Cartilla de Trabajos Prácticos - Introducción a la Matemática - FEBRERO 2022

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INTRODUCCIÓN 
A LA 
MATEMÁTICA 
 
 
 
 
 
Trabajos Prácticos 
2022 
 
 
 
Universidad Nacional de Jujuy 
Facultad de Ciencias Económicas 
Introducción a la Matemática 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Integrantes de la Cátedra 
 
Profesor Adjunto 
– Lic. Víctor Mérida 
 
Jefes de Trabajos Prácticos 
– Prof. Patricia Gutierrez 
– Cdor. Diego Zeballos Noguera 
 
Profesores Ayudantes 
– Lic. Cecilia Adaro 
– Cdor. Raúl Aguilera 
– Lic. María José Aisama 
– Prof. Rodrigo Bejarano 
– Prof. Teresa Espinosa 
– Ing. Agustina Fiad 
– Ing. Daniel Garabito 
– Cdor. Martín Lasse 
– Prof. Lenny Omonte 
– Prof. Irene Quadarella 
– Cdor. Luciano Tolaba 
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Introducción a la Matemática 
 
TRABAJO PRÁCTICO N°1 
LOGICA Y CONJUNTOS 
 
1.- Analizar las siguientes oraciones, indicar que función cumplen y decir cuales son 
proposiciones. 
a) Borges fue un escritor argentino. 
b) ¡No existe la justicia! 
c) Entreguen los parciales. 
d) ¿Qué día es hoy? 
e) Llueve. 
f) Los bienes de arte y cultura pertenecen al activo de una empresa. 
g) Ingresaré a la universidad si apruebo el examen de admisión. 
h) Prohibido estacionar. 
i) Juan es un artista jujeño reconocido por trabajar con arcilla y lana. 
j) El producto bruto interno creció un 2,9% en el 2021. 
k) ¡Feliz cumpleaños! 
l) Los encuestados se manifiestan a favor o en contra del nuevo régimen previsional. 
m) El cero no pertenece al conjunto de los números naturales. 
n) 5 + 7 = 20 
2.- Unir con flechas cada proposición con su forma simbólica. 
p: Llueve, q: Hace calor, r: Es verano 
Llueve y hace calor. ~ r  (~ p~q) 
Si llueve y no hace calor, entonces es verano. p  q 
Llueve o hace calor y no es verano. (p  q) ~ r 
Cuando no es verano, no llueve ni hace calor. ( p ~ q) r 
 
 
p: Las estrellas emiten luz, q: Los planetas reflejan luz, 
r: Los planetas giran alrededor de las estrellas 
Si las estrellas emiten luz, entonces los 
planetas la reflejan y giran alrededor de ellas. 
 ~ ( r q ) 
 
No es cierto que los planetas giran alrededor 
de las estrellas o reflejan luz. 
~ p  ~ q 
Los planetas reflejan luz si y solo si las 
estrellas la emiten. 
q  p 
Si las estrellas no emiten luz, los planetas no 
la reflejan. 
p  q  r 
 
 
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3.- Para los siguientes enunciados, identificar las proposiciones simples intervinientes y 
escribirlas en forma simbólica. 
 
a) Los encuestados se manifiestan a favor o en contra del nuevo régimen previsional. 
b) La suma y el producto de dos números naturales, es otro número natural. 
c) Durante el 2022 residiré en Francia o en Argentina. 
d) La demanda de un bien aumenta si y solo si bajan los precios. 
e) 20 es múltiplo de 4 o de 5. 
f) Aprobarás el examen si y solo si obtienes 4 puntos o más. 
g) Si el triángulo ABC es equilátero, entonces es isósceles. 
h) El cero es un número real porque pertenece al conjunto de los números enteros. 
i) Matías es una persona económicamente activa, por lo tanto, está ocupado o 
desocupado. 
4.- Simbolizar, negar y retraducir los siguientes enunciados, identificando las proposiciones 
simples que intervienen. 
a) Las inversiones no forman parte del pasivo de una empresa. 
b) La vitamina C se encuentra en cítricos o frutos rojos. 
c) Si estudio todos los temas entonces aprobaré la materia. 
d) Las cuentas Proveedores y Acreedores forman parte del pasivo de una empresa. 
e) Pedro está escolarizado porque asiste a la escuela primaria o secundaria. 
5.- Completar los siguientes enunciados: 
a) En la implicación 𝑝 ⇒ 𝑞; 𝑝 se denomina ……....…. y 𝑞 se denomina……………..… 
b) Si la negación de una proposición es falsa, la proposición es ……………………… 
c) El bicondicional es verdadero solo cuando ……………....…………….….…………. 
d) Si ~ 𝑟 ∧ 𝑝 es verdadera; 𝑟 ∨ ~ 𝑝 es ………………………….….……..…….…………. 
e) Si 𝑝 ⇒ (𝑞 ⇒ 𝑟) es falsa; entonces ~ 𝑟 ⇒ ~ 𝑝 es ….…………….……....………..…… 
f) Si (𝑚 ∧ 𝑞) ⇒ 𝑟 es falsa; 𝑟 es ……….……, 𝑞 es ………………. y 𝑚 es …….……..... 
6.- Los valores de verdad de las proposiciones 𝑝, 𝑞 y 𝑟 son respectivamente V, F, V; 
obtener los valores de verdad de las proposiciones dadas: 
a) (𝑝 ∧ ∼ 𝑟) ⇒ 𝑞 
b) (𝑝 ⇒ 𝑞) ∧ (𝑞 ⇒ 𝑝) 
c) [(∼ 𝑟 ∨ 𝑞) ⇔ (𝑟 ∨ ∼ 𝑝)] ⇔ ∼ 𝑟 
d) (∼ 𝑝 ∨ 𝑞) ∧ (∼ 𝑝 ∧ 𝑟) 
e) [(∼ 𝑝 ⇒ 𝑞) ⇒ ∼ 𝑟] ∨ (∼ 𝑞 ⇒ 𝑟) 
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7.- Completar los siguientes cuadros, justificando el procedimiento: 
p q r ∼ p ∼ q ∼ r p ⇒ (q ∨ ∼ r) 
 F 
 
p q r ∼ p ∼ q ∼ r (∼ p ⇒ ∼ q) ∨ (q ∧ r) 
 F 
 
8.- Determinar, en cada caso, si la información que se brinda es suficiente para conocer el 
valor de verdad de las siguientes proposiciones compuestas: 
a) (𝑝 ⟺ 𝑞) ⇒ 𝑟; sabiendo que 𝑟 es V. 
b) (∼ 𝑝 ∨ 𝑞) ∧ (𝑝 ∧ 𝑟); sabiendo que 𝑞 y 𝑟 son V. 
9.- Simplificar las siguientes proposiciones usando propiedades. 
a) (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ∼ (∼ 𝑝 ∧ ∼ 𝑞) 
b) 𝑞 ∧ ∼ (𝑝 ⇒ ∼ 𝑞) 
c) ∼ [∼ 𝑝 ∨ ∼ (∼ 𝑞)] ∧ ∼ (∼ 𝑝) 
d) ∼ {∼ [(𝑝 ∧ 𝑞) ∧ 𝑟] ∨ ∼ 𝑞} 
10.- Para cada una de las siguientes proposiciones compuestas, confeccionar las tablas 
de valores de verdad y clasificarlas en tautologías, contradicciones o contingencias. 
a) [(𝑝 ∧ ∼ 𝑞) ⇒ 𝑞] ⟺ (𝑝 ⇒ 𝑞) 
b) [(𝑝 ⇒ 𝑞) ∧ ∼ 𝑝] ⇒ ∼ 𝑞 
c) ∼ [(𝑝 ∧ ∼ 𝑞) ⇒ (𝑝 △ 𝑞)] 
d) 𝑝 ∧ (𝑞 ∨ 𝑟) ⟺ [(𝑝 ∧ 𝑞) ⇒ (𝑟 ∧ 𝑝)] 
e) [(𝑝 ∧ 𝑞) △ (𝑝 ∧ 𝑟)] ⇒ [𝑝 △ (𝑞 ∨ 𝑟)] 
f) [(𝑝 ∨ 𝑞) ∧ (𝑝 ∨ 𝑟)] ⇔ [𝑝 ∨ (𝑞 ∧ 𝑟)] 
g) [(𝑎 ⇒ 𝑏) ∧ (𝑏 ⇒ 𝑐)] ⇔ (𝑎 ⇒ 𝑐) 
11.- ¿Cuáles de las siguientes proposiciones son equivalentes a ∼ [(𝑝 ∧ 𝑞) ∨ ∼ 𝑟]? 
a) 𝑝 ⇒ ∼ (𝑞 ∨∼ 𝑟) b) 𝑟 ∧ (𝑝 ⇒ ∼ 𝑞) 
12.- Expresar simbólicamente y retraducir: la contraria, la recíproca, la contra-recíproca y 
la negación de las proposiciones dadas: 
a) Diego practica deportes y estudia inglés porque participará de torneos 
internacionales de verano. 
b) Si no resuelvo todos los ejercicios, tengo el práctico incompleto y no estudio. 
c) Si la humedad es alta, lloverá esta tarde o mañana. 
d) Me quedo en mi casa y no voy al parque cuando llueve. 
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13.- Determinar la validez de los siguientes razonamientos: 
 
a) El que estudia, aprende. 
El que aprende, es inteligente. 
Entonces, el que estudia, es inteligente. 
 
b) Si bajan los impuestos, se eleva el ingreso. 
El ingreso se eleva. 
Por lo tanto, los impuestos bajan. 
 
c) Si Juan invierte en el mercado de valores, se hará rico. 
Si Juan se hace rico, será feliz. 
Por lo tanto, si Juan no invierte en el mercado de valores, será feliz. 
 
d) Si estudio, entonces no falto a la clase de Matemática. 
Si no juego al básquet, estudio. 
Falto a la clase de Matemática. 
Por lo tanto, juego al básquet. 
 
e) Si me gusta Contabilidad, estudio. 
Estudio o fracaso. 
Por lo tanto, si fracaso, entonces no me gusta Contabilidad. 
 
f) El triángulo es isósceles si tiene dos lados iguales. El triángulo no es isósceles. En 
consecuencia, el triángulo no tiene dos lados iguales. 
 
g) Si Pedro resolvió el último problema del examen correctamente, entonces aprobó el 
semestre. Pedro avanza en la carrera, si aprueba el semestre. Luego, Pedro resolvió 
el último problema correctamente y avanza en la carrera. 
 
14.- Negar las siguientes expresiones. 
a) ∃ 𝑥 𝑃⁄ (𝑥) ∨ ∼ 𝑄(𝑥) b) ∀ 𝑥 ∶ ~𝑃(𝑥) ⟹ 𝑄(𝑥) 
 
15.- Simbolizar, negar y retraducir, usando cuantificadores. 
 
a) Todos los números naturales son pares y primos. 
b) Ningún empresario tiene deudas. 
c) Algunos comerciantes tramitan el certificado de libre deuda cuando pagan sus 
impuestos. 
d) Todos los científicos son distraídos o temperamentales. 
e) Algunos empleados no son amables cuando atienden al público. 
f) Algunos jóvenes no estudian ni trabajan. 
g) Si todoslos niños van a la escuela y practican deportes entonces no juegan con la 
computadora. 
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16.- Determinar el valor de verdad de cada uno de los siguientes enunciados en el conjunto 
de los números reales: 
 
a)  x: x = -x c)  x: x + 1  x 
b)  x / x2 = x d)  x / x + 2 = x 
17.- Definir por extensión los siguientes conjuntos: 
A =  x/x  N  x es un Nº impar menor que 3 
B =  x/x  Z  – 4  x  3  
C =  x/x  N  x  3  x  8  
D =  x/x es un dígito par mayor que 8 
E = { x/x es una vocal de la palabra murciélago } 
18.- Definir por comprensión los siguientes conjuntos: 
 A = 1; 3; 5; 7; 9  
 B = -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4 
 C = 4  
 D = 5; 10; 15; 20 
 E = { m; s } 
19.- Sea el conjunto U =  x/x es un Nº dígito  
a) Definir por extensión los siguientes conjuntos: 
A =  x  U / x es un Nº par mayor que 6 
 B =  x  U / 4  x  9  
 C =  x  U / x2 = 1  
 D =  x  U / 5  x  6  
 E =  x  U / x  7  
 F =  x  U / x  3  x  9  
b) Indicar cuáles de los conjuntos son vacíos y cuáles unitarios. 
c) Escribir el signo  o  según corresponda: 
7.......A 0.......D 
4.......B 1........E 
0.......C 3........F 
1.......C 4........F 
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d) Indicar, sobre la línea de puntos, si son verdaderas o falsas las siguientes 
relaciones entre los conjuntos definidos anteriormente: 
C  A ....... D = E....... 
C  E ...... F  C....... 
B  A ....... D  E....... 
20.- Dados los siguientes conjuntos definidos por comprensión: 
 A = { x/x  Z  x - 4 = 6 } 
 B = { x/x  Z positivos  x < 12 } 
 C = { x/x  Z positivos impares  x < 12 } 
E = { x/x  Z } 
a) Definir los conjuntos por extensión, si es posible. 
b) ¿Existen relaciones de subconjuntos entre ellos?, ¿cuáles?, explicar. 
21.- Escribir, sobre la línea de puntos y según corresponda, alguno de los siguientes 
símbolos: , , , , =,  
a) 2;3........ 4  d) 4............. 1; 2; 3; 4  
b) 2; 3; 4........2; 3 } e) ............{ 2; 3 } 
c) 5 ............... 2; 3  f) 2;3......2;3 
22.- Dados los conjuntos: 
 A =  x/x  N  0  x  9  
 B =  y/y  N  y = 2x + 2  x  A  
a) Definir por extensión los conjuntos A y B. 
b) Determinar la unión y la intersección entre ambos, analítica y gráficamente. 
23.- De acuerdo con el diagrama, escribir: 
A  B A  B A  BC AC  B AC  BC A  BC 
AC  B AC  BC A – B B – A (AB)C (AB)C 
(AC)C A  B 
 U 
 
 A B 
 . 6 . 1 
 . 2 . 5 
 . 4 
 . 8 . 3 
 
 . 7 . 9 
 
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24.- Dados los conjuntos U = {a; b; c; d; e; f; g; h; i} , y sus subconjuntos C = {a; e; i} , 
D = { a; e} y E = {c; d; f; g} 
Hallar los conjuntos: C  D, C  D, CEC, CC E, DE, CE, C – E, E – D, (CE)C, CE 
y graficar. 
25.- Completar las tablas, sabiendo que A = {1, 2} 
 
  {1} {2} {1; 2}   {1} {2} {1; 2} 
  
{1} {1} 
{2} {2} 
{1; 2} {1; 2} 
 
26.- Dados los conjuntos U = -1; 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 , y sus subconjuntos: 
A =  1; 3; 5; 8 , B =  1; 2; 4; 5; 7  y C =  -1; 1; 2; 3 , comparar analítica y gráficamente 
los siguientes pares de conjuntos: 
 a) A  (B  C) (A  B)  (A  C) 
 b) A  (B  C) (A  B)  (A  C) 
 c) (A  B) c Ac  Bc 
 d) (A  B) c Ac  Bc 
27.- Expresar, mediante operaciones de conjuntos, lo que se indica en la parte sombreada 
de cada gráfico: 
 
 U U 
 a) A B c) A B 
 
 
 C C 
 
 
 U U 
 b) A B e) d) A B 
 
 
 C 
 A B 
 
 
 
 C 
 
 
 
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28.- Dado U = {x/x es un número dígito} y dadas las funciones proposicionales: 
P(x): x es un dígito impar 
Q(x): x es un dígito mayor que 4 
a) Escribir el conjunto P que tiene como elementos los valores de x que hacen que la 
proposición p sea verdadera y el conjunto Q que tiene como elementos los valores 
de x que hacen que la proposición q sea verdadera. 
b) Escribir ~P(x), P(x) ∨ Q(x), P(x) ∧ Q(x) 
c) Determinar PC, P Q, P  Q 
29.- Dados los conjuntos finitos: A = a; b; c; d , B =  d; e; f; g; h; i; j  
a) Determinar el número de elementos de A y de B. 
b) Usando diagramas de Venn, determinar: n (A  B) y n (A  B) 
c) Verificar que: n (A  B) = n (A) + n (B) – n (A  B) 
30.- Analizar los siguientes problemas en términos de conjuntos: 
a) Juan toma café o leche (o ambos) en su desayuno cada mañana durante el mes de 
enero. Si toma café 25 mañanas y leche 18 mañanas, ¿cuántas mañanas toma café 
con leche? 
b) Se efectuó una encuesta a 60 jóvenes sobre el consumo de bebidas gaseosas: 23 
de ellos dicen tomar gaseosas sabor cola, 25 consumen sabor lima-limón, 20 sabor 
naranja, 8 toman gaseosas cola y lima-limón, 6 cola y naranja, 14 lima-limón y 
naranja y sólo 2 afirman consumir de los tres sabores. En base a los datos, realice 
el diagrama de Venn y responda: 
i) ¿Cuántos jóvenes consumen gaseosas sabor naranja y lima-limón, pero 
no cola? 
ii) ¿Cuántos jóvenes consumen gaseosas de naranja o cola? 
iii) ¿Cuántos consumen gaseosas sabor cola o lima-limón, pero no naranja? 
iv) ¿Cuántos jóvenes no consumen estos sabores de gaseosas? 
31.- Dados los conjuntos: A =  1; 2; 3  y B =  a; b : 
a) Definir por extensión los conjuntos: A x B, B x A, A x A, B x B 
b) ¿A x B = B x A? Justificar la respuesta. 
32.- Si el producto cartesiano de los conjuntos T y S es: 
 T x S =  (7,9); (7,10); (8,9); (8,10); (3,9); (3,10); (4,9); (4,10)  
a) Escribir por extensión los conjuntos T y S 
b) Graficar el producto cartesiano TxS 
 
 
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TRABAJO PRÁCTICO N°2 
CONJUNTOS NUMÉRICOS 
 
1.- Sean los conjuntos: N, Z, Q, I, R, Im y C, que representan respectivamente a los 
números naturales, enteros, racionales, irracionales, reales, imaginarios puros y 
complejos. Establecer la veracidad (V) o falsedad (F) de las siguientes afirmaciones: 
a) – 3 ∈ Z f) π ∈ R 
b) 2,5 ∈ N g) −4 ∈ I 
c) 3 ∈ Q h) ¾ ∈ Im 
d) 1 + 3i ∈ R i) 1 – 2i ∈ C 
e) 2 ∈ Q j) 0 ∈ R 
2.- Unir con flechas las operaciones indicadas en la columna A con sus respectivos 
resultados de la columna B: 
Columna A Columna B 
N  Z Q 
R  I Ø 
I Q Z
- 
Z - {N  {0}} I 
ZF Z 
 
3.-Escribir V (verdadero) o F (falso) según corresponda. Justificar lo falso. 
a) 8 es un número natural por lo tanto es irracional. 
b) -36 es un entero, entonces -36 es racional. 
c) Cualquier número racional es natural.d) 3 2 es un irracional, pero no es real. 
e) La suma de dos números racionales es otro número racional. 
f) El producto de dos números irracionales es otro número irracional. 
4.- Escribir el nombre de la propiedad de los números reales que se aplica en cada caso: 
a) 2 (x + y) = 2x + 2 y 
b) 2 (3y) = (2. 3) y 
c) 2 (x – y) = (x – y) 2 
d) (7 + x) y= 7 y + x y 
e) (x + 1) (y + 1) = x y + x + y + 1 
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5.- Indicar si cada una de las igualdades siguientes es válida o no. Reemplazar cada 
proposición no válida por la que corresponda: 
a) 27 = 24 . 23 = 26 . 2 f) (– 4)2 = – 42 
b) 25 = 52 g) (32)3 = 35 
c) (3 . 5)2 = 32 . 52 h) (3 + 5)2 = 32 + 52 
d) 2 –5 = – 10 i) 
4
3
 
−2
=
32
42
 
e) 
2
x
+
4
x
=
6
x
 , con x ≠ 0 j) 
x
y
+
z
w
=
x+z
y+w
 , con y, w ≠ 0 
 
6.- Aplicar propiedades de la potenciación y resolver: 
a) (- 3)-2. (- 3)-3 g) 2-9 .34 . 4-3 . 35 
b) 2-5 . 24. 2-5 h) (12 a4 b2)-3 
c) 34.3-3.3-5 i) 3-3 : 56 . 3 -9 
d) 2-5: 24 j) 2 h+1 : 24 
e) [ (0,4)-3]-7 k) 165 : 46 
f) 610 .60 . 3-2 . 34 l) 145: 146 
 
7.- Efectuar los cálculos y escribir cada expresión de manera que todos los exponentes sean 
positivos 
a) 
2x3y−3
5x4y2
 
−1
 b) 
7a−3b−4
2a2b2
 
−2
 
 
8.- Escribir el valor de x que haga verdadera cada una de las siguientes igualdades: 
 a) 3x . 35 = 38 b) 2 –5 . 2x = 29 c) 
4−3
4x
= 45 
9.- Si 1 8 3 2x   , entonces 
2
x es igual 
 
a) 48 b) 50 c) 98 d) Ninguna 
 
10.- Resolver las siguientes operaciones combinadas con números racionales: 
2 4 1 3 1 4
2
3 5 2 4 3 5
   
         
    
2 2
1 2 1
1 3
2 3 2
     
          
      
1 3
7 .
2 5
1
2
4
 
  
 

 
1
1 2 1 1 1
1
8 3 2 2 0
1 1
1
4 5

   
      
   
 
  
 
 
11
 
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 
2
1
2
1
1
3
1 2
1 1
1
2 5
 
 
 
 
 
 
 
 
3 7
2 3
2 2 5
3 3 4
1 1
1
4 4


   
    
   
   
    
   
 
( ) ( )
( )
2 3
2
1, 4 0, 9 3 1, 3 1,1
0,1
- - -
 
 
   
 
2
23
0, 5 (0,1 6 0, 2 )
2
 
 
11.- Resolver: 
a) 1 8 5 0 2 8  
 
 f) 4 33 555  
b) 2 7 - 5 0 + 1 2 + 8
 
g) 44
324 3 5125 xyyxyx  
c) 800.580.3320.4450.7  h)
2
1016 
 
d) 8 81 . 𝑎2 . 𝑏4
4
− 3 16 . 𝑎 . 𝑏2 − 2 𝑎3 . 𝑏6
6
 i)
10 3
5 24
3
33 
 
e) 5
5 45 32
248 mnnmnm  j)
 9 𝑥2𝑦3
5
 . 36 𝑥3 𝑦
4
 12 𝑥3𝑦2
 
 
12.-Racionalizar los denominadores: 
a) 
3
 
2
 
f) 
1+2 3
1−2 3
 
b) 
3
5
 g) 
 7 − 3
 7 + 3
 
c) 

3 2
 
2 1
 h) 
𝑥2−3𝑏
 3𝑏 + 𝑥
 
d) 


2 3
2 3
 i) 
 𝑦− 𝑧
 𝑥 𝑦− 𝑥 𝑧
 
e) 
x y
x y


 j) 
−3 𝑦 +4 𝑥2
2 𝑥 + 3 𝑦
 
 
13.- Resolver los siguientes logaritmos: 
 
a) log 3 27 + log 3 1 d) log 5 25 – log 5 5 
b) log 0,1 – log 0,01 e) log 20 + log 5 
c) log 3 7 – log 3 21 f) log 2 4 
250 
 
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14.- Hallar el valor de x en las siguientes expresiones: 
a) 
7
lo g x 3  c) 
2
lo g x -3 
b)  6log 4 x 1 2     d) 2 x 3lo g 8 1 2  
15.- Resolver aplicando propiedades de logaritmo: 
 a) log3 
32 . 93
3−2
 
2
 c) ln 
𝑒2 .𝑒4
𝑒−3
 
3
 
 
 b) log 
102 . 1003
1000 .2 . 104
 
4
 d) ln 
𝑒3
𝑒2.𝑒5
4
 
 
16.- Representar gráficamente los siguientes conjuntos de números reales: 
A= x N / x 5 F=x  R / 4 ≤ x ≤ 9 
B= x Z / -2  x  2 G=x  N / x  1 
C=x  R / x ≥ 7 H=x  R / x  0 
D= x  N / 1  x  7 I= x  R / x ≠ 0 
E=x  Z / x 2   -2 J= x  R / x  1  x > 5 
 
 
17.- Representar, en la recta real, los siguientes intervalos de números reales: 
a) [4, 7] e) (-2, 5] 
b) [
1
3
, ) f) (
5
2
, ) 
c) (-, -2) g) [- 
3
2
, 
3
2
 ] 
d) [0, 3) h) (-,) 
 
18.- Realizar gráficamente, en la recta real, las operaciones indicadas entre los 
siguientes intervalos: 
a) [-2, 4)  (0, 5) f) R – [
1
2
, 2] 
b) (-, 5]  [5, ) g) {(-1, 1)  [3, 6)}  (5,6] 
c) [-2, 3]  [-1, 1] h) (0, 4]  (4, 7) - {5} 
d) [-1, 3)  [3, 5] i) R – {1} 
e) (-, 2) (4, ) j) R – {-2, 0} 
 
 
13
 
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19.- Dadas los siguientes gráficos en la recta real, indicar la parte sombreada en 
término de intervalos y en término de conjuntos: 
 
 ( ] ) [ 
 –2 -1 x 0 2 x –2 0 x 
 
20.- Resolver las siguientes operaciones de números complejos: 
a) i3 – i4 + i5 – i6 e) 2 + i3 + 3 i2 + 4 – i5 
b) (3; – 5) + (2; –1) f) 2i . (–5 + 6i) – (6 – 7i) 
c) (3; 2) (4; – 2) g) (3 – 2i)(3 + 2i) – 8i3 
d) 
5+𝑖
−2−2𝑖
 h) 
3−2𝑖
4−𝑖
+ 
𝑖
2−𝑖
 
 
 
21.- Dados los siguientes números complejos: 
Z1= (-3; 4) Z2= 5-3i Z3= (-2; -1) Z4= (2; -4) Z5= -1+2i 
 Calcular las siguientes operaciones: 
a) (Z2+Z4) – (Z1+Z3) d) (Z1)3 
b) Z2 . Z4 – Z1 . Z5 e) 
Z2
Z1
 
c) (Z2)2 f) 
Z1
Z3
 
22.- Calcular aplicando potencias de la unidad imaginaria: 
 
a) i
2342
 .i
3523
 .i
6531
 
 
b) 
i3744 . i5754
i2765 . i5371 . i3527
 
 
14
 
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TRABAJO PRÁCTICO N°3 
REGLA DE TRES SIMPLE - PORCENTAJE 
 
1.- Calcular aplicando regla de tres simple directa o inversa, según corresponda: 
 
a) De una tela de 12 metros se hicieron 18 remeras. ¿Cuántas remeras se harán de 
una tela de 14 metros?. 
b) El precio de una gaseosa de 1,5 litros es de $100. Si el precio fuera proporcional al 
tamaño, ¿cuánto tendría que costar la botella de 2,25 litros?. 
c) Un avión que viaja a unos 600 kilómetros por hora aproximadamente en promedio 
tarda en llegar de Buenos Aires hasta Mendoza, más o menos 2 horas. ¿Cuánto 
tarda entonces en llegar un helicóptero, que en promedio su velocidad aproximada 
es 200 kilómetros por hora? 
d) Un remis le cobró a Emiliano $350 por llevarlo de su casa a la casa de Lucas, que 
queda a unas 56 cuadras de su casa. Si al otro día llama a la misma remisería para 
que lo lleve a la casa de Marcelo que queda a 64 cuadras de su casa: ¿Cuánto le 
van a cobrar esta vez?. 
e) Para fabricar 80 bolillas de vidrio se necesitan 320 gramos de vidrio. ¿Cuántas 
bolillas se podrán fabricar con 360 gramos de vidrio?. 
f) A una estación de servicio le alcanzan los depósitos que tienen de nafta para vender 
durante 5 días vendiendo en promedio unos 1600 litros de nafta por día. Si aumentan 
las ventas diarias y el promedio de ventas pasa a ser 2000 litros por día. ¿Para 
cuantos días de ventas le alcanzan sus depósitos? 
g) Para emparejar el césped de la cancha de Gimnasia y Esgrima de Jujuy, con una 
máquina cortadora se hace el trabajo en 8 horas. Si hay poco tiempo y se necesita 
que en un lapso de 2 horas se haga ese trabajo. ¿Cuántas máquinas cortadoras se 
deberían usar simultáneamente? 
h) Si en una finca de una hectárea se cosechan 50 docenas de bananas, ¿cuántas 
bananas se cosecharán en una finca de 8.000 mts² bajo las mismas condiciones de 
producción? 
i) Juan y Pedro hacen un camino de piedras de igual tamaño, al cabo de un tiempo de 
trabajo, cuentan la cantidad de piedras utilizadas y suman 240 piedras, siendo que 
con esa cantidad solo llegaron a completar 5 metros del camino. Si les faltan aún 3 
metros más ¿cuántas piedras en total tendrá el camino cuando lo terminen dehacer? 
j) Santiago vendió 1500 docenas de velas en el último año y medio. Si ahora le quedan 
250 docenas de velas y suponiendo que las venda al mismo ritmo, ¿en cuántos 
meses las venderá? 
15
 
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k) Un ciclista profesional, hizo un recorrido muy largo en 18 días y para ello anduvo 
durante 8 horas por día y descansaba el resto. ¿Cuantos días hubiera tardado si 
descansaba una hora menos por día? 
2.- Completar el siguiente crucigrama de números: 
 
 
 
a) Referencias Horizontales: 
 
1. Peso en gramos de un paquete con 120 galletitas, si un paquete de 50 
galletitas iguales pesa 620 gramos. 
2. Cantidad de minutos que se tarda en pintar una pared de 5 metros si para 
pintar una de 3 metros se tarda 1 hora. 
3. Horas que se tardan en llenar la pileta con 2 mangueras juntas, si con 3 
mangueras se tardan 8 horas. 
4. Precio de 34 docenas de facturas, si 8 facturas cuestan $2. 
5. Cantidad de cerámicos de 20 cm² que se necesitan para cubrir un patio, si 
con cerámicos de 24 cm² se necesitan 1420. 
6. Distancia que se recorre en auto a 80 km/h, si en el mismo tiempo, a 50 
km/h se recorren 800 metros. 
b) Referencias Verticales: 
 
1. Cantidad de litros de pintura para pintar una pared de 424 m². Si 3 litros de 
pintura alcanzan para 8 m². 
2. Costo de una llamada de larga distancia de 1 hora y media, si cuestan 
$0,40 los 3 minutos. 
3. El cuádruple de 31. 
4. El triple del triple del triple del triple del triple de 7. 
5. La cantidad de meses del año que no empiezan con la letra “j”. 
7. Cantidad de ventanillas de un tren de 4 vagones si un tren de 7 vagones 
tiene 140 ventanillas. 
3.- Expresar en porcentaje: 
1
3
4
5
2 7
6
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a) 0,12 b) 0,72 c)1,7 d) 3 e) 1/10 f) 0,333.... g) 3/4 h) 0,425 i) 4,12 
 
4.- Completar la siguiente tabla: 
 
Númer
o 
10% 12,5% 20% 25% 
3
1
33 % 50% 75% 100% 200% 
 24 
 3 
 30 
 3 
120 
 4,8 
 
5.- Calcular: 
 
a) El 12% de descuento por un artículo que vale $5.400. 
b) El 35% de páginas leídas de un libro de 380 páginas. 
c) El 15% de goles marcados por Messi de un total de 40 goles marcados por el 
goleador del campeonato. 
d) El 48% de alumnos varones en un colegio de 450 alumnos en total. 
 
6.- Determinar el porcentaje de: 
 
a) 35 alumnos de un colegio de 700 alumnos. 
b) $2.540 de rebaja por una compra de $63.500 
c) 357 manzanas podridas de un total de 1.500 manzanas. 
d) 40 horas de trabajo semanal de una jornada de 48 horas. 
 
7.- Calcular: 
 
a) El total de una deuda, sabiendo que el 8% de ella es $56.000 
b) El precio de un artículo cuyo 12% es $3.600 
c) La edad de un padre si el 24% de su edad equivale a la edad de su hija de 12 
años. 
d) El descuento del sueldo de un empleado si recibió $84.000 que equivale al 
85%. 
e) Juan compró una remera pagando en 4 cuotas de $251,60 c/u. La compra de 
contado le hubiera costado $925. ¿Qué porcentaje de intereses le cobraron? 
17
 
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f) Si 144 alumnos aprobaron el 1º parcial de economía, los cuales representan el 
16% de los alumnos inscriptos en la materia. ¿Cuántos alumnos deben rendir el 
recuperatorio? 
g) Considerando que de un total de 1500 alumnos inscriptos en Contabilidad, el 
15% son de LEP y el 21% son de LA. Si de CP solamente aprobaron 180 
alumnos, ¿qué % representan respecto del total de alumnos inscriptos los CP 
desaprobados? 
h) Considerando un total de 5125 tomates, si hay 410 tomates podridos, ¿cuál es 
el % de tomates en buen estado? 
i) Sergio compró una remera y pagó en total $2.748,90 con tarjeta de crédito, el 
cual incluye 7,8% de interés. ¿Cuánto hubiera gastado si pagaba de contado? 
j) Al comprar un pantalón se obtuvo un descuento de $350,10 que representa el 
7,78% del precio. ¿Cuánto pagó finalmente con el descuento? 
 
 
 
 
 
18
 
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TRABAJO PRÁCTICO N°4 
EXPRESIONES ALGEBRAICAS 
 
1.- Identificar si las siguientes expresiones algebraicas son polinomios, expresiones 
algebraicas fraccionarias o expresiones algebraicas irracionales: 
P(a)= 3a + 2 P(b)= 
5b−2+3
2
 P(c)= c + 1 − 3 
P(d)= −
1
3
d − 5d2 + d5 P(e)= 
(e+3 )2
e5
 P(f)= 
f 2+f 
1
2
 2f
 
2.- Unir con flechas, indicando el grado del polinomio. 
 
 a) -1/2 x4 + 3 x2 – 5 x + 1 6 
 b) -3 + 9 x3 -7 x + 15 x4 
 c) x6 + x4 – 7x3 + 1 3 
 d) 0 x4 + 3 x3 – x 
 e) -4 x + 2 x3 – 7 x6 4 
 
3.- Completar y ordenar en forma decreciente, los siguientes polinomios: 
 
a) P(x)= 2x2 + 4x5 – x3 
b) P(y)= 4y + 3y3 – y4 – 1 
c) P(w)= 2w – 10 + w5 
d) P(t)= 3t3 + t 
 
4.- Dados los polinomios: 
5 4 2
4
4 2
A ( x ) 1 2 x 1 8 x 2 x 2 x 4
B ( x ) 6 x x
7 1
C ( x ) x x x 1 0
3 2
    
 
   
 
Calcular: 
a) El valor numérico del polinomio A cuando x= -1 
b) 2 A(x) – 3 C(x) + B(x) 
c) A(x) : B(x) , indicando el cociente y el resto. 
19
 
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d) [C(x) – A(x)].B(x) 
5.- Dados los polinomios: 
352)(
2
 xxxA 
62)(
2
 xxxB
 5)(
2
 xxxC 
672)(
23
 xxxxD 1)(  xxE 2)(  xxF 
 
Resolver: 
a)   )(:)()()( xExCxBxD  
b)    )()()()( xExBxFxC  
c)     )()()(
22
xAxExF  
6.- a) Escribir un polinomio que represente el perímetro y otro que represente la 
superficie de la siguiente figura: 
 
 
 
 
 
 b) Escribir el polinomio que representa el perímetro de la siguiente figura: 
 
 
7.- Indicar si son verdaderas o falsas las siguientes igualdades: 
 
a) (5x3 + 
1
2
 x2 -3x + 
3
4
 ) + ( 
4
5
 x3 + 3x2 + 
1
5
 x – 
1
2
 ) =
29
5
 x3 + 
7
2
 x2 – 
14
5
 x + 
1
4
 
b) (4x2 – 5x + 3) . (x2 – 4x +1) = 4x4 - 21 x3 + 27x2 – 17x + 3 
c) (2x – 1 – 2x2) . (6x – 9 – x2) = 2x4 + 21 x3 – 30x2 -24 x + 18 
d) (-2b² + b - 1 + 2b³) .(b - 2b²) = -4bµ + 6b´ - 4b³ + 3b² - b 
e) (3c² - 2c + 1).(c³ + 2c²) = 3cµ + 4c´ - 3c³ + 2c² 
f) (d² - ⅓).(d² +⅓) = d´ - ⅟ ₉ 
g) (½ eµ - 10). (½ eµ - 10) = ¼ e¹⁰ - 100 
R P 
N M 
h 
h 
C 
B 
A 
   

   




 
2
2
M N x 5 x 5
N P 2 x 1 0 x 3
3
R P M N
2
h 4 x
   


  

 

2
2
A C 2 x 3 x 4
C B x 5 x 2
h 3 x 5
20
 
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8.- Hallar el cociente y el resto de las siguientes divisiones y comprobar que el 
cociente por el divisor, más el resto, es igual al dividendo: 
 
a) (15𝑥7 + 20𝑥5 − 10𝑥2): (5𝑥2) 
b) (3𝑥4 − 12𝑥2 + 9𝑥 − 5): (𝑥2 − 2𝑥 + 1) 
c) (−7𝑥 + 𝑥4 + 6𝑥5 + 4𝑥2 + 1): (2𝑥2 − 3 + 𝑥) 
 f)(𝑥4 − 16): (𝑥2 − 2) 
 g) (8y³ - 3y + y² +1) ÷ (2y² - y + 2) 
 h) (w´ +7w³ ) ÷ (0,5w³ - 3) 
d) 12𝑥5 −
5
3
+ 𝑥3 : (−3𝑥 + 5 − 6𝑥2) i) (x5 + 2x3 − x – 8) : (x2 − 2x + 1) 
e) (𝑥3 − 27): (𝑥 − 3) j) 4 𝑥3 + 𝑥6 − 𝑥 − 
1
16
𝑥4 + 2 : 2𝑥2 − 
1
2
𝑥 
9.- Interpretar y responder: 
a) Dado 3 2
7 x
P ( x ) x x 2
8 3
    , ¿cuál es el valor numérico de P para x = 6? 
b) ¿Cuál es valor de la constante “k” para que Q(-1) = 2 siendo Q(x) = -x2+3x+k? 
c) ¿Cuál es el valor de “m” en el polinomio 3 2R ( x ) 2 x m x 4 x 5    para que el 
mismo sea divisible por (x - 1)? 
d) Dado 2S ( x ) x a x a   , ¿cuál es el valor de “a” para que al dividirse S por (x + 
0,2) el resto sea igual a 3? 
e) Si T(x)= x2 + b, ¿cuál es el valor de “b” para que 5 sea raíz del polinomio T? 
 
10.- Realizar las siguientes divisiones utilizando la regla de Ruffini. Escribir el polinomio 
C(x) y el resto para cada división. Verificar utilizando el teoremadel resto 
a)    
   
   
4 2
6 4 3
4 3 2
) 3 2 1 : 4
) 2 3 2 3 1 : 2
) 3 2 1 : 3
a x x x x
b x x x x x
c x x x x
    
     
     
 
d)  
   
   
6 3 4
4 2
3 2
1
) 2 :
2
) 2 1 5 6 : 3
) 5 2 6 : 2 2
d x x x x
e x x x x
f x x x x
 
    
 
      
      
 
b) 
   
   
   
4 2
6 4 3
4 3 2
) 3 2 1 : 4
) 2 3 2 3 1 : 2
) 3 2 1 : 3
a x x x x
b x x x x x
c x x x x
    
     
     
 
e) 
 
   
   
6 3 4
4 2
3 2
1
) 2 :
2
) 2 1 5 6 : 3
) 5 2 6 : 2 2
d x x x x
e x x x x
f x x x x
 
    
 
      
      
 
c) 
   
   
   
4 2
6 4 3
4 3 2
) 3 2 1 : 4
) 2 3 2 3 1 : 2
) 3 2 1 : 3
a x x x x
b x x x x x
c x x x x
    
     
     
 
f) 
 
   
   
6 3 4
4 2
3 2
1
) 2 :
2
) 2 1 5 6 : 3
) 5 2 6 : 2 2
d x x x x
e x x x x
f x x x x
 
    
 
      
      
 
 
11.- Sin efectuar la operación, calcular el resto de las siguientes divisiones y decir cuáles 
son exactas: 
a) (x3 + 27) : (x + 3) e)(3x³ + 4x² + 5x – 6) : (3x – 2) 
b) (x4 – 16) : ( x - 2) f) (3x – 7 x3 + 
1
5
 x
2
 – 12 x + 4 ) : (x −3) 
c) ( x6 – 3 x2 + 4) : (x – 1) g) (x5 − 2x2 − 3) : (x −1) 
d) (x2 – 2x + 5) : (2x + 1) h) )2(:)672(
23
 xxxx 
21
 
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12.- Factorear los siguientes polinomios, si es posible: 
a) 6 a2 x2 + 9 ab x2 + 3 ac x2 l) x 2 + 36 – 12x 
b) 3 x ( 2 - x) + 4 x2 ( 2 – x) m) y6 – 36 x4 
c) 2 m x2 + 3 p x2 - 4m – 6p n) 8 a6 – x3 
d) 4 + 4 a + a2 o)5 a x² – 20 a x y + 20 a y² 
e) a4 + 2 a2 x3 + x6 p)m´ qµ + m´ rµ – 36 qµ – 36 rµ 
f) 
x2
a2
 - 
y2
b2
 q) x³ + a x² – x – a 
g) x5 + 1 r) 125 x3 + 5 x5 – 50 x4 
h) 2x3 y – 3 y2x2 + 11 x4 – 9x5y3 s) 20 x3 – 45 x + 8 x2 – 18 
i) 
1
6
 x3 y6 – 
2
9
 x3 y5 +
1
4
 x2 y12 t) 4 x6 – 108 x3 
j) 2 ax+ 2 b x – a y + 5 a – b y + 5 b u) 
27
125
a3b − 
3
5
ab 
k) 1 – 2a + a² v) 5x2y4 − 30 x2y2 + 45x2 
 
13.- Indicar la forma totalmente factorizada de: 
 
 a) 9x3 – xy2 + 9x2y – y3 b) x2 (x-2) – 4x (x-2) + 4 (x-2) 
 
i) (9x2 + y2) . (x+y) i) (x – 2) . (x + 2)2 
ii) (3x + y2) . (x+y) ii) (x - 2) . (x2 – 2x + 4) 
iii) (3x – y)2 . (x+y) iii) (x + 2) . (x - 2)2 
iv) (3x + y) . (3x – y) . (x+y) iv) (x - 2)2 
v) ninguna v) ninguna 
 
 
14.- Indicar para que valores de variables son válidas las siguientes expresiones 
algebraicas: 
a) 
2
x+2
 c) 
3x−7
x2−1
 e) 
−2x
x2−25
 g) 
x2+5
x2−3x+2
 
 
b) 
x+2
x+ 
1
2
 d) 
−5
4x
 f) 
x+3
x2−2x+1
 h) 
4x3−1
2x2+3x−5
 
15.- Simplificar las siguientes expresiones algebraicas: 
22
 
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a) 
5 x2−5
x+1
 h) 
xxx
xx
4914
49
23
3


 
 
b) 
x2−1
x2−x
 i) 
𝑧2 − 3𝑧 + 2
𝑧²−4
 
 
c) 
2 x−14
x2−14 x+49
 j) 
𝑎2𝑥2− 𝑎2𝑥−2𝑎2
𝑎3𝑥2− 𝑎3
 
 
d) 
a2 x− a2 b
a x2−a b2
 k) 
𝑥3+2 𝑥2− 9 𝑥−18
2 𝑥2− 2𝑥−12
 
e) 
x2−36
x3−216
 l) 
2𝑥4𝑏2− 32 𝑏2
𝑏2𝑥4−8 𝑏2𝑥2+16𝑏2
 
f) 
y3+5 y2
y3−25 y
 m) 
27+27𝑥+9𝑥2+𝑥3
3𝑥2+18𝑥+27
 
g) 
44
123
2
3


xx
xx
 n) 
𝑥3−64
𝑥3−12𝑥2+48𝑥−64
 
 
16.- Resolver: 
 
a) 
10 x−20
x2
 .
3x2
5
 .
20
x2−4x+4
 h)
2𝑥+4
4𝑥3−9𝑥
: 
𝑥2−4
2𝑥2−3𝑥
 
 
b) 
x2−1
3
 .
6 a
x+1
 .
x2−2x+1
10 a
 i) 
7
20
𝑏6− 
28
5
𝑎2
𝑏2− 𝑎2
: 
7
2
𝑏3− 14𝑎
5𝑏2−5𝑎2
 
 
c) 
8x12x6x
12x6
x2
4x4x
23
2




 j) 
3
2𝑥−4
− 
1
𝑥+2
− 
12
2𝑥2−8 
 
 
d) 
𝑥2+2𝑥
3𝑥4+12𝑥
.
𝑥4−16
𝑥2+4+4𝑥
.
6𝑥
4𝑥+8 
 k) 
8
𝑥2− 25
+ 
2𝑥−4
2𝑥−10
− 
𝑥
𝑥+5 
 
 
e) 
𝑥2 − 4
2𝑥 − 4
.
4𝑥 + 4𝑦
𝑥2 + 4 𝑥 + 4
.
𝑥2 + 2𝑥𝑦 + 𝑦2
𝑥3 + 3𝑥2𝑦 + 3𝑥𝑦2 + 𝑦3
 l)
2 𝑥
𝑥− 2
− 
1
𝑥−1
− 
𝑥+2
𝑥2−3𝑥+2 
 
 
f) 
3x
16x
:
9x
4x
4
2
2




 m) 
2 𝑥+3
𝑥
− 
2𝑥
𝑥−2
− 
1
𝑥−2 
 
23
 
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g) 
1
63
:
1
105
2




x
x
x
x
 n) 
1
1− 𝑥
+
1
1+𝑥
−
2𝑥
1−𝑥² 
 
17.- Resolver las siguientes operaciones combinadas: 
 
a) 
3
4x
+ 
x
4
− x . 
1+x
1−x
− 
1−x
1+x
 
b) 
x2
a2
− 
a2
x2
 : 
x
a
+ 
a
x
 
c) x4 − 
1
x2
 . x3 + 
1
x
 .
x4
x4+1
 
d) x4 − 
1
x2
 : x2 + 
1
x
 
e) x + 
x
x−1
 : x − 
x
x−1 
 
f) 
1
x+a
+ 
1
x−a
 : 
x2
x3− a2x
 
g) 
1
x²
−
6
x
+ 9 :
3x−1
x
 
h) 
v2 − 2v + 1
av +2v − a−2
.
5
v −1
+ 1 
i) 
3x
x²+4x+4
: 
x−1
x+2
−
x+1
x−2 
 
j) 
x3− 6 x2+ 9 x
3 x3− 9 x2
: 
x2− 9
6 x
+ 
12
x2− 9 
 
k) 
x−y
x +y
 − 1
1 − 
x +y
x−y
 
l) 
𝑎2− 25
𝑎2+ 5 𝑎
2 𝑎−10
𝑎+5
 + 
𝑎+5
2 𝑎
 
 
24
 
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TRABAJO PRÁCTICO N°5 
ECUACIONES - SISTEMAS DE ECUACIONES E INECUACIONES 
 
1.- Dadas las siguientes igualdades: 
i. Indicar cuáles son identidades y cuáles son ecuaciones. 
ii. Clasificar las ecuaciones. 
 
a) 3x + 7 + 5x = 3 + 8x + 4 f) (a + b) (a – b) = a2 – b2 
b) 5 + √𝐱 − 𝟓 = 15 g) 
𝟓𝐦
𝐦+𝟑
=
𝟑
𝟐𝐦
−
𝟐
𝐦+𝟑
 
c) log (x – 7) = 1 h) (x2 + 2y)2 = x4 + 4x2y + 4y2 
d) 2h – 5 = (1/32) 2 h i) 2 k1/2 + 4 = 16 
e) (x + 3) (x + 2) = x2 + 5x + 6 j) √
1
4
x + 8 = √
3
4
x 
 
2.- Resolver las siguientes ecuaciones: 
a) (8x + 1) (x – 3) = 2x (4x – 2) k) 2x – 3 = x/2 
b) 3x + 6 = 3 (2 – x) + 2x l) 
x
bc
+
x
ca
+
x
ab
= a + b + c; a, b, c constantes 
c) 
x+4
x−1
+ 2 = 5 m) 2x – 4 = 
x
6
−
2x−1
9
 
d) 
2z+3
4
− z +
3
2
z =
5+2z
4
 n) 
x+3
2
− 
𝑥−1
3
=
2x+5
6
 +1 
e) 
x+5
x2−4
−
x−4
x2+4x+4
 = 0 o) 
x+2
x−2
=
x+5
x+2
 
f) (3x + 1)2 – 2x = 9x2 + 5 p) 
𝑥−5
𝑥2−4𝑥+4
− 
5
𝑥2−4
= 
1
𝑥+2
 
g) 3x + 
𝟏
𝟐
 – 5 = 
𝟓
𝟐
 (2x – 4) q) (3x + 1)² - 2x = 9x² + 5 
h) 
2(x+3)
4x2−25
=
2
2x+5
−
4
2x−5
 r) 
9
26
62
8
62
2
2 −
=
+
+
− xxx
 
i) 
4x
x2−4
=
2x
x+2
 −2 s) 
5
𝑥−1
+ 
𝑥+2
𝑥2− 1
= 
−7
𝑥+1
 
j) 
1
3
 (2y + 1) + 
1
2
 y = 
2
5
 (1 – 2y) – 4 
 
25
 
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3.- Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones: 
a) 



=+
=−
242
923
yx
yx
 h) {
ax + by = 2ab
3ax − 2by = ab
 ; a y b constantes 
b) 



=−−+
=−
8).(3).(2
1334
yxyx
xy
 
i) 





=−
=−
12
3,1
25
1
yx
y
x
 
c) 



=−
−=
926
63
yx
xy
 
j) 






=
−
−
=
+
1
2
2
4
5
2
3
yx
yx
 
d) 







=
+
−
=
−
+
3
1
1
1
3
1
1
y
x
y
x
 
 
k) 



=−
=−
275,0
13
yx
yx
 
e) 
x y
x -1
2
x - y
y 1
2
+
=

 = +

 l) 






=+
−=−
14
8
3
6
5
2
6
1
3
1
yx
yx
 
f) 





=−−
=+
1452
2
2
1
7
yx
yx
 
 m) 






++=−
+=−
7
2
2
7
1
3
7
4
4
7
1
3
yx
yx
 
g) 
x y 4
-2x y 10
+ =

+ =
 
 n) 






−
−+
+−
2=
2
xy
+
3
4x
0=
4
2y
 +
3
12x
 
 
4.- Plantear las ecuaciones que sugieren los siguientes enunciados; (las cantidades 
desconocidas deben ser representadas por letras, no resolver): 
a) La suma de los productos fabricados por las secciones A, B y C de la empresa es 
de 6.000 unidades. 
b) La cantidad de ingresantes a la facultad en 2022 es un 10% mayor que en 2021. 
c) Si se compra una remera pagando con tarjeta de crédito el precio es de $500, pero 
si se paga de contado se obtiene un descuento del 5%. 
 
 
26
 
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5.- Plantear y resolver los siguientes problemas: 
a) La suma de tres números pares consecutivos es igual a 300. ¿Cuáles son dichos 
números? 
b) Se le informa a un comerciante que el precio con el I.V.A. (del 21%) de cierto 
producto es de $ 423,50. ¿Puede determinar cuál es el precio del producto sin el 
I.V.A.? 
c) La diferencia entre un número y el duplo de su consecutivo es –1. ¿Cuáles son 
dichos números? 
d) El largo de un rectángulo es el triple de su ancho y su perímetro es de 56 cm. Hallar 
las dimensiones del rectángulo. 
e) La diferencia entre la base y la altura de un rectángulo es de 3 cm. Hallar las 
dimensiones de la figura sabiendo que el perímetro es de 62 cm. 
f) El departamento de Marketing de una empresa tiene asignado un presupuesto de 
$ 80.000 para gastar en publicidad el próximo semestre. Se decide invertir $25.000 
en la elaboración de un comercial televisivo y el resto se utilizará en la contratación 
con los canales de televisión. Si estos cobran $10 el segundo de publicidad, 
¿Cuántos segundos podrán contratarse para el próximo semestre? 
g) Hallar dos números tales que si se dividen el primero por 3 y el segundo por 4 la 
suma es 15; mientras que si se multiplica el primero por 2 y el segundo por 5 la 
suma es 174. 
h) Un grupo de amigos planea una excursión a la montaña. Llaman a un albergue 
para preguntar cuántas habitaciones hay. La persona que les atiende les dice que 
hay 70 camas disponibles repartidas en 29 habitaciones, y que las habitaciones 
son dobles y triples. ¿Cuántas habitaciones hay de cada tipo? 
i) María y su hija Sara tienen en la actualidad 56 años entre las dos. Si dentro de 18 
años Sara tendrá 5 años más que la mitad de la edad de su madre, ¿qué edad 
tiene actualmente cada una? 
j) Una parcela rectangular tiene un perímetro de 240 m, si mide el triple de largo que 
de ancho, ¿cuáles son las dimensiones de la parcela? 
k) Por la compra de dos electrodomésticos hemos pagado $ 3500. Si en el primero 
nos hubieran hecho un descuento del 10% y en el segundo un descuento del 8% 
hubiéramos pagado $ 3.170. ¿Cuál es el precio de cada artículo? 
l) Hallar un número de dos cifras sabiendo que la suma de las cifras es 12 y que la 
primera de ellas es el triple de la segunda. 
m) En un concierto benéfico se venden todas las entradas y se recaudan 23 mil 
dólares. Los precios de las entradas son 50 dólares las normales y 300 dólares las 
vip. Calcular el número de entradas vendidas de cada tipo si el aforo del 
establecimiento es de 160 personas. 
n) En el aula de Alberto hay un total de 27 alumnos, habiendo el doble de chicas que 
de chicos. ¿Cuántos chicos y chicas hay en la clase de Alberto? 
o) Javier tiene 7 vehículos en su garaje: bicicletas (2 ruedas) y triciclos (3 ruedas). 
¿Cuántas bicicletas y cuántos triciclos tiene Javier si suman un total de 17 ruedas? 
p) Tomás utiliza en el gimnasio 9 pesas, siendo algunas de 5kg y otras, de 10kg. 
¿Cuántas pesas de cada utiliza si en total levanta 65kg? 
27
 
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q) Un equipo de básquet anotó un total de 55 canastas, obteniendo 125 puntos. 
¿Cuántos tiros de campo (2 puntos) y triples (3 puntos) realizaron? 
 
6.- Determinar la forma general de cada una de las siguientes ecuaciones cuadráticas. A 
partir de ellas, identificar los coeficientes a, b, y c, y completar el cuadro: 
 
 
 
 
 
 
 
7.- Dadas las siguientes ecuaciones: 
i. Resolverlas. 
ii. Clasificarlas en incompletas o completas. Si son completas, resolverlas aplicando la 
fórmula. 
a) x (x + 3) – (3x + 4) = 0 f) x (x + 1) (x + 3) = (x + 2)3 
b) (2x + 4)2 = (x + 3)2 g) 
5x
2x+4
−
x−4
x2+4x+4
=
2
x+2
 
c) 
3x2
2
−
2x
3
=
x
6
+
5x2
4
 h) x2 = 2 (x – 1) (x + 2) 
d) x2 − 2√2x + 3 = 0 i) 4x2 + 10 = 26 
e) – 25x2 + 4 = 0 j) x2 = x 
 
8.- Sabiendo que 3 es una de las raíces de la ecuación: ax2 + 5x = 33, obtener el valor de 
a y de la otra raíz. 
 
9.- Dada la ecuación 2x2 + bx + c = 0, calcular los valores de b y c, sabiendo que la suma 
de sus raíces es – 2 y el producto es – 4. 
 
10.- Analizar el discriminante para responder Verdadero o Falso, según corresponda en 
cada caso: 
a) La ecuación 2x2 – 4x = 5 no tiene solución en el conjunto de los números reales. 
b) La ecuación 3x2 + 60x + 300 = 0 tiene solución única en el conjunto de los números 
reales. 
c) La ecuación 8x2 = 5x + ¼ no tiene solución en el conjunto de los números reales. 
Ecuación a b c 
a) 2x2 = 3 – 4x 
b) 
8
3
 + 2x = 3x2 – 7x 
c) – 5x + x2 = 3 + 
12
5
 x + 2x2 
d) 3x (x2 + 2) – 7x = x (2 + 3x) + 3x3 
28
 
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11.- Dada las siguientes ecuaciones cuadráticas: 
i. Clasificarlas como completa o incompleta. 
ii. Analizar el discriminante y clasificar sus soluciones o raíces. 
iii. Resolver y determinar cada una de las soluciones o raíces. 
iv. Expresar la ecuación en su forma factoreada, si las raíces obtenidas son números 
reales. 
 
a) (𝑥 − 2)2 + (𝑥 − 3)2 = 181 b) 7𝑥 = 
2 (10 𝑥 − 25) + 5 𝑥2
𝑥
 
c) 
5
𝑥+3
=
3
2𝑥
+
2
x−3
 d) 3 (𝑥2 − 1) − 2 (𝑥2 + 2) = 18 
e) 𝑥 (4𝑥 + 3) − 
2
3
 𝑥 = 
7
3
𝑥 − 4 
 
f) 
5𝑥−3
𝑥
=
7−𝑥
𝑥+2
 
g) 
𝑥+2
𝑥−2
+
𝑥−2
𝑥+2
=
40
𝑥2−4
 h) 
𝑥+14
𝑥−1
 −4𝑥 = 14 
 
12.- Analizar la naturaleza de sus raíces y resolver las siguientes ecuaciones aplicando la 
fórmula: 
 
a) x² + 6x – 27 = 0 b) 4x² – 8x + 3 = 0 
c) 9x² – 12x + 4 = 0 d) 2x² – 6x – 8 = 0 
 
13.- Reconstruir las ecuaciones de segundo grado a partir de las propiedades de las raíces, 
siendo para cada caso: 
 a) x1 = 6 ; x2 = 4 c) x1 = 4 – 3i ; x2 = 4 + 3i 
 b) x1 = – 2 + √2 ; x2 = – 2 – √2 d) x1 = 0 ; x2 = 3 
 
14.- Reconstruir las ecuaciones cuadráticas correspondientes, dadas sus raíces o 
soluciones y aplicando las propiedades estudiadas. 
 
a) X1= - 6 
 a= - 3 
 X2= 7 
 
c) X1= 5 + 3i 
 a= - 2 
 X2= 5 - 3i 
b) X1= - 5 
 a= 2 
X2= - 5 
 
d) X1= 2 + √5 
 a= 3 
X2= 2 − √5 
 
29
 
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15.- Una raíz de la ecuación: 2x² - 7x + k = 0 es 2. Hallar la otra raíz y determinar el valor 
de k. 
 
 
16.- La ecuación 𝑥2 + 𝒎 𝑥 + 12 𝒎 = 0 tiene a 4 como raíz. Calcular la otra raíz. 
 
 
17.- Determinar k de tal modo que la ecuación 4𝑥2 + 2(𝒌 − 10)𝑥 + 8𝒌 = 0 tenga una 
única raíz. 
 
 
18.- Determinar los valores de k para que la ecuación 𝑥2 + 𝒌 𝑥 + 9 = 0 , tenga: 
 
a) Dos soluciones reales. 
b) Una única raíz. 
c) Carezca de soluciones reales. 
 
19.- Resolver los siguientes sistemas de dos ecuaciones no lineales con dos incógnitas. 
a) {
2x − y = 3
x2 − y2 = 3
 e) {
𝑦 − 5 = 𝑥2 + 3𝑥
−𝑥 + 𝑦 = 8
 
b) {
x2 + y2 = 52
x − y = 1
 f) {
𝑥2 − 2𝑥 − 𝑦 = 0
𝑦 = −𝑥2 + 4𝑥
 
 c) {
2(x + 3)2 − 2(x2 + 5) = −4y
y = x2 
 g) {
(2𝑥 + 3)2 − 2𝑥2 + 5 = 4𝑦
𝑦 = 𝑥2
 
 d) {
2x + y = 8
2x + y2 = 10
 h) 



=+
=+
13
42
22 yx
yx
 
 
20.- En las siguientes situaciones escribir en forma simbólica e identificar la incógnita: 
Situación Expresión Simbólica 
En el Parcial de Introducción a la Matemática voy 
a obtener por lo menos un 7 
 
El número de alumnos inscriptos en la facultad es 
superior a 2.000 
 
Gastaré a lo sumo $1500 en un nuevo pantalón 
El candidato a intendente ganó con un porcentaje 
mayor al 40 % de los votos 
 
Voy a tardar entre 30 ó 45 minutos en llegar 
 
30
 
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21.-Resolver las siguientes inecuaciones expresando la solución en términos de 
intervalos y representarlo gráficamente sobre la recta real. 
a) 2 (x + 1) – 3 (x – 2) < x + 6 h) 7x² + 21x – 28 ˂ 0 
 b) x2 – 3x – 10 > 0 i) x² + 2x + 1 ≥ 0 
 c) 
x−4
3
≥
2−3x
3
 j) 
x+2
x−2
≤ 0 
d) – 5 + x/2 > 3 – 2x k) 
x2+x−2
x−3
 ˃ 0 
e) 1 + 2x < – 2x + 5 l) (
3x+1
7
−
2−4x
3
) ≥ (
−5x−4
14
+
𝑥
6
) 
f) 
x2−4
x+3
 ≤ 0 m) 
𝑥
x+3
˂ 0 
g) 6 (
x+1
8
−
2x−3
16
) ˃ 3 (
3
4
x −
1
4
) −
3
8
(3𝑥 − 2) n) (3x – 1)2 > 9(x2 –
11
9
) 
 
22.- Aplicar propiedades del valor absoluto para resolver las siguientes inecuaciones: 
a) | 2x |  8 j) (2x – 3)2 > 25 
b) |4x – 2 | < 1 k) 15 −x 
c) 
3x
+1 4
5

 
 l) 
10
1
2
1
−x 
d) x2 – 16 ≥ 0 m) 3
3
5
+x 
e) (2x)2 ≤ 81 n) 1
9
1
2 +x 
f) | 3x +5 | < 4 o) 2423 +−x 
g) | 4x + 2 |  10 p) 35374 −− x 
h) 9 – x 2 > 0 q) (1 - x)2 ≤ 9 
 i) |
x+4
5
| ≤ 2 r) - x 2 + 5x - 9 ≤ - 5(2 - x) 
 
23.- Resolver y expresar en notación de intervalos: 
a) Un estudio estadístico revela que el nivel de ventas 𝑥 de una pequeña empresa 
(expresado en miles de unidades), tiene una variación anual dada por la expresión: 
|
𝑥
2
− 1,5| ≤ 1 
Bajo esta condición, ¿entre que valores varía el nivel de ventas anualmente? 
31
 
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b) Una revista médica establece que los niveles de colesterol en sangre 𝑥 son 
considerados anormales cuando cumplen la condición: |
𝑥 − 180
5
| > 4 
Se desea determinar explícitamente los niveles de colesterol en sangre que se 
consideran anormales. 
c) Una empresa se dedica a la fabricación de una línea de detergentes para el hogar. 
En el proceso de producción se incurre en un costo diario de $500 para iniciar el 
proceso y $0,80 por litro de detergente fabricado. Si el gerente de finanzas de la 
empresa ha establecido que se gaste diariamente entre $1.000 y $1.200 en dicha 
producción ¿Cuántos litros de detergente se podrían producir bajo esas 
condiciones? 
 
24.- Resolver las siguientes ecuaciones exponenciales: 
a) 5 3 – x = 125 g) (2𝑥)2 − 3 . 2𝑥 − 4 = 0 
b) 2 x + 2 + 2 x + 1 + 2 x = 
7
2
 h) 4𝑥 − 2𝑥+1 + 1 = 0 
c) 2 2x + 1 = 8 i) 9𝑥 + 3𝑥+1 − 108 = 0 
d) 2 x + 3 . 2 x – 1 = 0 j) √8
𝑥+2
= √16𝑥
4
 
e) 31−x
2
=
1
27
 k) 
[(16)𝑥]2
8𝑥
= 
1
32
 
f) [(27)𝑥]2 ∶ 39𝑥 = 
1
729
 l) 36333333 4321 =++++ −−−− xxxxx 
 
25.- Resolver las siguientes ecuaciones logarítmicas: 
a) log x + log 50 = 3 h) (log3 x)
2 − 12 log3 x = −32 
b) log (x + 1) + log ( x – 2) = log (x2 + 5) i) (log2 x)
2 − 3 log2 x = 10 
c) log 3 x2 + (log 3 x) – 6 = 0 j) log3 2(x + 1) − log3(−x + 2) = 2 
d) log (3 + x) = 2 log (3 – √x) k) log2(x
2 − 1) − log2(x + 1) = 2 
e) log (x+3) + log (2x-1)= 2 log (2x2 + 8) l) 
log(7+x2)
log(x−4)
 = 2 
f) log (x + 1) – log (x – 2) = log 2 m) log (x + 9) − log x = log(x + 1) 
g) 3 log x – log 32 = log x – log 2 n) log (4x+1)2 . log (3x+4)2= [log (3x+4)2]2 
32