Unidad 07C_narrada

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UNIDAD 7
ASTRONOMÍA – GEOFÍSICA – UNIV. NAC. DE SAN JUAN
Modelos Atómicos
Condición de Cuantización: órbitas elípticas
En realidad, Bohr postulaba la cuantización del mom. angular para explicar los átomos hidrogenoides,
mientras que Planck postulaba la cuantización de la energía del osc. armónico para explicar la rad. de
cuerpo negro
El éxito del modelo de Bohr para átomos simples no era tal para átomos complejos. Mediciones precisas
indicaban fenómenos de desdoblamiento de líneas espectrales, y era necesario desarrollar modelos más
sofisticados con órbitas elípticas tridimensionales y efectos relativistas del movimiento del electrón
Condición de Cuantización: órbitas elípticas
En realidad, Bohr postulaba la cuantización del mom. angular para explicar los átomos hidrogenoides,
mientras que Planck postulaba la cuantización de la energía del osc. armónico para explicar la rad. de
cuerpo negro
Wilson y Sommerfeld (1916) desarrollaron una regla de cuantización que englobaba ambos
casos, y aplicable en general a cualquier sistema cuya coordenada 𝑞 sea cíclica en el tiempo
El éxito del modelo de Bohr para átomos simples no era tal para átomos complejos. Mediciones precisas
indicaban fenómenos de desdoblamiento de líneas espectrales, y era necesario desarrollar modelos más
sofisticados con órbitas elípticas tridimensionales y efectos relativistas del movimiento del electrón
Condición de Cuantización: órbitas elípticas
Regla de Wilson-Sommerfeld
ර𝑝𝑞𝑑𝑞 = 𝑛𝑞ℎ
En realidad, Bohr postulaba la cuantización del mom. angular para explicar los átomos hidrogenoides,
mientras que Planck postulaba la cuantización de la energía del osc. armónico para explicar la rad. de
cuerpo negro
Wilson y Sommerfeld (1916) desarrollaron una regla de cuantización que englobaba ambos
casos, y aplicable en general a cualquier sistema cuya coordenada 𝑞 sea cíclica en el tiempo
El éxito del modelo de Bohr para átomos simples no era tal para átomos complejos. Mediciones precisas
indicaban fenómenos de desdoblamiento de líneas espectrales, y era necesario desarrollar modelos más
sofisticados con órbitas elípticas tridimensionales y efectos relativistas del movimiento del electrón
𝑝𝑞 ∷
𝑛𝑞 ∷
cant. de movimiento asociada a 𝑞
número cuántico entero
Condición de Cuantización: órbitas elípticas
Consideremos un osc. armónico simple, unidimensional y
no relativista. La energía total asociada al movimiento es
Ejemplo 1
𝐸 = 𝐾 + 𝑈 =
𝑝𝑥
2
2𝑚
+
1
2
𝑘𝑥2 → 1 =
𝑝𝑥
2
2𝑚𝐸
+
𝑥2
2𝐸/𝑘
Condición de Cuantización: órbitas elípticas
Consideremos un osc. armónico simple, unidimensional y
no relativista. La energía total asociada al movimiento es
Ejemplo 1
𝐸 = 𝐾 + 𝑈 =
𝑝𝑥
2
2𝑚
+
1
2
𝑘𝑥2 → 1 =
𝑝𝑥
2
2𝑚𝐸
+
𝑥2
2𝐸/𝑘
En el espacio de fase 𝑥, 𝑝𝑥 , ésta es la ecuación de
una elipse de semiejes 𝑏 = 2𝑚𝐸 y 𝑎 = 2𝐸/𝑘
𝑝𝑥
𝑎
𝑏
𝑥
Condición de Cuantización: órbitas elípticas
Consideremos un osc. armónico simple, unidimensional y
no relativista. La energía total asociada al movimiento es
Ejemplo 1
𝐸 = 𝐾 + 𝑈 =
𝑝𝑥
2
2𝑚
+
1
2
𝑘𝑥2 → 1 =
𝑝𝑥
2
2𝑚𝐸
+
𝑥2
2𝐸/𝑘
En el espacio de fase 𝑥, 𝑝𝑥 , ésta es la ecuación de
una elipse de semiejes 𝑏 = 2𝑚𝐸 y 𝑎 = 2𝐸/𝑘
𝑝𝑥
𝑎
𝑏
𝑥
Y aplicando la regla de Wilson-Sommerfeld, obtenemos
el área de la elipse
ර𝑝𝑥𝑑𝑥 = 𝜋𝑎𝑏 = 𝜋 2𝐸/𝑘 2𝑚𝐸 =
2𝜋𝐸
𝑘/𝑚
Condición de Cuantización: órbitas elípticas
Consideremos un osc. armónico simple, unidimensional y
no relativista. La energía total asociada al movimiento es
Ejemplo 1
Es la regla de cuantización de Planck para los
osciladores de la cavidad !
𝐸 = 𝐾 + 𝑈 =
𝑝𝑥
2
2𝑚
+
1
2
𝑘𝑥2 → 1 =
𝑝𝑥
2
2𝑚𝐸
+
𝑥2
2𝐸/𝑘
En el espacio de fase 𝑥, 𝑝𝑥 , ésta es la ecuación de
una elipse de semiejes 𝑏 = 2𝑚𝐸 y 𝑎 = 2𝐸/𝑘
𝑝𝑥
𝑎
𝑏
𝑥
Y aplicando la regla de Wilson-Sommerfeld, obtenemos
el área de la elipse
ර𝑝𝑥𝑑𝑥 = 𝜋𝑎𝑏 = 𝜋 2𝐸/𝑘 2𝑚𝐸 =
2𝜋𝐸
𝑘/𝑚
Pero en un M.A.S tenemos que 𝑘/𝑚 = 𝜔 = 2𝜋𝜈
ර𝑝𝑥𝑑𝑥 =
2𝜋𝐸
𝑘/𝑚
=
𝐸
𝜈
= 𝑛𝑥ℎ 𝐸 = 𝑛𝑥ℎ𝜈
Condición de Cuantización: órbitas elípticas
Consideremos un objeto con momento angular L y barriendo la coordenada angular 𝜃 en órbita circular
Es la regla de cuantización de Bohr para la cant. de
movimiento de un electrón !ර𝐿𝑑𝜃 = 𝐿ර𝑑𝜃 = 2𝜋𝐿 = 𝑛𝜃ℎ 𝐿 =
𝑛𝜃ℎ
2𝜋
≡ 𝑛ℏ
Ejemplo 2
Experimento de Franck y Hertz
Frank y Hertz (1914) realizaron uno de los experimentos claves para establecer la teoría atómica moderna,
demostrando que los átomos absorben energía en pequeñas porciones o cuantos, tal y como predecía Bohr
Experimento de Franck y Hertz
Frank y Hertz (1914) realizaron uno de los experimentos claves para establecer la teoría atómica moderna,
demostrando que los átomos absorben energía en pequeñas porciones o cuantos, tal y como predecía Bohr
𝑒
En un tubo con vapor de mercurio a baja presión, un cátodo caliente
emite e- (con K~0), que son acelerados por un V hasta un rejilla.
Entre la rejilla y una placa colectora se establece un potencial
retardante ∆V=1.5V
Hg
Experimento de Franck y Hertz
Frank y Hertz (1914) realizaron uno de los experimentos claves para establecer la teoría atómica moderna,
demostrando que los átomos absorben energía en pequeñas porciones o cuantos, tal y como predecía Bohr
𝑒
En un tubo con vapor de mercurio a baja presión, un cátodo caliente
emite e- (con K~0), que son acelerados por un V hasta un rejilla.
Entre la rejilla y una placa colectora se establece un potencial
retardante ∆V=1.5V
Hg
Durante el viaje chocan con los átomos de Hg y pueden perder
energía. Si llegan a la rejilla con
K≥1.5eV  alcanzan la placa colectora  corriente detectada
K<1.5eV  no alcanzan la placa colectora  no hay corriente
(ejemplo simplificado suponiendo
que el dispersor es un H)
Experimento de Franck y Hertz
Frank y Hertz (1914) realizaron uno de los experimentos claves para establecer la teoría atómica moderna,
demostrando que los átomos absorben energía en pequeñas porciones o cuantos, tal y como predecía Bohr
𝑒
En un tubo con vapor de mercurio a baja presión, un cátodo caliente
emite e- (con K~0), que son acelerados por un V hasta un rejilla.
Entre la rejilla y una placa colectora se establece un potencial
retardante ∆V=1.5V
Hg
Durante el viaje chocan con los átomos de Hg y pueden perder
energía. Si llegan a la rejilla con
K≥1.5eV  alcanzan la placa colectora  corriente detectada
K<1.5eV  no alcanzan la placa colectora  no hay corriente
Analizamos la corriente en función del voltaje de
aceleración
(ejemplo simplificado suponiendo
que el dispersor es un H)
Experimento de Franck y Hertz
En general, a mayor potencial de aceleración, más electrones
contribuyen a la corriente, que se incrementa proporc. En
detalle, se observa una serie de mínimos, espaciados ~4.9eV
Experimento de Franck y Hertz
En general, a mayor potencial de aceleración, más electrones
contribuyen a la corriente, que se incrementa proporc. En
detalle, se observa una serie de mínimos, espaciados ~4.9eV
Si el e- no tiene la suficiente energía para excitar el e- del
átomo de Hg, por ejemplo del nivel n=1 al nivel n=2 
la colisión es elástica  la corriente aumenta con el V
Experimento de Franck y Hertz
En general, a mayor potencial de aceleración, más electrones
contribuyen a la corriente, que se incrementa proporc. En
detalle, se observa una serie de mínimos, espaciados ~4.9eV
Electrones que han perdido toda su energía cinética
después de una colisión inelástica con un Hg
Cuando un e- experimenta una colisión inelástica con un
Hg, lo deja en un estado excitado, volviendo al estado
normal después de emitir un fotón de ~4.9 eV
Electrones que han sufrido dos colisiones
inelásticas consecutivas con Hg’s
Si el e- no tiene la suficiente energía para excitar el e- del
átomo de Hg, por ejemplo del nivel n=1 al nivel n=2 
la colisión es elástica  la corriente aumenta con el V
Los átomos sólo pueden absorber cantidades
discretas de energíade los electrones incidentes
Experimento de Franck y Hertz
En general, a mayor potencial de aceleración, más electrones
contribuyen a la corriente, que se incrementa proporc. En
detalle, se observa una serie de mínimos, espaciados ~4.9eV
Electrones que han perdido toda su energía cinética
después de una colisión inelástica con un Hg
Cuando un e- experimenta una colisión inelástica con un
Hg, lo deja en un estado excitado, volviendo al estado
normal después de emitir un fotón de ~4.9 eV
Electrones que han sufrido dos colisiones
inelásticas consecutivas con Hg’s
La energía del fotón es igual a la diferencia entre dos
niveles de energía del Hg, y es la energía que pierde el e-
en el choque inelástico
Si el e- no tiene la suficiente energía para excitar el e- del
átomo de Hg, por ejemplo del nivel n=1 al nivel n=2 
la colisión es elástica  la corriente aumenta con el V
Recordemos del Cap. 6 que la radiación de bremsstrahlung produce un espectro continuo en la región de rayos X
Rayos X y su espectro
Sin embargo, se observan líneas discretas superpuestas (llamadas
líneas características), cuya posición depende del material
Estas líneas son evidencia de la existencia de niveles discretos de
energía en el átomo
Recordemos del Cap. 6 que la radiación de bremsstrahlung produce un espectro continuo en la región de rayos X
Rayos X y su espectro
Sin embargo, se observan líneas discretas superpuestas (llamadas
líneas características), cuya posición depende del material
Estas líneas son evidencia de la existencia de niveles discretos de
energía en el átomo
Perfeccionando los métodos de Bragg de dispersión por cristales, Moseley
midió las 𝜆′𝑠 del espectro de líneas de rayos X para 40 elementos diferentes
Un e- de alta energía colisiona con el e- en el nivel n=1 (n=2), generando una
vacante en la capa K (L). Entonces, los e- de capas superiores decaen para llenar
las vacantes, emitiendo fotones de rayos X en el caso de elementos con Z>11
Recordemos del Cap. 6 que la radiación de bremsstrahlung produce un espectro continuo en la región de rayos X
Rayos X y su espectro
Sin embargo, se observan líneas discretas superpuestas (llamadas
líneas características), cuya posición depende del material
Estas líneas son evidencia de la existencia de niveles discretos de
energía en el átomo
Perfeccionando los métodos de Bragg de dispersión por cristales, Moseley
midió las 𝜆′𝑠 del espectro de líneas de rayos X para 40 elementos diferentes
Un e- de alta energía colisiona con el e- en el nivel n=1 (n=2), generando una
vacante en la capa K (L). Entonces, los e- de capas superiores decaen para llenar
las vacantes, emitiendo fotones de rayos X en el caso de elementos con Z>11
Moseley realizó ajustes de modelos para la sqrt(frecuencia) vs nro. atómico
Rayos X y su espectro
Gráfico de Moseley
Moseley realizó ajustes de modelos para la sqrt(frecuencia) vs nro. atómico
Rayos X y su espectro
Gráfico de Moseley
𝑣1/2 = 𝐴𝑛(𝑍 − 𝑏)
b=1  Serie K de líneas (n=2,3,4,…)
b=7.4  Serie L de líneas (n=3,4,5,…)
An :: constantes características para cada línea
El término de Z-b aparece por un efecto de apantallamiento de la carga
nuclear por los electrones más internos
Moseley realizó ajustes de modelos para la sqrt(frecuencia) vs nro. atómico
Rayos X y su espectro
Gráfico de Moseley
𝑣1/2 = 𝐴𝑛(𝑍 − 𝑏)
b=1  Serie K de líneas (n=2,3,4,…)
b=7.4  Serie L de líneas (n=3,4,5,…)
An :: constantes características para cada línea
El término de Z-b aparece por un efecto de apantallamiento de la carga
nuclear por los electrones más internos
Usando la expresión para átomos hidrogenoides de Bohr, podemos derivar
expresiones para las frecuencias de las series K y L de líneas espectrales
𝑣 = 𝑐𝑅 𝑍 − 1 2 1 −
1
𝑛2
𝑛 = 2,3,4, …Serie K (b=1) 
𝑣 = 𝑐𝑅 𝑍 − 7.4 2
1
22
−
1
𝑛2
𝑛 = 3,4,5, …Serie L (b=7.4)