algebra-manual-de-preparacion-preuniversitaria-93

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TEOREMA DEL RESTO O DE
DESCARTES
Este teorema tiene por objetivo determinar el resto
en una división, sin efectuar la división.
ENUNCIADO.- El resto de dividir un polinomio ra-
cional y entero en “x” entre un binomio de la forma
“ax ± b” es igual al valor numérico que adquiere di-
cho polinomio cuando se reemplaza en él, x por b/a.
DEMOSTRACIÓN
En forma general, definamos:
Dividendo : P(x), racional y entero
Divisor : ax ± b
Cociente : q(x)
aResto : R = P (� ––)b
Toda división es de la forma:
D = dq + R
D = dividendo
d = divisor
q = cociente
R = resto
Reemplazando por sus equivalentes:
P(x) ≡ (ax ± b) q(x) + R (1)
bSi definimos x como: x = � ––
a
y reemplazamos en (1):
b b bP(� ––)=[a(�––) � b]q(� ––) + R a a a
b bP(� ––)=(� b ± b) . q(� ––) + Ra a
El primer factor del segundo es cero, luego:
bP(� ––) = R a
o finalmente:
bR = P(� ––)a
REGLA PRÁCTICA PARA HALLAR EL
RESTO
1º Se iguala el divisor a cero:
ax ± b = 0
2º Se despeja “x”:
bx = � ––
a
3º Se reemplaza en el polinomio dividendo “x” por.
bx = � ––
a
b∴ R = P(� ––)a
Ejemplo:
Hallar el resto de las siguientes divisiones:
(x - 3)64 + (x - 3)40 + (x - 1)16 - 164
i) ––––––––––––––––––––––––––––––
x - 3
Solución:
• x - 3 = 0
• x = 3
Sustituyendo
• R = P(3) = (3-3)64 + (3-3)40 + (3-1)16 - 164
R = 0 + 0 + 216 - 164
R = 216 - (24)4 = 216 - 216 = 0
∴ R = 0
6x4 + x3 - 19x2 + 14x - 15
ii) –––––––––––––––––––––––
2x - 3
1º 2x - 3 = 0
32º x = ––
2
Sustituyendo
3 3 4 3 3 3 23º R = P(––) = 6(––) + (––) - 19(––)2 2 2 2
3+ 14(––) - 152
Á L G E B R A
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Algebra 27/7/05 16:04 Página 105