Parcial de fisica III 10

Vista previa del material en texto

Universidad Simón Boĺıvar
Departamento de F́ısica
F́ısica III (FS-2211)
1er Examen Parcial (30 %)
Sep-Dic 2016
1. (12 pts.) Dos anillos concéntricos, de radios R y 2R, están cargados con densidad lineal de carga uniforme −λ
(C/m) y 2λ (C/m) respectivamente, en donde λ es una constante positiva.
(a) (8 pts.) Calcule el vector campo eléctrico total de los dos anillos en el punto P (2R, 0, 0) situado en el eje
x, a una distancia 2R del origen de coordenadas O.
(b) (4 pts.) Si en el punto P se coloca una part́ıcula de carga positiva +q, calcule la fuerza eléctrica (en forma
vectorial) que ésta experimenta.
Exprese sus respuestas en función de los datos del problema y de la permitividad eléctrica en el vaćıo ε0
2. (13 pts.) Una concha esférica conductora de radio a tiene una carga total +Q. Entre los radios a y b (con b
¿a) se coloca material aislante que tiene una densidad volumétrica de carga positiva que varia con la distancia
radial ρ = C/r (ρ > 0), en donde C es una constante positiva conocida.
Se coloca rodeando al material aislante, una capa esférica metálica (conductora) de radio interior b y radio
exterior d (con d > b). La capa esférica metálica tiene una carga neta nula.
Exprese sus respuestas en función de los datos del problema y de la permitividad eléctrica en el vaćıo ε0
(a) (8 pts.) Calcule el vector campo eléctrico en todo el espacio.
(b) (5 pts.) Calcule la densidad superficial de carga eléctrica d la capa esférica: σb, en la superficie interior
(r = b), y σd, en la superficie exterior (r = d).
3. (5 pts.) Dos part́ıculas con cargas eléctricas +q y −2q (siendo q > 0) permanecen fijas y están separadas a una
distancia a (Ver figura adjunta). Una part́ıcula cargada con carga positiva +Q se coloca en el punto A(0, 0, 0)
en la figura. Calcule la fuerza externa (en forma vectorial) necesaria para que ésta part́ıcula +Q permanezca en
equilibrio en e punto A. Exprese su respuesta en función de los datos del problema q, Q, a y de la permitividad
eléctrica en el vaćıo ε0.
Soluciones
Pregunta 1
El campo eléctrico producido por un anillo de radio R y densidad de carga λ sobre cualquier punto del eje x está
dado por:
~E(~r) =
∫
kdQ′
|~r − ~r′|3
(~r − ~r′)
~r = xî
~r′ = R cos θk̂ +R cos θĵ
dQ′ = λRdθ
~E(~r) =
∫ 2π
0
k(λRdθ)
(x2 +R2)
3
2
[
xî− (R cos θk̂ +R cos θĵ)
]
= k(2πR)λ
x
(x2 +R2)
3
2
î
=
λR
2ε0
x
(x2 +R2)
3
2
î
(a) Para el sistema mostrado,
~E(x) =
(
(2λ)(2R)
2ε0
x
(x2 + (2R)2)
3
2
+
(−λ)(2R)
2ε0
x
(x2 +R2)
3
2
)
î
=
λR
ε0
(
2
x
(x2 + 4R2)
3
2
− 1
2
x
(x2 +R2)
3
2
)
î
Entonces:
~Ep(x = 2R) =
λ
ε0R
(
1
2
5
2
− 1
5
3
2
)
î
=
λ
ε0R
(
1
4
√
2
− 1
5
√
5
)
î
=
λ
ε0R
(
25
√
2− 8
√
5
200
)
î
25 < 53
(b) Para una carga puntual q ubicada en p, la fuerza es:
~F qp = q
~Ep
Pregunta 2
~E(~r) =

~0 r < a(
Q
4πε0r2
+ C2
(
1− a
2
r2
))
ûr a ≤ r < b
~0 b ≤ r < d
1
4πε0
(
Q+ ZπC(b2 − a2)
)
1
r2 ûr d ≤ r
ûr = sen θ cos θî+ sen θ sen θĵ + cos θk̂
(a) Para el cálculo del campo eléctrico usaremos superficies concéntricas con el sistema
r < a
ΦES =
∮
~E · d~s = Qenc
ε0
= 0⇒ ~E = ~0 , ya que ~E(~r) = E(r)ûr
a ≤ r < b
ΦES =
∮
~E · d~s = E(r)(4πr2) = Qenc
ε0
Donde
Qaisenc =
∫
ρ(r) dV =
2π∫
0
π∫
0
e∫
a
(
c
r
)
(r2 sen θ dφdθdr) = (2π)(2)
r∫
a
cr dr = 2πC(r2 − a2)
Entonces,
Qenc = Q+Q
ais
enc = Q+ 2πC(r
2 − a2)
Finalmente,
E(r) =
Q
4πε0r2
+
e
2
(
1− a
2
r2
)
b ≤ r < d
~E = ~0 (interior de un material conductor)
d ≤ r
ΦES = E(r)(4πr
2) =
Qenc
ε0
=
1
ε0
(
Q+ 2πC(b2 − a2)
)
⇒ E(r) = 1
4πε0
(
Q+ 2πC(b2 − a2)
)
1
r2
(b) El conductor externo posee carga neta nula, por lo cual, las cargas inducidas como σb y σd deben ser tales que
conserven esta condición. Es decir,
σbSb + σdSd = 0⇒ σb(4πb2) + σd(4πb2) = 0⇔ σd = −
( b
d
)2
σb
La densidad σb inducida en la superficie interior del conductor debe garantizar ~E = ~0 en el interior del material
conductor. Por lo cual,
b < r < d
ΦE = 0 =
1
ε0
Qenc ⇒ Qenc = 0
Qenc = Q+Qais +Qb = Q+ 2πc(b
2 − a2) +Qb = 0
⇒ Qb = −
(
Q+ 2πc(b2 − a2)
)
= σb(4πb
2)
⇒ σb = −
( Q
4πb2
+
C
2
(1− a
2
b2
)
)
⇒ σd = −
( b
d
)′
σb =
Q
4πd2
+
C
2
(b2 − a2
d2
)
Pregunta 3
Para que Q se mantenga en equilibrio, es necesario que la fuerza neta que actúe sobre ella sea nula.
~Fq + ~F−2q + ~F
ext = ~0 ⇒ ~F ext = −~Fq − ~F−2q
La ley de Coulomb permite conocer ~Fq y ~F−2q
~Fq =
kqQ
5
4a
k
(
2√
5
(
î− 1
2
ĵ
))
=
8
√
5
25
1
a2
kqQ
(
î− 1
2
ĵ
)
=
2
√
5
25π
qQ
a2ε0
(
î− 1
2
ĵ
)
~F−2q =
k(−2q)Q
1
4a
2
(−ĵ) = 8kqQ
a2
ĵ =
2
π
qQ
a2ε0
ĵ
Entonces:
~F ext = −~Fq − ~F−2q
=
qQ
πε0a2
(
− 2
√
5
25
î−
(
2−
√
5
25
)
ĵ
)
=
qQ
πε0a2
(
− 2
√
5
25
î−
(50−√5
25
)
ĵ
)
Este parcial fue creado y resuelto por el Prof. Kevin Ng y digitalizado por Jean F.Gómez para
Gúıas USB
Jean Franco Gómez
15-10581
Ingenieŕıa de la Computación
Twitter: @JeanFranGo gecousb.com.ve
Twitter: @gecousb
Instagram: gecousb
Se agradece notificar cualquier error de tipeo o en las respuestas y qué debeŕıa decir a la dirección
gecousb@gmail.com
http://gecousb.com.ve