Parcial de fisica III 8

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Universidad Simón Bolívar FS2211 1er Parcial (30%) Bloque B
Departamento de Física Miércoles, 30 de Enero de 2013
Nombre Carnet
1. [8 pts.] Tres cargas puntuales se encuentran en sendos vértices de un cuadrado de lado b = 0.1m. La carga que
se muestra en el vértice (b, b) del cuadrado de la figura es una carga negativa de prueba, −q0. Las dos cargas
en posiciones diagonalmente opuestas son q1 = q3 = +Q = +10−6C; el valor de q2 queda por determinar. La
masa de la carga de prueba es m0.
q2 q1
q3 −q0
b
y
xb
(a) [4 pts.] Determine el valor (signo y magnitud) que debe tener
la carga q2, de manera que la carga de prueba q0 se encuentre
en equilibrio.
(b) [4 pts.] Manteniendo las tres cargas originales {q1, q2, q3} en los
vértices del cuadrado, se coloca la carga de prueba q0 en el centro
del cuadrado, y se suelta. Calcule la aceleración ~a de dicha carga,
sabiendo que su relación carga–masa es q0
m0
= 10−1C/kg.
ke = 1/4π�0 = 9.0× 109N.m2/C2
Respuestas:
(a) Usando la Ley de Coulomb (no hace falta el valor de q0, ya que se pide la condición de equilibrio):
~F = − q0
4π�0
{ q1
b2
ŷ +
q3
b2
x̂ +
q2
2b2
[ cos(π/4) x̂ + sen(π/4) ŷ ]
}
= − q0
4π�0
[
Q
b2
+
√
2 q2
4 b2
]
(x̂ + ŷ) = 0
⇒
√
2 q2
4
= −Q ⇒ q2 = −2
√
2Q (1)
(b) Las fuerzas de q1 y q3 sobre −q0 se cancelan entre sí en el punto medio del cuadrado; queda la fuerza
ejercida por q2:
~F =
(−2
√
2Q)(−q0)
4π�0
(
2
b2
) √
2
2
(x̂ + ŷ) = m0~a ,
de donde:
~a =
1
4π�0
(4Q) (q0/m0)
b2
(x̂ + ŷ) ,
y sustituyendo los valores:
~a =
(9× 109)(4× 10−6)(10−1)
10−2
(x̂ + ŷ)
[m
s2
]
⇒ ~a = 3.6× 105 (x̂ + ŷ)
[m
s2
]
(2)
2. [10 pts.] Se tiene una esfera aislante, cuya densidad de carga variable es
ρ(r) = −ρ0
( r
a
)
,
donde ρ0 es una constante positiva y a es el radio de la esfera. La esfera está rodeada por una cámara esférica
concéntrica, de radio interno a y radio externo b, conductora y eléctricamente neutra.
ρ(r)
a
b(a) [3 pts.] Calcule la carga neta Qtot de la esfera aislante.
(b) [5 pts.] Determine el campo eléctrico ~E en todas las
regiones del espacio.
(c) [2 pts.] Determine las densidades de carga σa y σb inducidas,
respectivamente, en las superficies interna (r = a) y externa
(r = b) del conductor.
Respuestas:
(a) Escogemos cascarones esféricos de espesor dr como elementos de volumen, y se tiene dV = 4πr2dr.
Integrando así la densidad de carga ρ(r), se obtiene:
Qtot =
∫
ρ dV = −
a∫
0
ρ0
(r
a
)
4π r2 dr = −ρ0 π
a
a∫
0
4 r3 dr ⇒ Qtot = −ρ0π a3 (3)
(b) Debido a la simetría esférica de la distribución de cargas, el campo es radial ~E = Er r̂ ; escogiendo
superficies gaussianas esféricas, concéntricas, d~S = r̂ dS y el flujo del campo eléctrico queda, según la
Ley de Gauss:
ΦE =
∮
~E · d~S = 4π r2Er =
Qin(r)
�0
(4)
donde Qin(r) es la carga en el interior de la superficie gaussiana esférica, de radio r arbitrario:
• Para superficies en el interior del conductor, el flujo es cero porque el campo es ~E ≡ 0, es decir que
la carga contenida también es cero.
• Para superficies exteriores al conductor (neutro), la carga neta encerrada es solo la carga total Qtot
del aislante.
• Para puntos en el interior del aislante, calculamos Qin(r):
Qin(r) = −
r∫
0
ρ0
(
r̃
a
)
4π r̃2 dr̃ = −ρ0 π
a
r∫
0
4 r̃3 dr̃ ⇒ Qin(r) = −ρ0π r4/a (5)
Usando la expresión obtenida en (5) para despejar Er de la ecuación (4), se tiene ~E = Er r̂ siendo
Er =

−(ρ0/4�0)(r2/a) ∀ r < a
0 ∀ a < r < b
−(ρ0/4�0)(a4/r2) ∀ r > b
(6)
(c) Cualquier superficie en el interior del conductor contiene carga neta nula, es decir que la carga inducida
en la superficie interna del conductor es Qa = −Qtot = +ρ0π a3. Por ser neutro el conductor, la carga
inducida en la superficie externa es Qb = −Qa. Dividiendo entre las respectivas superficies, se tiene
σa = ρ0 a/4
σa = ρ0 a
3/4b2
(7)
3. [12 pts.] En la figura se muestra una arandela de radio interno a y radio externo b, que porta carga positiva
uniformemente distribuida, cuya densidad superficial de carga es σ. La barra de longitud L, que se muestra
en la figura, se encuentra sobre el eje de simetría (z), y porta carga negativa uniformemente distribuida, cuya
densidad lineal de carga es −λ. El extremo de la barra, más cercano al centro del disco, se encuentra a una
distancia D del mismo.
b
a
D L
σ
r
−λ z
(a) [4 pts.] Demuestre que el campo eléctrico producido por
un aro cargado, de radio r y carga neta Q, sobre su eje
de simetría (z), está dado por la expresión
~E(z) =
Q
4π�0
z
(r2 + z2)3/2
ûz
(b) [4 pts.] Usando la expresión de la parte (a), calcule el campo
eléctrico ~E producido por la arandela cargada en un punto
arbitrario sobre el eje de simetría (z). Use como elementos
de carga dQ, anillos de radio r (a < r < b), como se indica
en la figura.
(c) [4 pts.] Calcule la fuerza ~F ejercida por la arandela sobre la barra cargada.
Respuestas:
(a) La contribución de cada elemento de carga dQ = λ r dϕ al campo d ~E, en el punto (0, 0, z), tiene dos
componentes, d ~E⊥ y d ~E‖, donde d ~E⊥ = dEz ẑ es perpendicular al plano del aro, y d ~E‖ es paralela. La
suma de las contribuciones a ~E‖ da cero por la simetría de la distribución. La componente perpendicular
al campo es entonces:
dEz = |d ~E| cos(θ), siendo
|d ~E| = dQ
4π �0
1
(r2 + z2)
y cos(θ) =
z
(r2 + z2)1/2
, de donde
dEz =
dQ
4π �0
z
(r2 + z2)3/2
(8)
Salvo el elemento de carga dQ, nada en el integrando de la expresión (9) depende de la variable de
integración ϕ. Al integrar las contribuciones, queda
∫
dQ = Q y entonces ~E = Ez ẑ, donde:
Ez =
Q
4π �0
z
(r2 + z2)3/2
(q.e.d.) (9)
(b) Tomando como elementos de carga dQ, anillos de radio r y ancho dr, se tiene dQ = σ 2π r dr (a < r < b).
La contribución de cada anillo al campo en el punto (0, 0, z), d ~E = dEz ẑ, está dada por la expresión
(9), sustituyendo Q por dQ. Integrando en el radio r de cada aro, se tiene:
Ez =
∫
Q
dQ
4π �0
z
(r2 + z2)3/2
=
b∫
a
2π σ z
4π �0
r dr
(r2 + z2)3/2
=
σ
2 �0
[
−z
(r2 + z2)1/2
]b
a
⇒ Ez =
σ
2 �0
[
z
(a2 + z2)1/2
− z
(b2 + z2)1/2
]
(10)
(c) La fuerza sobre un elemento de carga de la barra dq = −λdz, en una posición arbitraria (0, 0, z), debida
al campo eléctrico (10) es dFz = dq Ez. La variable de integración para el cálculo de la fuerza total
~F = Fz ẑ sobre la barra es ahora z ∈ [D,D + L]. Luego:
Fz = −
D+L∫
D
σ λ
2 �0
[
z
(a2 + z2)1/2
− z
(b2 + z2)1/2
]
dz
= − σ λ
2 �0
[
(a2 + z2)1/2 − (b2 + z2)1/2
]D+L
D
⇒ ~F = − σ λ
2 �0
[√
a2 + (D + L)2 −
√
a2 +D2 −
√
b2 + (D + L)2 +
√
b2 +D2
]
ẑ (11)