algebra-manual-de-preparacion-preuniversitaria-305

Vista previa del material en texto

DISCUSIÓN DE LA SOLUCIÓN DE LOS 
SISTEMAS LINEALES
Dado el sistema:
a1x + a2y = a3 (I)
b1x + b2y = b3 (II)
Por la Regla de Cramer:
∆x ∆yx = ––– ; y = –––
∆s ∆s
1) Si ∆x ≠ 0, ∆s ≠ 0, es compatible determina-
do, tiene una sola solución.
2) Si ∆x = 0, ∆s = 0, el sistema es indetermina-
do, tiene muchas soluciones.
3) Si ∆x = 0, ∆s ≠ 0, el sistema es incompatible,
no tiene solución.
EJERCICIOS RESUELTOS
1.- Resolver el sistema:
x + y + z = 0 (1)
ax + by + cz = 0 (2)
bcx + acy + abz = 1 (3)
Solución:
Cálculo de cada determinante:
1 1 1
∆s = a b c 
bc ac ab
∆s = ab2 + a2c + bc2 - b2c - ac2 - a2b
factorizando por agrupación:
∆s = b2(a - c) + ac(a - c) - b(a + c)(a - c)
∆s = (a - c)(b2 + ac - ab - bc)
∆s = (a - c)[b(b - a) - c(b - a)]
∆s = (a - c)(b - a)(b - c)
0 1 1
∆s = 0 b c = c - b
1 ac ab
1 0 1
∆y = a 0 c = a - c
bc 1 ab
1 1 0
∆y = a b 0 = b - a
bc ac 1
∆x (c - b) - (b - c)
x = ––– = –––––––––––––––– = –––––––––––––––
∆s (a - c)(b - a)(b - c) (a - c)(b - a)(b - c)
1= - –––––––––––
(a - c)(b - a)
∆y a - c 1
y = ––– = –––––––––––––––– = –––––––––––
∆s (a - c)(b - a)(b - c) (b - a)(b - c)
∆z b - a 1
z = ––– = –––––––––––––––– = –––––––––––
∆s (a - c)(b - a)(b - c) (a - c)(b - c)
2.- Resolver el sistema:
x + y + z = 1
ax + by + cz = d
a2x + b2y + c2z = d2
Solución:
Al construir los determinantes se nota que son
determinantes de Vandermonde.
1 1 1
∆s = a b c 
a2 b2 c2
∆s = (c - b)(c - a)(b - a)
Á L G E B R A
- 317 -
Algebra 27/7/05 16:42 Página 317