




1
1
4
1
3
1
2
1
1  La serie armónica es divergente.
 Una serie alternada es una serie donde los términos cambian de signo:
.
n
(-1)
n
n
1
4
1
3
1
2
1
1
1
0


 
 Una serie telescópica es la suma  na , donde :bba nnn 1 


N
n
nn )bb(
0
1
La convergencia
de dicha serie y su suma se pueden calcular fácilmente, ya que:
        1n
x
NNNNN blimbbbbbbbbbS 
 0112110 
 Una serie hipergeométrica es una serie de la forma: 

0n
na , con 




n
n
a
a
n
1n
Convergencia de series
Una serie  na se dice que es convergente (o que converge) si la sucesión NS de sumas parciales
tiene un límite finito. Si el límite de
NS es infinito o no existe, se dice que la serie diverge. Cuando
este límite existe, se le llama suma de la serie. La serie se puede identificar con una suma finita. El
estudio de la convergencia de series, se centra en las propiedades de las series infinitas que incluyen
infinitos términos no nulos.
Dado que estas series siempre convergen en los números reales (esto es en espacios completos), no
hay diferencia entre este tipo de series y los números decimales que representan. Por ejemplo,
0.111… y 1/9; o bien
_______
, 99901 (para quien desee profundizar este tema véase: Serie de Taylor,
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Serie de Laurent, 1 - 2 + 3 - 4 + . . ., Fórmula de Faulhaber, Serie convergente, Límite de una
sucesión, Series matemáticas)
Si la sucesión
NS tiene límite finito S, la serie es convergente (converge a S). A S se le llama suma
de la serie. Si Slim N ó,  se dice que la serie es divergente. Si NS no tiene límite, se dice
que la serie es oscilante.
Nota:
NS es la sucesión de sumas parciales, no la sucesión na
Propiedades de las series
 Propiedad asociativa: En toda serie se pueden sustituir varios términos por su suma
efectuada, sin que varíe el carácter ni la suma de la serie.
Nota:
a. La propiedad asociativa no es válida en series oscilantes.
b. La propiedad disociativa no es válida para series convergentes o divergentes.
 Propiedad distributiva:
La hipótesis es:  na Converge y su suma es S
La tesis es:  nka Converge y su suma es kS
Demostración:
 nn aS y  nn akT
saaalim Slim n0
n
n
n


1

 nn0nnn
ak SkakakaklimTlim 1 Converge y su suma es kS.
De manera análoga:
 Si  na diverge,  nak también diverge.
 Si  na es oscilante,  nak también es oscilante.
 Propiedad aditiva
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Hipótesis: Sean  nn aS y  nn bT dos series convergentes con sumas S y T
respectivamente.
Tesis: La serie
nn ba  es convergente y su suma es S + T.
Demostración:
El término n-ésimo de la serie
nn ba  es TS nn TSTlim SlimT Slim n
n
n
n
nn
n


(por
límite de una suma de sucesiones), de ahí que
nn ba  converge a TS nn 
 Propiedad de linealidad.
Hipótesis: Sean  nn aS y  nn bT dos series convergentes con sumas S y T
respectivamente, y sean h y k dos constantes
Tesis: La serie
nn ba  n es convergente y su suma es hT Sk  .
Demostración:
 na Converge a S por la propiedad distributiva,  nak converge a kS
 nn converge a T por la propiedad distributiva,  nbh converge a hT, entonces por la
propiedad aditiva
nn bhak  converge a hT Sk 
Teorema
Condición necesaria para la convergencia: Es condición necesaria para que la serie  na
sea convergente, que 0
 nn
alim .
Hipótesis  nn aS convergente. Tesis: 0
 nn
alim
Demostración
nn0n aaaa S  11  y 11  n01-n aaa S  ; 1 nnn SSa entonces: si Sn es convergente
entonces 0

SSSSlimalim Slim Slim 1-nn
n
n
n
1-n
n
n
n
Nota: Este criterio es necesario pero no suficiente, es decir que, si el término n-ésimo tiende a 0, no
se puede afirmar que la serie sea convergente.
Contraejemplo:  n
1 es divergente aunque 0
 n
1
lim
n
.
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Serie geométrica
Es Aquella cuyos términos forman una progresión geométrica. (Cada término es igual al anterior
multiplicado por una constante). Si llamamos a al primer término y k a la constante,
  1-nnn akakakaka S 12  Multiplicando ambos miembros por k tenemos:
 nnn akakakakak Sk 32 . Ahora si restamos ambas ecuaciones tenemos:
n
nn ka-a Sk S  entonces:
k
ak
k
a
k
)ak-a(
 S
nn
n 





111
Para 1k ,
k
a
 Slim n
n 

 1
pues ,k n 0 la
serie geométrica converge. Decimos en general que: La serie viene dada por




0n
nn 0acon,akakakaa.k 2 a esta construcción la llamamos serie geométrica de
razón k y termino inicial a.
Para 1k la serie diverge pues ,k n  Para 1k  la serie diverge pues Sn=na.
Para 1k  la serie es oscilante.
D Osc C D (D =diverge, C=converge, Osc= oscilante).
------|------|------
-1 1
Serie telescópica
Serie tal que cada término se expresa como una diferencia de la forma
1nnn bba 
Teorema
Suma de una serie telescópica: Sean an y bn dos sucesiones tales que 1nnn bba  .
La serie telescópica  na converge si y sólo si la sucesión bn converge y se cumple que Lban  1
donde
n
n
blimL


Demostración:
      1n11nn1nnnn bbbbbbbb)bb(aS    3221 y de ahí
1n
n
1
n
n
n
blimblim Slim 
 . Por lo tanto  na converge si y sólo si bn converge, y en ese caso su suma
es ,Lb 1 donde 1n
n
blimL 
 . (Si bn diverge,  na también).
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Ejemplo:   nnSn 2
1
1
11




nnnn
1
a
2n
y
n
bn
1
 que converge a 0, entonces   nn2
1 converge a 11 


 1n
1
lim
n
Teorema:Sea  na una sucesión cualquiera de números reales, y sea  nb una sucesión obtenida a
partir de  na , eliminando, añadiendo o modificando términos. Entonces: 

0n
na y 

0n
nb tienen el
mismo carácter
Teorema: (Criterio de condensación de Cauchy):
Sea  na una sucesión decreciente de términos no negativos. Entonces: 

0n
na. es convergente




0n
nb. es convergente
Definición:
a) Llamamos p-serie, con p>0, a la serie de la 



1n
ppp 2
1
1
1
n
1

b) En el caso de que p=1, la serie recibe el nombre de serie armónica
Serie de términos positivos (STP)
Es una serie  na tal que 0na para todo n. (La serie es siempre una sucesión creciente). Un
Ejemplo: es  n2
1
Criterios de convergencia para STP
Teorema previo: Una serie de términos positivos na converge si y sólo si la sucesión de sus
sumas parciales está acotada superiormente
Demostración:
Directo:  na converge, entonces 

S Slim n
n
(por def. de límite finito de una sucesión) para todo
  S S- SN,n/N0, n , por tanto Sn está acotada superiormente.
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Recíproco:  na es monótona creciente por ser de términos positivos. n,MSn  . Toda sucesión
monótona y acotada converge, entonces Sn converge. Como ejemplo veamos  !n
1
1n,
!n 1-n

2
11 Pues 1-n!n 2 ya que n! es el producto de (n-1) factores mayores o iguales que 2.
Por lo tanto   




 2
2
11
1-n
1-n2
1
!n
por ser una serie geométrica (a=1, k=1/2). Por el teorema
anterior  !n
1 converge y su suma es menor que 2.
Criterio de comparación: Sean  na y  nb dos series de términos positivos.
Si existe una constante 0c tal que n,,bca nn  entonces la convergencia de  nb implica la de
 na .
Demostración:
nnn aaaaS  21 y nnn bbbbT  21 con nnnn Tc Sn,bca  . Por
hipótesis  nn bT converge, entonces (teorema) la sucesión de sus sumas parciales está acotada
superiormente: McTcSMT nnn  , entonces  na es convergente pues la sucesión de sus
sumas parciales está acotada superiormente (teorema).
Nota: El teorema también es válido si N.n,bca nn 
Teorema: Sean  na y  nb dos series de términos positivos. Si existe una constante c > 0 tal que
n,,bca nn  entonces si  nb diverge,  na también diverge
Demostración:
 nn aS y  nn bT , si  nb diverge, entonces 
 nnnnnn
TlimccTlimTlim

 nnnnn
a SlimTcS diverge.
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Ampliación del criterio: Sean  na y  nc dos series de términos positivos.  na y nnac
convergen o divergen simultáneamente
Criterio de comparación por paso al límite: Sean na y  nb dos series de términos positivos. Si
,k
b
a
lim
n
n
n
0

entonces  na converge si y sólo si  nb converge. ( na y  nb son de la misma
clase).
Demostración:
,k
b
a
lim
n
n
n
0

Entonces, (por def. de límite finito de una sucesión)  
k
b
a
n
n
Nn/N0, o
sea   k
b
a
-k
n
n
Directo: 






 a
k
b nn 
1 por el criterio anterior, si  na converge,  nb converge.
Recíproco:    bka nn  por el criterio anterior, si  nb converge,  na converge.
Nota: Si an y bn son sucesiones equivalentes
b
a
lim
n
n
n
1

entonces por el teorema anterior,  na y  nb
son de la misma clase. Por lo tanto, para clasificar una serie de términos positivos na , se puede
sustituir an por su equivalente bn
Criterio de D'Alembert: Sea  na una serie de términos positivos. N.n,k
a
a
n
1n  1
entonces  na Converge.
Demostración:
  N.n1k,aka n1n  Entonces n1n1N2NN1n akaakaaka    . Multiplicamos:
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n1NN
Nn
nN1N aaakaaa  

 
1
12 Tenemos 1  N
N
n
1n k
ak
a n1n Hka   donde 1 N
N
k
a
H
   nk1k Converge (es una serie geométrica), entonces por la propiedad distributiva  nkH
converge; entonces por el criterio de comparación  na converge
Teorema: Sea  na una serie de términos positivos. N.n,
a
a
n
1n  1 Entonces  na diverge
Demostración: 01   Nnn1n aaaa  de ahí: an es creciente; nn an,,a  0 no tiende a 0,
entonces, (por Condición necesaria para la convergencia)  na diverge.
Corolario de D'Alembert: Sea  na una serie de términos positivos. ,L
a
a
lim
n
1n
n
1

Entonces
 na converge.
Demostración:
L
a
a
lim
n
1n
n


Entonces (por def. de límite finito de una sucesión)    L
a
a
Nn/N0
n
n 1 o
sea    l
an
a
-L 1n Para que L + ε < 1 basta elegir 11 

 lNn,L
n
1n
a
a
ε < 1 –
entonces por el teorema anterior  na converge.
Teorema: Sea  na una serie de términos positivos. ,L
a
a
lim
n
1n
n
1

Entonces  na diverge
Demostración:
L
a
a
lim
n
1n
n


Entonces (por def. de límite finito de una sucesión)    L
a
a
Nn/N0
n
n 1
o sea    l
an
a
-L 1n Para que L - ε > 1 basta elegir 1

n
1n
a
aNn,L entonces por el
teorema anterior  na diverge.
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Nota:
 Cuando 

1
n
1n
n a
a
lim la serie  na diverge. n1n
n
1n
n
aa
a
a
lim  


1 Entonces el término
general an no tiende a 0, lo que implica que  na diverge.
 Cuando 

1
n
1n
n a
a
lim D'Alembert no se aplica.
Raabe: Sea  na una serie de términos positivos.  




  IRkN,n,k
an
a
n n 11 1 . Entonces
 na converge
Demostración:
Escribamos la desigualdad como:
nnnn kaanana  1 , Pasemos an para el lado izquierdo:
  nnn kanaan  11 La desigualdad se cumple   NNN kaNaa1-N:Nn  1
    1NNn1N2NN aknaa1-nkaaNNa   21 1  Sumamos:   )HS(k)aak(anaa1-N nnNNnN   11
(donde H es la suma de los términos anteriores a aN)
k(Sn - H) <= (N-1)aN - nan+1 < (N-1)aN
Sn - H <= (N-1)aN/k
Sn <= (N-1)aN/k + H
La sucesión de sumas parciales está acotada superiormente entones por teorema,  na converge.
Lema: Sea  na una serie de términos positivos. N,n
an
a
n n 




   11 1 Entonces  na converge
Demostración:
Escribamos la desigualdad como:
nnn anana  1 y luego como:   nn anna 11  ,
      Nnnn aNananna 121 11   ,   Nn aNna 11   ,
n
Han
1
1   donde   NaNH 1 .
 n
1 Diverge, entonces por distributiva  n
1 diverge; entonces por el criterio de comparación  na
diverge.
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Generalización por paso al límite: Sea  na una serie de términos positivos.
n
n
1n
n
aL
a
a
-1lim 

1 Converge
Demostración:
L
a
a
-1lim
n
1n
n


Entonces (por def. de límite finito de una sucesión)
 





  L
a
a
-1n-NLn/N0,
n
1n Para que 1-L  basta elegir






  1-L
a
a
-1nNn1L
n
1n  por el teorema anterior  na converge.
Sucesión contenida o subsucesión:
nia está contenida en nia si in es natural y 

inlim
n
Ejemplo: na n  ,,,,n 4321
Ejemplos de sucesiones contenidas:
6,4,,:a n2 2
5,3,,:a 1-n2 1
30,20,,:a n10 10
Series alternadas
Son series de la forma:     nn a11 donde 0na Sus términos son alternadamente positivos y
negativos:     nnnn aaaaaa   143211 11 
Criterio de Leibniz:     nn a11 , ,an 0 0na monótona decreciente, entonces   nn a.11  
converge.
Demostración:
Consideremos las sumas parciales pares S2n por un lado y las sumas parciales impares S2n-1 por
otro.
S2n+2 - S2n = a1 - a2 + ... - a2n + a2n+1 - a2n+2 - (a1 - a2 + ... - a2n) = a2n+1 - a2n+2 > 0 => S2n es creciente (1)
S2n+1 - S2n-1 = a1 - a2 + ... - a2n + a2n+1 - (a1 - a2 + ... + a2n-1) = a2n+1 - a2n < 0 => S2n-1 es decreciente (2)
(3) Para todo n S2n < S2n-1 pues S2n-1 - S2n = a2n > 0
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12
012   nn2n2nn S Slim0alim
Entones (por def. de límite finito de una sucesión)
(4)S SNnN/0, n1-2n   02 De 1), 2), 3) y 4) por definición de PSMC, (S2n,S2n-1) es
un PSMC, entonces por la propiedad de que todo PSMC tiene frontera, existe c perteneciente a
c Slim Slim/IR 1-2n
n
2n
n


 . S2n y S2n-1 son sucesiones contenidas en Sn. Por el teorema anterior,
  

 n
n
n
n
a.1-c Slim 1 Converge
Convergencia absoluta: Una serie  na es absolutamente convergente si  na converge.
Teorema:  na es absolutamente convergente. Entonces  na converge.
Demostración:
 na Converge por hipótesis. Consideremos
 
2
aa
b nnn

 .
Sí
nnn ab,a  0 ; ahora, Sí 00  nn b,a . Como  na es una serie alternada (sus términos son
alternadamente positivos y negativos),
nb valdrá 0 o |an|. Por lo tanto, nn ab 0 entonces (por el
criterio de comparación)  nb converge.
Sí
nnn a-ba 2 entonces como  nb y  na convergen, por la propiedad de linealidad  na
converge.
Una serie convergente que no es absolutamente convergente se denomina condicionalmente
convergente.
Ejemplo:    n.
n 11 1 converge pero    n.1-
n 11 diverge.
   n.1-
n 11 Cumple con el criterio de Leibniz. Además,     nn.1-
n 111 que ya hemos visto que
diverge.
Serie de potencias: Es una serie de la forma n
n xa Se puede demostrar que converge en un
entorno simétrico de 0.
Determinación del radio de convergencia R: Para hallar el radio de convergencia podemos utilizar
cualquiera de la siguiente fórmula:
 D'Alembert: L
a
a
lim
n
1n
n


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Resumen
Serie geométrica:   1-nnn akakakaka S 12  Clasificación según k:
D Osc C D D
------|------|------
-1 1 Si 1k  la serie converge y su suma es
k
a
1
.
Serie telescópica:       1n11nn1nnn bbbbbbbb)bb(a   3221
 na Converge nb converge y se cumple que Lban  1 donde 1n
n
blimL 

Series de términos positivos
 Comparación
a) Si
nn bca  para ,Nn   na diverge  nb diverge
 nb converge  na converge
b) Si ,k
b
a
lim
n
n
n
0
  na y  nb son de la misma clase.
Para clasificar  na , basta con clasificar  nb , donde nb es equivalente a na .
D'Alembert:
a) 11  k
a
a
n
n para ,Nn 
11 
n
n
a
a para ,Nn 
 na converge.
 na diverge.
b) L
a
a
lim
n
1n
n

  naL 1 converge
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Doctorando en Educación Matemática.
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 naL 1 diverge
  naL 1 diverge
1óL -  1 no la clasifica
Raabe:
 N,n
an
a
n n 




   11 1  na Diverge,
 N,n
an
a
n n 




   11 1  na Converge.
 L
a
a
-1nlim
n
1n
n





 

 naL 1 diverge
 naL 1 converge
L - 1 no la clasifica
1L -   na diverge
Series alternadas
 Leibniz: 0na y  
 n
n
n
n
a1-alim 0 converge con na n monótona decreciente
 Convergencia absoluta: Si  na converge  na converge
 Serie de potencias n
n xa
Determinación del radio de convergencia R
 D'Alembert: L
a
a
lim
n
1n
n


Series usuales de comparación
 Armónica generalizada   1k,
n
1
k
converge
 Bertrand:
1
  ,lnna hkn
1
hk 1 converge
hk 1 diverge
1h sik 1 converge
1hsi  diverge
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Doctorando en Educación Matemática.
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Ejercicios.
1. Estudiar la convergencia de las siguientes series:
a. 

1n
3n
1 b. 

1
5
n n
1 c. 

1n n
1
3
4
2. Estudiar el carácter de las siguientes series:
3. Teniendo en cuenta el Teorema (Criterio de la raíz): Sea 

1n
na una serie tal que 0na para n
suficientemente grande, y sea. ,lalim n n
n


Entonces:
a) Si 1l la serie converge.
b) Si 1l la serie diverge.
c) Si 1l no se obtiene información.
Estudie el carácter de las siguientes series
a. 








1n
n
n
5000 b. 

1n
n
2n
n
e c. 

1 3n
n
3n
4. Usando el criterio de comparación con el limite, estudie el carácter de las siguientes series
Referencias
 Apóstol T. (1978). Calculos. Ed. Reverté, S.A. Barcelona. Segunda edición Tomo I.
 K.R. Stromberg, T.J. Bromwich; K. Knopp, A. Zygmund, N.K. Bari (2001), «Series», en Hazewinkel,
Michiel (en inglés), Encyclopaedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1556080104.
 Weisstein, Eric W. «Series» (en inglés). MathWorld. Wolfram Research.
 A history of the calculus (en inglés).