algebra-manual-de-preparacion-preuniversitaria-303

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E = x(x - 1)(x - 2)(x - 3)(-2)
E = -2x(x - 1)(x - 2)(x - 3)
8.- Calcular:
a b c
b c a
c a b
E = –––––––––––––––––––––––––––––––
b a c b b c
+ +
a c b a c a
Solución:
Desarrollando cada determinante:
acb + abc - a3 - b3 - c3 + abc
E = ––––––––––––––––––––––––––
bc - a2 + ac - b2 + ab -c2
-(a3 + b3 + c3 -3abc)
E = ––––––––––––––––––––––
-(a2 + b2 +c2 - ab - ac - bc)
a3 + b3 + c3 - 3abc
E = ––––––––––––––––––––
a2 + b2 + c2 - ab - ac - bc
pero, el numerador, por identidad algebráica es:
a3 +b3 +c3 -3abc = (a+b+c)(a2+b2 +c2 -ab-ac-bc)
Sustituyendo en la expresión:
(a + b + c)(a2 + b2 + c2 - ab - ac - bc)
E = –––––––––––––––––––––––––––––––––
a2 + b2 + c2 - ab - ac - bc
E = a + b + c
9.- Demostrar que:
1 1 1
a b c = (c-b)(c-a)(b-a)
a2 b2 c2
Solución:
Desarrollando el determinante por el Método de
Sarrus:
∆ = bc2 + ab2 + a2c - a2b - b2c - ac2
factorizando por el método de agrupación: 
∆ = (bc2 - b2c) - (ac2 - ab2) + (a2c - a2b)
∆ = bc(c - b) - a(c + b)(c - b) + a2(c - b)
∆ = (c - b)(bc - ac - ab + a2) 
∆ = (c - b) [(bc - ab) - (ac - a2)]
∆ = (c - b) [b(c - a) - a(c - a)]
∆ = (c - b)(c - a)(b - a)
A este determinante se le denomina“Determinante
de “Vandermonde”.
10.- Calcular el valor de:
1 1 1
E = 4 5 7
16 25 49
Solución:
Escribiendo el determinante así:
1 1 1
E = 4 5 7
42 52 72
representa un determinante de Vandermonde:
∴ E = (7 - 5)(7 - 4)(5 - 4) = 2 . 3 . 1
E = 6
11.- Calcular el valor de:
x2 (x+1)2 (x+2)2 (x+3)2
y2 (y+1)2 (y+2)2 (y+3)2
E =
z2 (z+1)2 (z+2)2 (z+3)2
t2 (t +1)2 (t+2)2 (t+3)2
Solución:
Desarrollando las potencias indicadas:
Á L G E B R A
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Algebra 27/7/05 16:42 Página 315