2022-06-07 Derivada y sus usos

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ANTES DE EMPEZAR… 
 
Derivada de una función en un punto: La derivada de una función 𝑓 en un punto 𝑥1 se define 
como la razón de cambio instantánea de una función 𝑓 en un punto 𝑥1. Esta derivada es un 
valor que coincide con la pendiente de la recta tangente a la curva definida por la función 𝒇 
en el punto 𝒙𝟏. 
En particular si la función 𝑓 es la posición de un objeto a lo largo de una trayectoria en función 
del tiempo, la derivada de esa función en un instante 𝑡1 es la velocidad instantánea en ese 
instante 𝑡1. 
Función derivada: Para una función 𝑓 definimos la función derivada o simplemente derivada, 
como la función que llamaremos 𝒇′(𝒙) que para cada 𝑥 está definida como la derivada de 𝑓 en el 
punto 𝑥. 
 
 
 
Taller sobre a derivada y su uso en distintos 
contextos. 
Prof. Romina Petrolo. Turno Tarde 
Problema 1) Hallar los máximos y mínimos locales de la función 𝒇(𝒙) = −
𝟐
𝟑
𝒙𝟑 + 𝟏𝟖𝒙 + 𝟒. 
Luego, hallar la ecuación de la recta tangente que pasa por la ordenada al origen de 𝑓(𝑥). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Máximos y mínimos
1) Derivar e igualar a 0
f'(x) = -2/3 . 3 . x² + 18 
f'(x) = -2x²+18 = 0
2) Resuelvo la ecuación
-2x²+18 = 0
-2x²=-18
x²=-18:-2
x²=9
x= 9
x1= 3 x2= -3
3) Justificar máximos y mínimos : criterio de la primera derivada
4) Reemplazo en f(x) para hallar la coordenada en y.
máximo: f(3)=40 (3; 40)
mínimo: f(-3)=-32 (-3;-32)
Highlight
Highlight
Highlight
Highlight
Tangentes
1) Derivo f'(x)= -2x²+18
Punto = (0;4)
2) Evalúo la f'(x) en x=0 m=f'(0)=-2.0²+18=18
3) Modelo lineal y=mx+b
y=18x+b
4=18.0+b
4=b
4) Tangente: y=18x+4
hallo b
Problema 2) Dada la curva 𝒈(𝒙) = 𝒂𝒙𝟐 − 𝟏𝟐𝒙 + 𝟏𝟔 y dada L que es la recta tangente a ella 
 𝑳 = 𝟏𝟐𝒙 − 𝟑𝟐, hallar los máximos y mínimos locales de g(x). 
 
 
g(x)=ax²-12x+16
me falta "a"
 16 = a.4²-12.4+16
16-16 = a.16 - 48
 48 = 16a
48:16 = a
 3 = a
La tangente y la función g(x) comparten el punto en x=4
y=12.4-32
y=16
P=(4;16)
g(x)=3x²-12x+16
Máximos y mínimos
1) derivo 
g'(x)=6x-12
2) igualo a cero
g'(x)=0
6x-12=0
6x=12
x=2
3) despejo
4) justifico si es máximo o mínimo
Problema 3) Siendo la función f: 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟑 + 𝒌𝒙𝟐 + 𝒎𝒙 + 𝟑𝟎 y sabiendo que la recta 
tangente a ella en el punto (2;f(2)) tiene ecuación 𝒚 = −𝟏𝟖𝒙 + 𝟒𝟔, hallar la ecuación de la 
función 𝑓(𝑥). 
¿Qué me pide? la función f(x)
¿Qué me lo impide? no está completa, le falta "k" y "m"
DATOS
P= (2; 10)
tangente: y=-18x+46
pendiente=-18
f ' (2) = -18
Sistema de ecuaciones
10 = 2³ + k.2² + m.2 +30
10 = 8 + k.4 + m.2 +30
10-8-30 = 4k +2m
-28=4k+2m
-18 = f '(2)
-18 = 3x²+k2x+m
-18 = 3.2²+2.2k+m
-18=12+4k+m
-30=4k+m
-28=4k+2m
-30=4k+m