10-Problema de la recta tangente-FM-EO-bd

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Lic. Benjamín de Zayas Núñez 
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Resultados principales: Teoremas , corolarios, verdades matemáticas, fundamentos 
preestablecidos 
Preguntas problemas, ejercicios ejemplo etc.
Ejercicios interesantes cuya resolución aporta conocimiento y servirán de base en las 
evaluaciones posteriores 
Respuesta de los preguntas problemas y de los ejercicios ejemplo 
Índice 
1.1. El problema de la recta tangente
1.2. Definición de derivada
1.3. Reglas básicas de derivación
1.1. El problema de la recta tangente
1.1. El problema de la recta tangente
(Recordando de la unidad dos) En esta sección abordaremos el primero de ellos: el problema de la recta
tangente, lo que nos permitirá visualizar cómo surgen los límites a partir de la tangente de una curva.
El problema de la recta tangente es tan antiguo que se remonta a la época del científico griego
Arquímedes (287-212 A.C.), quien creció con la noción de Euclides (365-300 A.C.) de que la recta
tangente es aquella que toca a una curva en un solo punto, lo que funciona perfectamente en la
circunferencia, pero no en otras curvas.
1.1. El problema de la recta tangente
En el problema de la recta tangente, se tiene una función f y un punto P de su gráfica y se trata de
encontrar la ecuación de la recta tangente a la gráfica en el punto P, como se muestra en la Figura.
1.1. El problema de la recta tangente
El problema de encontrar la recta tangente en un punto P se reduce al de calcular su pendiente en ese
punto. Al iniciar la sección recordamos que para calcular la pendiente m de una recta es necesario
conocer dos de sus puntos. Como solo conocemos el punto fijo P, entonces aproximamos la pendiente m
de la recta tangente eligiendo un punto móvil Q de la función que esté cercano al punto P, tal como se
muestra en la Figura, y calculamos la pendiente de la recta secante PQ.
1.1. El problema de la recta tangente
1.1. El problema de la recta tangente
Para la recta secante conocemos dos de sus puntos, P y Q, por lo que podemos utilizar la fórmula de la
pendiente de una recta conocidos dos de sus puntos:
𝑚 =
∆𝑦
∆𝑥
=
𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1
=
𝑓 𝑥 + ∆𝑥 − 𝑓(𝑥)
𝑥 + ∆𝑥 − 𝑥
=
𝑓 𝑥 + ∆𝑥 − 𝑓(𝑥)
∆𝑥
1.1. El problema de la recta tangente
Conocida la pendiente de la secante PQ movemos el punto móvil Q a nuevas posiciones, cada vez más
cercanas al punto de tangencia P. En la medida que el punto Q se aproxima al punto P, la pendiente de la
recta secante se aproxima a la pendiente de la recta tangente, como se observa en la Figura , y además la
distancia ∆x se hace más pequeña, es decir, tiende a cero.
Ejemplo 1
Considera la gráfica de la función 𝑓(𝑥) = 𝑥2
Se desea obtener la pendiente de la recta tangente a la gráfica en el punto P a partir de la recta
secante que pasa por un punto arbitrario 𝑄.
a. Encuentra la pendiente de cada recta
secante que pasa por 𝑄1, 𝑄2, 𝑄3.
b. Mejore la aproximación calculando la
pendiente de nuevas rectas secantes más
cercanas a P.
c. Utiliza los resultados de las partes a y b para
estimar la pendiente de la recta tangente a la
gráfica de f en el punto 𝑃.
Solución 
a. Observa que no podemos calcular la pendiente de la tangente en P con la fórmula
𝑚 =
∆𝑦
∆𝑥
=
𝑦2−𝑦1
𝑥2−𝑥1
=
𝑓 𝑥+∆𝑥 −𝑓(𝑥)
𝑥+∆𝑥 −𝑥
=
𝑓 𝑥+∆𝑥 −𝑓(𝑥)
∆𝑥
, dado que no conocemos dos puntos de la tangente.
De ahí que a partir del cálculo de la pendiente de la recta secante obtendremos un valor
aproximado de la pendiente de la recta tangente. Repetimos el proceso varias veces acercando
el punto Q cada vez más a P.
De la gráfica obtenemos las coordenadas de 𝑄1(3,9) y 𝑄2(2,4). 
Dado que 𝑥3= 1,5 evaluamos 𝑦3= 𝑓(1,5)=(1,5)2= 2,25, de donde, 𝑄3(1,5; 2,25). 
Solución
La pendiente de la secante que pasa por 𝑃(1,1) y 𝑄1(3,9) es: 
𝑚𝑠𝑒𝑐1 =
9 − 1
3 − 1
=
8
2
= 4
La pendiente de la secante que pasa por 𝑃(1,1) y 𝑄2(2,4) es: 
𝑚𝑠𝑒𝑐2 =
4 − 1
2 − 1
=
3
1
= 3
La pendiente de la secante que pasa por 𝑃(1,1) y 𝑄3(1,5; 2,25) es: 
𝑚𝑠𝑒𝑐3 =
2,25 − 1
1,5 − 1
=
1.25
0,5
= 2,5
Solución
b. Se trata de mejorar la aproximación acercando Q cada vez más a P. Obtendremos
cuatro nuevos puntos que no es necesario graficarlos porque no se apreciarían en la
gráfica.
Con 𝑥4= 1,1 evaluamos 𝑦4= 𝑓(1,1) = 1,1 2 = 1,21, de donde, 𝑄4(1,1; 1,21). 
Con 𝑥5= 1,01 evaluamos 𝑦5= 𝑓(1,01) = 1,01 2 = 1,0201, de donde, 𝑄5(1,01; 1,0201). 
Con 𝑥6= 1,001 evaluamos 𝑦6= 𝑓(1,001) = 1,001 2 = 1,002001, de donde, 𝑄5(1,001; 1,002001). 
Con 𝑥7= 1,0001 evaluamos 𝑦7= 𝑓(1,0001) = 1,0001 2 = 1,00020001, de donde, 
𝑄5(1,0001; 1,00020001). 
Solución
La pendiente de la secante que pasa por 𝑃(1,1) y 𝑄4(1,1; 1,21) es: 
𝑚𝑠𝑒𝑐4 =
1,21 − 1
1,1 − 1
=
0,21
0,1
= 2,1
La pendiente de la secante que pasa por 𝑃(1,1) y 𝑄5(1,01; 1,0201) es: 
𝑚𝑠𝑒𝑐5 =
1,0201 − 1
1,01 − 1
=
0,0201
0,01
= 2,01
Solución
La pendiente de la secante que pasa por 𝑃(1,1) y 𝑄6(1,001; 1,002001) es: 
𝑚𝑠𝑒𝑐6 =
1,002001 − 1
1,001 − 1
=
0,002001
0,001
= 2,001
La pendiente de la secante que pasa por 𝑃(1,1) y 𝑄7(1,0001; 1,00020001) es: 
𝑚𝑠𝑒𝑐7 =
1,00020001 − 1
1,0001 − 1
=
0,00020001
0,0001
= 2,0001
Solución
La pendiente de la secante que pasa por 𝑃(1,1) y 𝑄14(1,00000000001; 1,0000000000200000000001) es: 
𝑚𝑠𝑒𝑐14 =
1,0000000000200000000001 − 1
1,00000000001 − 1
=
0,0000000000200000000001
0,00000000001
= 2,00000000001
𝑚𝑠𝑒𝑐1004= 2,00000… . . 000001
1000 𝑐𝑒𝑟𝑜𝑠
𝑚𝑠𝑒𝑐1000004= 2,00000… . . 000001
1000000 𝑐𝑒𝑟𝑜𝑠
c. Si observas los valores de las pendientes de las rectas secantes calculadas y te fijas cómo
fue cambiando ¿a qué valor parece que tiende? ¿cuál sería el valor aproximado de la
tangente? Piensa un momento, haz tus apuestas, no te adelantes. Si lograste obtener que la
pendiente de la tangente en el punto P es dos, estarás en lo correcto.
1.1. El problema de la recta tangente
1.1. El problema de la recta tangente
1.1. El problema de la recta tangente
1.1. El problema de la recta 
tangente
1.1. El problema de la recta tangente
Ejercicios de refuerzo:
Calcule la pendiente de la recta tangente de 𝑦 = 𝑥 − 1 3, en el punto 𝑥 = 3
Calcule la pendiente de la recta tangente de 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥, en el punto 𝑥 = 2𝜋
1.2. Definición de derivada
1.2. Definición de derivada
1.2. Definición de derivada
1.2. Definición de derivada
1.2. Definición de derivada
1.2. Definición de derivada
Calculo de derivadas usando la definición 
Calcule las siguientes derivadas usando la definición 
𝑑 𝑠𝑒𝑛 𝑥
𝑑𝑥
cos 𝑥 ′
[(2𝑥 + 3)3]′
(2𝑥)′
Derivadas
Derivadas
Derivadas
Derivadas
Derivadas
1.3. Reglas básicas de derivación
1.3. Reglas básicas de derivación
1.1. El problema de la recta 
tangente
1.1. El problema de la recta 
tangente
1.1. El problema de la recta 
tangente
Derivadas de la función potencia 
Derivadas
Derivadas
1.1. El problema de la recta 
tangente
Derivadas
1.1. El problema de la recta 
tangente
1.1. El problema de la recta 
tangente
1.1. El problema de la recta 
tangente
1.1. El problema de la recta 
tangente
Ejemplos de derivar sin utilizar la regla del cociente
Ejercicios de refuerzo. Derive las siguientes funciones 
y = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝑥 ∙ cos 𝑥 −
𝑥2
3𝑥 − 1
y = 3𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝑥2 ∙ cos 𝑥 −
cos 𝑥
3𝑥 − 1
y = 3𝑥4 + 4 −
32
3𝑥 − 1
− 𝑥3
1
𝑥3 − 4𝑥
Fin