2023-06-02 Resolución de problemas estilo parcial sobre rectas tangentes

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Problema 1. Sea 𝑓(𝑥) = −
1
6
𝑥6 + 243𝑥. 
a) ¿En qué puntos de la gráfica de 𝑓 la recta tangente tiene pendiente igual a 243? 
b) ¿Existe algún punto de 𝑓 en el que la pendiente de la recta tangente sea −
9031
32
? 
c) ¿Existe algún punto de 𝑓 en el que la pendiente de la recta tangente sea 0? 
 
a) Necesitamos averiguar los puntos de tangencia en los cuales la recta tangente tiene 
pendiente 243. En principio, tenemos que averiguar en qué valores de 𝑥 la recta tangente 
tiene esa pendiente. Como la pendiente de tal recta se calcula derivando la función y 
evaluándola en el valor de 𝑥 correspondiente, debemos resolver la siguiente ecuación: 
𝑓′(𝑥) = 243 
−𝑥5 + 243 = 243 
−𝑥5 = 243 − 243 
−𝑥5 = 0 
𝑥5 = 0 
𝑥 = √0
5
 
𝑥 = 0 
Vemos que en 𝑥 = 0 la pendiente de la recta tangente a 𝑓 es 243. Pero como nos piden el 
punto de tangencia, necesitamos calcular 𝑓(0). 
𝑓(0) = −
1
6
06 + 243 ⋅ 0 = 0 
 La recta tangente a 𝑓 tiene pendiente 243 en el punto (0; 0). 
b) Tal como hicimos anteriormente, debemos resolver 𝑓′(𝑥) = −
9031
32
. 
−𝑥5 + 243 = −
9031
32
 
−𝑥5 = −
9031
32
− 243 
−𝑥5 = −
16807
32
 
𝑥5 =
16807
32
 
𝑥 = √
16807
32
5
 
EEM (ESPACIO ESTUDIAR MATEMÁTICA) 
presenta 
Taller “Resolución de problemas estilo parcial sobre 
rectas tangentes” 
Prof. Vanessa Pereyra 
𝑥 =
7
2
 
Existe un único punto en el que la pendiente de la recta tangente a 𝑓 resulta ser −9031/32. 
Ese punto es (
7
2
; 𝑓 (
7
2
)) = (
7
2
;
208943
384
). 
CA 
𝑓 (
7
2
) = −
1
6
(
7
2
)
6
+ 243 (
7
2
) =
208943
384
 
c) De forma similar a como trabajamos en los ítems anteriores, debemos resolver la siguiente 
ecuación 𝑓′(𝑥) = 0. 
−𝑥5 + 243 = 0 
−𝑥5 = −243 
𝑥5 = 243 
𝑥 = √243
5
 
𝑥 = 3 
Efectivamente existe un punto en el cual la pendiente de la recta tangente a 𝑓 vale 0 y ese 
punto es (3; 𝑓(3)) = (3;
1215
2
). 
CA 
 𝑓(3) = −
1
6
⋅ 36 + 243 ⋅ 3 =
1215
2
 
________________________________________________________________________________ 
Problema 2. Sea 𝑔(𝑥) = −
1
336
𝑥8 +
81
2
𝑥3. 
a) Hallá la ecuación de la recta tangente a 𝑔 en 𝑥 = 1. 
b) Aproximá 𝑔(0,98) usando la recta tangente calculada en el ítem anterior. 
c) ¿Existe algún punto de la gráfica de 𝑔 en el que la recta tangente a 𝑔 sea paralela al eje 𝑥? 
En caso afirmativo, ¿qué le pasa a 𝑔 en ese punto? 
 
a) Dado que la pendiente de la recta tangente a 𝑔 en 𝑥 = 1 es 𝑔′(1): 
𝑔′(𝑥) = −
1
42
𝑥7 +
243
2
𝑥2 
𝑔′(1) = −
1
42
17 +
243
2
12 =
2551
21
 
Luego, la recta tangente pedida tiene por ecuación 𝑦 =
2551
21
𝑥 + 𝑏. Para hallar 𝑏, 
necesitamos el punto de tangencia (1; 𝑔(1)) = (1;
13607
336
). 
𝐶𝐴: 𝑔(1) = −
1
336
18 +
81
2
13 =
13607
336
 
Usamos el punto de tangencia para hallar 𝑏: 
13607
336
=
2551
21
⋅ 1 + 𝑏 
13607
336
−
2551
21
= 𝑏 
−
3887
48
= 𝑏 
Finalmente, la recta tangente pedida es 𝑦 =
2551
21
𝑥 −
3887
48
. 
b) Nos piden aproximar 𝑔(0,98) con la recta 𝑦 =
2551
21
𝑥 −
3887
48
. Esto lo podemos hacer porque 
𝑥 = 0,98 está relativamente cerca de 𝑥 = 1 y sabemos que, en un entorno de este valor, la 
recta tangente y la función toman valores parecidos. 
𝑦 =
2551
21
⋅ 0,98 −
3887
48
=
15227
400
 
𝑔(0,98) ≅
15227
400
 
c) Si la recta tangente a 𝑔 es paralela al eje 𝑥, entonces su pendiente vale 0. Luego, para ver si 
existe algún 𝑥 en el que sucede esto, debemos resolver la ecuación 𝑔′(𝑥) = 0. 
−
1
42
𝑥7 +
243
2
𝑥2 = 0 
𝑥2 (−
1
42
𝑥5 +
243
2
) = 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
De la ecuación que resolvimos se deduce que existen dos valores en los que la recta tangente 
a 𝑔 tiene pendiente 0: en 𝑥1 = 0 y 𝑥2 = 3√21
5
≅ 5,52. En esos valores, la función 𝑔 tiene 
puntos críticos, que pueden clasificarse si analizamos el signo de 𝑔′ en los intervalos 
(−∞, 𝑥1), (𝑥1, 𝑥2)𝑦 (𝑥2, +∞). 
Organizamos la información: 
𝑔′(𝑥) = −
1
42
𝑥7 +
243
2
𝑥2 
 (−∞, 0) 𝑥1 = 0 (0, 3√21
5
) 𝑥2 = 3√21
5
 ( 3√21
5
, +∞). 
Signo 
de 𝑔′ 
𝑔′(−1)
=
2552
21
 
𝑔′(0) = 0 𝑔′(1)
=
2551
21
 
𝑔′(3√21
5
)
= 0 
𝑔′(6)
= −
16038
7
 
Comp. 
de 𝑔 
𝑔 crece 𝑔 tiene un 
punto de 
inflexión 
𝑔 crece 𝑔 tiene un 
máximo 
𝑔 decrece 
 
Corroboramos con GeoGebra: 
 
 
 
TAREA: 
Problema 3. La recta de ecuación 𝑦 = 2𝑥 + 3 es la recta tangente a ℎ(𝑥) en 𝑥 = 5. 
a) ¿Cuánto vale ℎ(5)? 
b) ¿Cuánto vale ℎ′(5)? 
c) Decidí qué formula es correcta para ℎ(𝑥), aportando argumentos que justifiquen tu 
decisión. 
I. ℎ(𝑥) = 𝑥2 + 3𝑥 
II. ℎ(𝑥) = 𝑥3 − 73𝑥 + 253 
III. ℎ(𝑥) = 10𝑥2 − 100𝑥 + 263