algebra-manual-de-preparacion-preuniversitaria-353

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Á L G E B R A
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a2 + b2 + c2 - ab - ac - bc > 0 (5)
Multiplicando (1) y (5):
(a + b + c)(a2 + b2 + c2 - ab - ac - bc) > 0
El primer miembro es una identidad algebraica,
luego:
a3 + b3 + c3 - 3abc > 0
∴ a3 + b3 + c3 > 3abc 
3.- Demostrar que: ax + by < 1
Si: a2 + b2 = 1 ; x2 + y2 = 1
Donde a, b, x, y, son diferentes y positivos.
Solución:
De la condición del problema se escribe:
(a - x)2 > 0
∴ a2 + x2 > 2ax (1)
(y - b)2 > 0
∴ y2 + b2 > 2yb (2)
Sumando (1) y (2): 
a2 + b2 + x2 + y2 > 2(ax + by)
Sustituyendo las condiciones en esta desigualdad:
1 + 1 > 2(ax + by)
∴ ax + by < 1
4.- Demostrar que:
(b + c)(a + c)(a + b) > 8abc
(a,b,c, son positivos)
Solución:
Siendo a, b, c, números positivos, se tiene:
a2 + b2 > 2ab (1)
c2 + b2 > 2bc (2)
a2 + c2 > 2ac (3)
Multiplicando (1) por c, (2) por a y (3) por b:
a2c + b2c > 2abc (4)
c2a + b2a > 2abc (5)
a2b+ c2b > 2abc (6)
Sumando miembro a miembro (4), (5) y (6):
a2c + b2c + c2a + b2a + a2b + c2b > 6abc 
Sumando a ambos miembros 2abc:
(a2c + 2abc + b2c)+(c2a + c2b)+(a2b + ba2) > 8abc 
factorizando:
c(a + b)2 + c2(a + b) + ab(a + b) > 8abc
(a + b)(ac + bc + c2 + ab) > 8abc
factorizando en el segundo paréntesis:
(a + b) [c(a + c) + b(a + c)] > 8abc
∴ (a + b)(a + c)(b + c) > 8abc
CLASES DE DESIGUALDADES
1.- DESIGUALDADES ABSOLUTAS.- Son aquellas
que se verifican para cualquier valor o sistemas
de valores, dado a sus letras.
Ejemplo: 
(x - 5)2 + 7 > 0
2.- DESIGUALDAD RELATIVA O INECUACIÓN.-
Son aquellas que se verifican para determina-
dos valores o sistemas de valores, asignados a
sus letras.
Ejemplo:
3x - 7 > 14
sólo se satisface para x > 7
INECUACIONES DE PRIMER GRADO
CON UNA INCOGNITA
Son aquellas que pueden reducirse a la forma:
ax ± b > 0
o:
ax ± b < 0
Algebra 27/7/05 16:51 Página 365