Parcial de fisica III 5

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Universidad Simón Boĺıvar
Departamento de F́ısica
F́ısica II (FS-2211)
2do Examen Parcial (30 %)
Sep-Dic 2016
1. (10 pts.) Una corona circular no conductora de radios R y 2R tiene una carga total Q distribuida uniformemente
sobre su superficie. Un electrón de carga −e y masa m se aproxima moviéndose a lo largo del eje de la corona
y pasa por el centro de la corona (Punto A) con una rapidez desconocida Va. Si el electrón alcanza su máxima
posición (Punto B) a una distancia
√
3R del origen y se devuelve. Calcule:
(a) (1 pto.) La densidad superficial de carga de la corona circular.
(b) (3 pts.) El potencial eléctrico para cualquier punto arbitrario P (0, 0, z) sobre el eje z.
(c) (2 pts.) A partir del potencia eléctrico V = V (z) calculado en la parte (b), obtenga el vector campo
eléctrico para cualquier punto P (0, 0, z) ubicado sobre el eje z.
(d) (4 pts.) El vector velocidad del electrón cuando pasa por el centro de la corona.
2. (12 pts.) Un condensador esférico está formado por dos cascarones esféricos concéntricos, el interior de radio
R y el exterior de radio 3R. En el espacio entre los cascarones se encuentra un material aislante de constante
dieléctrica uniforme κ que ocupa la región comprendida entre los radios R y 2R, mientras que en la región
comprendida entre los radios 2R y 3R está vaćıa. Conociendo que el cascarón interior tiene una carga −Q y el
cascarón exterior tiene una carga positiva +Q. Calcule:
(a) (4 pts.) El campo eléctrico de todos los puntos interiores del condensador.
(b) (3 pts.) La densidad superficial de carga inducida que aparece en las superficies interior, σR(r = R) y
exterior, σ2R(r = 2R).
(c) (3 pts.) La diferencia de potencial entre los cascarones esféricos.
(d) (2 pts.) La enerǵıa potencial eléctrica almacenada en el condensador
3. (8 pts.) Un condensador plano, en el vaćıo, tiene una distancia de separación entre sus placas de 3d. Una bateŕıa
que suministra una diferencia de potencial V que carga las placas de este condensador y a continuación se le
desconecta del condensador. A continuación, el espacio entre las placas del condensador, se rellena con dos
capas de dieléctricos: La primera capa tiene un espesor 2d y su constante dieléctrica es κ1 = 2; mientras que la
segunda capa de espesor d tiene una constante dieléctrica κ2 = 3. Sea V’ la nueva diferencia de potencial entre
las placas del condensador, calcule la relación
V
V ′
Soluciones
Pregunta 1
(a) σ =
Q
A
=
Q
π
[
(2R)2 −R2
] = Q
3πR2
(b) Como la distribución de carga es localizada y finita, se puede fijar V (∞) = 0 y es válido
V (~r) =
∫
k dQ
|~r − ~r′|
Escogiendo coordenadas ciĺındricas
dQ = σds
~r = zk̂
~r′ = rûr
ds = r dθ dr
se tiene
V (z) =
2π∫
0
2R∫
R
k
[
σ(r dθ dr)
]
(z2 + r2)
1
2
= kσ
2π∫
0
dθ
2R∫
R
r dr
(z2 + r2)
1
2
= kσ(2π)
[
1
2
[
z(z2 + r2)
1
2
]2R
R
]
= 2πkσ
[
(z2 + 4R2)
1
2 − (z2 +R2) 12
]
=
2
3
k
Q
R2
[
(z2 + 4R2)
1
2 − (z2 +R2) 12
]
=
Q
6πε0R2
[
(z2 + 4R2)
1
2 − (z2 +R2) 12
]
Método alternativo: usar superposición del potencial de dos discos, uno de densidad σ y radio 2R y el otro de
densidad −σ y radio R, concéntricos.
(c) Dado el potencial V (z) de la corona,
~E(z) = −dV
dz
(z)k̂ = − d
dz
[
2
3
k
Q
R2
[
(z2 + 4R2)
1
2 − (z2 +R2) 12
]]
k̂
=
2
3
k
Q
R2
[
z
(z2 +R2)
1
2
− z
(z2 + 4R2)
1
2
]
k̂ =
Q
6πε0R2
[
z
(z2 +R2)
1
2
− z
(z2 + 4R2)
1
2
]
k̂
(d) La fuerza electróstatica es conservativa, por ende,
∆E = 0⇒ ∆K = −∆U ; U(z) = e−V (z)
⇒���*
0
KB −KA = −(UB − UA)
⇒ 1
2
mv2A = e
−(V (
√
3R)− V (0))
= e−
[
2
3
k
Q
R2
[
(
√
7R2 −
√
4R2)− (
√
4R2 −
√
R2)
])
=
2
3
k(
√
7− 3)e
−Q
R
⇒ ~VA =
√
4
3
k(3−
√
7)
|e−|Q
mR
k̂ , cuando e− sube
=
√
1
3πε0
(3−
√
7)
|e−|Q
mR
k̂
Pregunta 2
(a) La Ley de Gauss nos dice
ΦES =
∮
~E · d~s = Qlibre
ε
; ε = Kε0
Tomando una superficie esférica de radio r concéntrica con el condensador, se tiene
~E(~r) =
{
− Q4πKε0
1
r2 ûr , R < r ≤ 2R
− Q4πε0
1
r2 ûr , 2R < r < 3R
ûr = sen θ cosφî+ sen θ senφĵ + cos θk̂
- Método alternativo: El campo eléctrico en presencia de un dieléctrico con constante K coincide con el campo
eléctrico que una carga produce en el vaćıo divido entre K.
En el vaćıo
~Eo(~r)−
Q
4πε0
1
r2
ûr
Por ende, en presencia del dieléctrico
~Eo(~r) = −
Q
4πkε0
1
r2
ûr
y el resultado es el mismo que el descrito anteriormente
(b) Dada la distribución de carga del capacitor, σR > 0 y σ2R < 0. No obstante, estas densidades deben ser tales
que garanticen que el dieléctrico tenga carga neta nula. Esto es
QR +Q2R = 0⇒ σRSR + σ2RS2R = 0 ⇒ σ2R = −
(
SR
S2R
)
σR
⇒σ2R = −
(
4πR2
4π(2R)2
)
σR = −
1
4
σR
Entonces, es necesario hallar únicamente σR. La Ley de Gauss en las cercańıas de r = R arrojan.
σR = −
(
1− 1
K
)
σ− = −
(
1− 1
K
)(
−Q
4πR2
)
=
(
1− 1
K
)
Q
4πR2
⇒σ2R = −
(
1− 1
K
)
Q
16πR2
(c) La relación entre ~E(~r) y V (~r) nos dice
~E(~r) = −dV (~r)
dr
ûr ⇒ ∆V (~r) = −
∫
~E(~r) · d~r
Entonces
∆V = V (3R)− V (R) = −
3R∫
R
~E(~r) · d~r = −
[ 2R∫
R
~E(~r) · d~r +
3R∫
2R
~E(~r) · d~r
]
; d~r = dr ûr
=
[ 2R∫
R
Q
K(4πε0)
1
r2
d~r +
3R∫
2R
Q
4πε0
1
r2
d~r
]
=
Q
K(4πε0)
[
1
K
(
1
R
− 1
2R
)
+
(
1
2R
− 1
3R
)]
=
Q
4πε0
[
1
K
(
1
2R
)
+
1
6R
]
=
Q
4πε0R
[
1
6
+
1
2K
]
=
Q
4πε0R
[
K + 3
6K
]
> 0
- Método alternativo:
También es posible calcular la diferencia de potencial a través de capacitancia de condensador. Dado que la carga
en este no cambia.
Q = c∆V ⇒ ∆V = Q
C
Siendo C la capacitancia de dos capacitores esféricos conectados en serie, uno con un dieléctrico K de dimensiones
R y 2R y el otro con dimensiones 2R y 3R. Entonces,
1
c
=
1
cK
+
1
c0
La capacitancia de un condensador esférico de radios a y b (a < b) es
1
c
=
1
4πε
(
1
a
− 1
b
)
Por ende,
1
c
=
[
1
4πε
(
1
R
− 1
2R
)]
+
[
1
4πε
(
1
2R
− 1
3R
)]
=
1
4πε
[
1
K
(
1
2R
)
+
1
6R
]
=
1
4πεR
[
1
6
+
1
2K
]
=
1
4πεR
[
K + 3
6K
]
Entonces,
∆V =
Q
C
=
Q
4πεR
[
1
6
+
1
2K
]
=
Q
4πεR
[
K + 3
6K
]
(d) La enerǵıa almacenada en el campo eléctrico es de la forma
U =
∫
uE dV , donde uE es la densidad volumétrica de enerǵıa.
ue =
1
2
εE2
Entonces,
U =
2π∫
φ=0
π∫
θ=0
3R∫
r=R
[
1
2
εE2
]
r2 sen θ dr dθ dφ
=
1
2
2π∫
0
dφ
π∫
0
sen θdθ
[ 2R∫
R
(Kε0)
1
2
(
− Q
4πKε0
1
r2
)2
r2dr +
3R∫
2R
ε0
1
2
(
− Q
4πε0
1
r2
)2
r2dr
]
=
1
2
(2π)(2)
[
Q
4πε0
]2
ε0
[
K−1
2R∫
R
1
r2
dr +
3R∫
2R
1
r2
dr
]
=
Q2
8πε0
[
1
K
(
1
R
− 1
2R
)
+
(
1
2R
− 1
3R
)]
=
Q2
8πε0R
[
1
6
+
1
2K
]
=
Q2
8πε0R
[
K + 3
6K
]
- Método alternativo
La enerǵıa almacenada en un capacitor de carga Q, capacitancia C y diferencia de potencial ∆V es
U =
1
2
c(∆V )2 =
1
2
Q∆V =
1
2
Q2
c
=
Q2
8πε0R
[
1
6
+
1
2K
]
=
Q2
8πε0R
[
K + 3
6K
]
Pregunta 3
El condensador vaćıo se carga con una diferencia de potencial V . Como este se desconecta previo a ser rellenado
con los dieléctricos, la carga del condensador no cambia. Sin embargo, el cambio en la capacitancia producirá una
variación en el potencial entre las placas del condensador, siendo esta denotada con V ′. Entonces, se tiene:
Q = CV y Q′ = C ′V ′ , pero Q′ = Q , por consiguiente,
V ′
V
=
C
C ′
Para capacitores de placas paralelas con área A y separación x, se tiene una capacitancia
C =
εA
x
; ε = Kε0
Inicialmente
C =
ε0A
3d
La distribución final puede pensarse como dos condensadores con la misma área conectados en serie; el primero
con dieléctrico K, y separacion 2d y el segundo con dieléctrico K2 y separación d. Por ende
1
c′
=
1
c′1
+
1
c′2
=
2d
K1ε0A
+
d
K2ε0A
Entonces,
V ′
V
=
C
C ′
=
ε0A
3d
2d
K1ε0A
+ dK2ε0A
=
ε0A
3d
[
2d
K1ε0A
+
d
K2ε0A
]
=
1
3
[
2
K1
+
1
K2
]
=
1
3
[
K1 + 2K2
K1K2
]
=
1
3
[
2 + 2(3)
2 · 3
]
=
4
9
⇒ V
V ′
=
9
4
- Método alternativo
El campo eléctrico es un condensador de placas paralelas es uniformeE =
σ
ε
Por ende, la diferencia de potencial en un condensador con separación x es
V =
σ
ε
x
Entonces:
V =
σ
ε0
(3d)
V ′ =
σ
K1ε0
(2d) +
σ
K2ε0
(d)
⇒ V
V ′
=
σ
ε0
(3d)
σ
K1ε0
(2d) + σK2ε0 (d)
=
3
2
K1
+ 1K2
= 3
[
K1K2
K1+2K2
]
= 3
[
2·3
2+2(3)
]
= 49
Este parcial fue creado y resuelto por el Prof. Kevin Ng y digitalizado por Jean F.Gómez para
Gúıas USB
Jean Franco Gómez
15-10581
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