algebra-manual-de-preparacion-preuniversitaria-243

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CANTIDADES IMAGINARIAS YCANTIDADES IMAGINARIAS Y
NÚMEROS COMPLEJOSNÚMEROS COMPLEJOS
PRINCIPALES CONCEPTOS
CANTIDADES IMAGINARIAS
DEFINICIÓN.- Las cantidades imaginarias son las
raíces de índice par de cantidades negativas.
__ ___ ___
Ejemplos: √-4, 
4
√-16, 
8
√-12
__
UNIDAD IMAGINARIA.- La cantidad√-1 se le denom-
ina “unidad imaginaria”. Según la notación de Gauss, la
unidad imaginaria se representa por la letra “i”.
Por lo tanto:
__
i = √-1, por definición:
i2 = -1
__ __ __ __
Ejemplo: √-4 = √4 √-1 = 2√-1 = 2i
POTENCIAS DE LA UNIDAD IMAGINARIA
__
1) i1 = (√-1 )
1
= i
__ __
2) i2 = √-1 √-1 = -1
3) i3 = i2 . i = -i
4) i4 = i2 . i2 = 1
5) i5 = i4 . i = i
6) i6 = i4 . i2 = -1
7) i7 = i4 . i3 = -i
8) i8 = i4 . i4 = 1
Se observa que los resultados de las potencias de
la unidad imaginaria se repiten en períodos de 4
en 4 y estos valores son: i, -1, -i, 1.
TRANSFORMACIÓN DE LA POTENCIA im,
DONDE “m” ES ENTERO Y POSITIVO
Suponiendo que se desea calcular im, donde m > 4:
1) Se divide m entre 4, de donde se tiene:
m = 4q + r
2) im = i4q+r = i4q . ir = (i4)q . ir = ir
∴ im = ir
donde r = 0, 1, 2, 3
r = 0 ⇒ i0 = 1
r = 1 ⇒ i1 = i
im = ir { r = 2 ⇒ i2 = -1
r = 3 ⇒ i3 = -i
CONCLUSIÓN
Cuando “i” está elevada a una potencia positiva, si el
exponente es múltiplo de 4, el resultado es la unidad;
si el exponente es igual a un múltiplo de cuatro más
1 el resultado es i; si es igual a múltiplo de cuatro
más 2 el resultado es -1; y si es igual al múltiplo de
cuatro más 3 el resultado es igual a -i.
Á L G E B R A
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Algebra 21/7/05 15:55 Página 255