Unidad 3 - Estimación de Parámetros

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INFERENCIA ESTADÍSTICA
ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS
• Puntual 
• Por Intervalos de Confianza
PRUEBAS DE HIPÓTESIS
Procedimientos que permiten sacar conclusiones y tomar 
decisiones con respecto a una población, habiendo analizado 
solo muestras de esa población
Estimación de parámetros
 Calcular medidas descriptivas utilizando las 
observaciones muestrales, para representar a 
los parámetros desconocidos.
POBLACIÓN
Variables: X, Y, …, Z
Parámetros: μ, σ, π
x
1
, x
2
, x
3
, . . . , x
n
 x S p
DOS tipos de estimadores:
Estimación puntual 
 Se obtiene un punto, 
un valor, como 
estimación del 
parámetro.
Estimación por 
intervalos 
 Se obtiene un intervalo 
dentro del cual 
estimamos que (bajo 
cierta probabilidad) 
estará el parámetro.
Estimación puntual de parámetros
Estimar el valor de un parámetro desconocido 
con un sólo número.
Simbología
Un parámetro es θ
Un estimador es θ
Un estimador puntual es una función de las 
observaciones muestrales:
 = g (x
1
, x
2 
, x
3 
, ….. , x
n
)
Es simplemente un estadístico (media aritmética, 
varianza, etc.) que se emplea para estimar parámetros 
(media poblacional, varianza poblacional, etc.).
Es decir, cuando obtenemos una media aritmética a partir de 
una muestra, tal valor puede ser empleado como una 
estimación para el valor de la media poblacional.
Un estimador puntual es una función de las 
observaciones muestrales, que no debe incluir 
al parámetro desconocido ni depender de él.
Estimación puntual de parámetros
 ∧
 θ = g(x
1
, x
2
, x
3
, . . . , x
n
) x = (Σ x)/n 
Propiedades de un buen estimador
• Insesgabilidad
• Eficiencia (Insesgabilidad de varianza mínima)
• Consistencia
• Suficiencia
• Distribución asintóticamente normal
Insesgabilidad
Un estimador θ es un estimador insesgado 
del parámetro θ, si el valor esperado del 
estimador es igual al parámetro.
E(x) = μ E(p) = π
E( θ ) = θ
Eficiencia 
(Insesgabilidad de varianza mínima)
Dados dos estimadores θ
1
 y θ
2
 , de un 
parámetro θ, insesgados, se dice que θ
1
 es 
más eficiente que θ
2
 , si su varianza es 
menor. 
 Es decir, si V(θ
1
 ) < V(θ
2 
)
Consistencia
Se dice que θ es un estimador consistente de θ, si 
puede lograrse que la probabilidad de que un 
estimador difiera del valor real del parámetro más 
que cualquier cantidad arbitrariamente elegida, sea 
tan pequeña como se quiera, incrementando 
suficientemente el tamaño de la muestra.
P{| θ - θ| > ε } → 0 cuando n →∞ 
Suficiencia
Se dice que θ es un estimador suficiente del 
parámetro θ, si brinda toda la información 
posible acerca del parámetro, de manera 
que, ni con otros estimadores, ni con las 
observaciones muestrales mismas, podría 
obtenerse mayor información.
Distribución asintóticamente normal
Se dice que θ es un estimador asintóticamente 
normal del parámetro θ, si además de ser insesgado 
y consistente, tiene distribución normal cuando 
aumenta el tamaño de la muestra.
Es decir, si θ ~ normal cuando n → ∞
Intervalos de confianza
 Es la estimación de un parámetro por un intervalo al azar, 
llamado intervalo de confianza, cuyos límites superior e 
inferior, L
i
 y L
s
, son funciones de las variables aleatorias 
observadas tales que la probabilidad de que se cumpla la 
desigualdad L
i
 < < L
s
, se expresa en términos de un 
número predeterminado, 1- α .
P ( L
i
 < < L
s
 ) = 1- α
La cuestión es 
¿cómo encontrar los límites del I de C?
 -zα/2 zα/2
Se deduce que P{ -zα/2 ≤ Z ≤ zα/2 } = 1 - α 
P(-zα/2 ≤ Z ≤ zα/2) = 1- α o bien P(-1,96 ≤ Z ≤ 1,96) = 0,95 
Obtención de un I de C
P{ -zα/2 ≤ Z ≤ zα/2 } = 1 - α 
P{ -zα/2 ≤ ≤ zα/2 } = 1 - α 
Forma reducida de los I de C
I de C para la media poblacional μ
(con Desvío Estándar poblacional 
Conocido)
Siendo:
I de C para la proporción π
La construcción de I. de C. para π requiere 
grandes tamaños de muestra, tanto mayores 
cuanto más se desvía p de 0.5. 
I de C para μ
1
-μ
2
I de C para π
1 
- π
2
 
I de C para la media poblacional μ
(con Desvío Estándar poblacional Desconocido)
Si se desconoce la Desviación Estándar 
Poblacional, se deberá trabajar con:
• Distribución de Probabilidad t de Student,
• Identificar los Grados de Libertad,
• Seleccionar de la tabla respectiva el valor t.
X 
+
- t 
S 
n 
* En una encuesta se pregunta a 100 personas cuántos libros lee al 
año, obteniéndose una media de 5 libros. Se sabe que la población 
tiene una distribución normal con desviación estándar 2.
Hallar un intervalo de confianza al 90 % para la media poblacional.
EJERCITEMOS
* En una ciudad residen 1250 familias. Se seleccionó una muestra 
aleatoria de un 20 % de ellas y se les preguntó si disponían de gas 
ciudad en su vivienda. Sabiendo que todas las familias 
seleccionadas respondieron y que se obtuvo un total de 75 
respuestas afirmativas.
-¿Qué estimación puntual podríamos dar para el porcentaje de 
familias de esa ciudad que disponen de gas ciudad en su vivienda?