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Editorial SM 
Integrales indefinidas. Teoremas 
2º Bachillerato 
Esquema 
Primitiva de una función 
La función G(x) es una primitiva de la función f(x) en un intervalo I 
si G'(x) = f(x) para todo x del intervalo I. 
 
Ejemplo: la función F(x) = 
x4
4 es una primitiva de f(x) ya que F '(x) = x
3. 
 
 También la función G(x) = 
x4
4 + 2 es una primitiva de f . Ambas en 
cualquier intervalo de la recta real. 
Integral indefinida 
 
Se llama integral indefinida de una función f(x) en un intervalo I al conjunto de to-
das las primitivas de la función f en el intervalo I. Se escribe ⌡⌠ f(x) dx, y se lee «in-
tegral de f(x)» 
 
 
Ejemplo: la integral indefinida de f(x) = ex es G(x) = ex + C, donde C es una cons-
tante. Se expresa de la siguiente manera: ⌡⌠ ex dx = ex + C 
Si G(x) es una primitiva de f(x) en un intervalo I, todas las primitivas de f(x) son 
de la forma G(x) + C, donde C es una constante arbitraria que puede ser 
cualquier número real. 
Las primitivas se diferencian en una constante 
Integrando↓ ↑ Derivando 
 
 
Propiedades de la integral indefinida 
 
I ⌡⌠ k f(x) dx = k ⌡⌠ f(x) dx con k ∈ R 
Las constantes pueden salir y entrar fuera del 
signo de la integral indefinida. 
 
 
 
II ⌡⌠ [ f(x) ± g(x)] dx = ⌡⌠ f(x) dx ±⌡⌠ g(x) dx 
La integral indefinida de una suma (resta) de 
dos funciones es la suma (resta) de las inte-
grales indefinidas. 
Propiedades de la integral indefinida 
 
 
Propiedades de la derivada 
 
I (kf )' (x) = k f '(x) con k ∈ R 
La derivada de una constante por una 
función es el producto de la constante 
por la derivada de la función. 
 
 
II (f ± g) ' (x) = f ' (x) ± g ' (x) 
La derivada de una suma (resta) de dos 
funciones es la suma (resta) de las deri-
vadas de cada una de ellas. 
Integrales inmediatas 
Integrales inmediatas: una tabla de derivadas leída al revés proporciona 
primitivas e integrales indefinidas. 
 
1.- ⌡⌠ x
a dx = 
xa+1
a+1 + C, si a ≠-1, a ∈ R 
2.- 
⌡
⎮
⌠
 
1
x dx = ln x + C 
3.- ⌡⌠ e
x dx = ex + C 
4.- ∫ax = ln
xa
a + C, si a>0, a ≠1 
5.- ⌡⌠ sen x dx = – cos x + C 
6.- ⌡⌠ cos x dx = sen x + C 
7.- ( )2
1
1
dx arcsen x C
x
= +
−
∫ 
8.- ( )2
1 arctg
1
dx x C
x
= +
+∫ 
Integrales inmediatas para funciones compuestas 
• 
⌡ ⎮ 
⎮ ⌠ 
 
 
 x r dx = x 
r+1 
r + 1 + C, para cualquier constante r ≠ – 1 
⌡
⎮
⎮
⌠
 f '(x) [f(x)]r dx = [f(x)]
r+1
 r + 1 + C para r 
≠ -1
 
1
2 ⌡
⎮⌠ 2 cos 2x sen3 2x dx = 12 sen
4 2x
4 = 
1
8 sen
4 2x + C 
 
Tipo general 
• 
⌡
⎮
⎮
⌠
 cos 2x sen3 2x dx = 
Ejemplo: 
 
• 
⌡
⎮
⎮
⌠
 
 
 
1
x
 dx = ln | x | + C 
 
Integrales inmediatas para funciones compuestas 
Tipo general 
Ejemplo: 
 
∫ dxxf
xf
)(
)(' = ln |f(x)| + C 
• 
⌡
⎮
⎮
⌠
 tg 3x dx = – 13 ⌡⎮
⌠
 – 3 sen 3xcos 3x dx = – 
1
3 ln |cos 3x | + C
Integrales inmediatas para funciones compuestas 
• 
⌡
⎮
⎮
⌠
 
 
 ax dx = a
x
ln a
 + C, para cualquier a > 0
• Para a = e se obtiene 
⌡
⎮
⎮
⌠
 
 
 ex dx = ex + C
Tipo general 
Ejemplo: 
⌡
⎮
⎮
⌠
 f '(x) af(x) dx = a
f(x)
 ln a + C, para a > 0
• 
⌡
⎮
⎮
⌠
 x2 ex3 dx = 13 ⌡⎮⎮
⌠
 3x2 ex3 dx = 13 ex
3
 + C
Integrales inmediatas para funciones compuestas 
• 
⌡
⎮
⎮
⌠
 
 
 sen x dx = – cos x + C
Tipo general 
Ejemplo: 
⌡
⎮
⎮
⌠
 f '(x) sen f(x) dx = – cos f(x) + C
• 
⌡
⎮
⎮
⌠
 e3x sen (e3x + 5) dx = 13 ⌡⎮⎮
⌠
 3 e3x sen (e3x + 5) dx = – 13 cos (e3x + 5) + C
Integrales inmediatas para funciones compuestas 
• 
⌡
⎮
⎮
⌠
 
 
 cos x dx = sen x + C
Tipo general 
Ejemplo: 
⌡
⎮
⎮
⌠
 f '(x) cos f(x) dx = sen f(x) + C
• 
⌡
⎮
⎮
⌠
 e7x cos (e7x + 5) dx = 17 ⌡⎮⎮
⌠
 7 e7x cos (e7x + 5) dx = 17 sen (e7x + 5) + C
Integrales inmediatas para funciones compuestas 
 
• 2
1 arcsen( )
1
dx x C
x
= +
−∫ 
 
Tipo 
general 
Ejemplo: 
 
⌡
⎮
⌠ g '(x)1 - [g(x)]2 dx = arcsen g(x) + C 
• 
⌡
⎮
⌠
 e
3x 
1 – e6x
 dx =
⌡
⎮
⌠
 e
3x 
1 – (e3x)2
 dx = 
1
3 ⌡
⎮
⌠
 3e
3x 
1 – (e3x)2
 dx = 
1
3 arcsen e
3x + C 
Integrales inmediatas para funciones compuestas 
 
• 
⌡
⎮
⌠
 
 
 
1
1 + x2
 dx = arctg x + C 
 
 
( )2
f ( ) arctg( )
1 f ( )
x dx x C
x
ʹ
= +
+∫ 
Tipo 
general 
• ⌡⎮
⌠
 11 + 2x2 dx = 
Ejemplo: 
⌡
⎮
⌠
 11 + ( 2x)2 dx = 
1
2 ⌡
⎮
⌠
 21 + ( 2x)2 dx = 
 
( )1 arctg 2x
2
C+ 
 
Integración por partes 
 
 
Si f y g son dos funciones derivables con derivadas continuas se tiene: 
⌡
⎮
⌠
 
 f(x)g'(x) dx = f(x)g(x) – ⌡⎮⌠ 
 g(x)f '(x) dx 
 
 
 
Es muy frecuente expresar esta fórmula con la siguiente notación abreviada que se obtiene 
poniendo: u = f(x), dv = g '(x)dx, v = g(x) y du = f ' (x) dx: 
⌡
⎮
⌠
 
 u dv = uv – ⌡⎮
⌠
 
 v du 
Consejos 1. Llamar gʹ a una función de la que sea cómodo obtener g. 
2. Si es cómodo obtener g sea cual fuere la elección que hagamos para 
gʹ, llamar entonces gʹ a aquella que haga que ∫ f ʹg se más cómoda 
que ∫ f g ʹ . 
Integración por partes: Ejemplos 
= x2 ex – 2[xex – ⌡⎮
⎮⌠
 
 ex dx ] = ex (x2 – 2x + 2) + C
• ⌡⎮
⎮⌠
 
 x2 ex dx = x2 ex – ⌡⎮
⎮⌠
 
 ex 2x dx = x2 ex – 2 ⌡⎮
⎮⌠
 
 x ex dx =
u = x2 ⇒ du = 2x dx 
dv = ex . dx ⇒ v = ex 
u = x ⇒ du = dx 
dv = ex . dx ⇒ v = ex 
u = sen (L x) ⇒ du = cos(L x) . (1/x) . dx 
dv = dx ⇒ v = x 
= x . sen(ln x) – x cos(ln x) –⌡⎮
⎮⌠
 
 sen(ln x) . dx
Despejando la integral buscada queda: 
u = cos (L x) ⇒ du = – sen(L x) . (1/x) . dx 
dv = dx ⇒ v = x 
x . sen (ln x) – ⌡⎮
⎮⌠
 
 cos (ln x) . dx =• ⌡⎮
⎮⌠
 
 sen(ln x) . dx =
⌡⎮
⎮⌠
 
 sen(ln x) . dx = 1
2
x [sen(ln x) – cos(ln x)] + C
Integración por sustitución o cambio de variable 
 
 
Si F es una primitiva de f, y g es derivable se tiene: 
 
(F o g)'(x) =F(g(x))’= F '[g(x)] g'(x) = f[g(x)] g'(x) 
 
Por lo que la integral del elemento final es: 
⌡
⎮
⌠
 
 f[g(x)]g'(x) dx = F[g(x)] + C 
 
 
 
Si se escribe u = g(x), entonces du = g' (x) dx. 
 
Con esta sustitución se tiene 
⌡
⎮
⎮
⌠
 
 f(u) du = F(u) + C 
 
Integración por sustitución: Ejemplos I 
• ⌡⎮
⌠
 1 x ln x dx
Cambio ln x = u ⇒ dx / x = du 
 
= dxLnx
x
∫
/1
 = 
⌡
⎮
⎮
⌠
 1 u du = ln | u | + C 
 
deshacer el cambio 
= ln | ln x | + C 
 Para calcular una integral por cambio de variable: 
 
•  Buscar una transformación u = g(x) que reduzca su cálculo al de una integral 
inmediata. 
•  Cuando se realiza el cambio debe transformarse también la diferencial 
mediante. 
du = g'(x) dx 
•  Después de calcular la integral inmediata debe deshacerse el cambio 
poniendo g(x) de nuevo en lugar de u para obtener el resultado final. 
Integración por sustitución: Ejemplos II 
deshacer el cambio 
• 
⌡
⎮
⎮
⌠
 x3 x4 + 2 dx =
Cambio x4 + 2 = u ⇒ 4x3 . dx = du ⇒ x3 dx = du/4 
 
∫ 4
duu 
 
• 
⌡
⎮
⎮
⌠
 sen3 2x . cos 2x dx =12 ⌡⎮⎮
⌠
 t3 . dt =
Cambio sen 2x = t ⇒ 2 cos 2x . dx = dt ⇒ cos 2x dx = dt/2 
= 
1
 8 sen
4 2x + C12 
t4 
4 + C
deshacer el cambio 
Integración de funciones racionales 
Pretendemos obtener ⌡
⎮
⌠
 
 P(x)
Q(x) dx en donde P(x) y Q(x) son polinomios tales que
grad[P(x)] = m y grad[Q(x)] = n
Caso 1: m ≥ n. Veremos que este caso se puede convertir al Caso 2. 
P(x) Q(x) 
C(x) R(x) 
con grad[R(x)] < grad[Q(x)] 
⇔ P(x) = C(x) . Q(x) + R(x) ⇔ 
P(x)
Q(x) = C(x) + 
R(x)
Q(x)
 Por tanto: ⌡
⎮
⌠
 
 
 
P(x)
Q(x) dx = ⌡⎮
⎮⌠
 
 C(x) .dx + ⌡
⎮
⌠
 
 R(x)
Q(x) dx
En donde la primera 
integral es inmediata y la 
segunda corresponde al 
Caso 2 
Caso 2: m < n. Entonces la integral se hace por descomposición en fracciones simples. 
Como m ≥ n, es posible la división entera entre P(x) y Q(x) 
Descomposición en fracciones simples I 
Pretendemos obtener 
⌡
⎮
⌠
 
 P(x)
Q(x) dx en donde P(x) y Q(x) son polinomios tales que 
grad[P(x)] = m < grad[Q(x)] = n 
•  Supongamos que es posible factorizar el polinomio Q(x). Ello equivale a resolver la 
ecuación Q(x) = 0. 
•  Supongamos que la ecuación Q(x) = 0 tiene: 
• Soluciones reales sencillas (por ejemplo x1). 
• Soluciones reales múltiples (por ejemplo x2 con ordende multiplicidad 2). 
• Soluciones complejas sencillas (por ejemplo tiene dos soluciones, que 
son necesariamente conjugadas). 
• El caso soluciones complejas múltiples no se estudia. 
Por ej. Si tiene una raíz simple una doble y dos complejas conjugadas, entonces dicho 
polinomio se factoriza de la siguiente manera: 
Q(x) = ao(x – x1) . (x – x2)2 . (x2 + bx + c) 
tal que ao es el coeficiente del término de mayor grado. 
⌡
⎮
⌠
 
 
 
P(x)
Q(x) dx = 
1
ao
 ⌡
⎮
⌠
 
 P(x)
(x – x1)
 . (x – x2)
2 . (x2 + bx + c) dx =
Paso 1. Factorización del polinomio Q(x) 
Descomposición en fracciones simples II 
Paso 2. Descomponer el integrando en fracciones simples 
 P(x) 
(x – x1)
 . (x – x2)
2 . (x2 + bx + c) =
 A 
x – x1
 +
B
(x – x2)
2 + 
C
x – x2
 + 
Mx + N
x2 + bx + c 
Paso 3. Cálculo de los coeficientes indeterminados 
Proceso de cálculo: 
•  Eliminar denominadores en la igualdad anterior, para obtener una 
identidad polinómica. 
•  Dar valores numéricos cualesquiera, tantos como coeficientes 
indeterminados (en el ejemplo 5: x1, x2 y 3 valores más). 
•  Resolver el sistema. 
Descomposición en fracciones simples: ejemplo 
Descomponer en fracciones simples: 
x2 + x + 1
x5 – x4 – x + 1
Paso 1. Factorización del polinomio denominador 
Por Ruffini obtenemos: x5 – x4 – x + 1 = (x + 1) . (x – 1)2 . (x2 + 1) 
Paso 2. Descomponer en fracciones simples 
x2 + x + 1
x5 – x4 – x + 1 = 
A
x + 1 + 
B
(x – 1)2 + 
C
x – 1 + 
Mx + N
x2 + 1 
Paso 3. Cálculo de los coeficientes indeterminados 
x2 + x + 1= A(x–1)2(x2+1) + B(x+1)(x2 +1) + C(x–1)(x+1)(x2 +1) + (Mx+N) (x+1)(x–1)2 
⎭⎪
⎪
⎬
⎪
⎪⎫x=1 → B=3/4
x=–1 →A=1/8
x=0 →– C + N = 1/8
x=2 → 5C+2M+N = –13/8
x=–2 → 5C+6M–3N = 3/8
 Y de aquí: A = 1/8; B = 3/4; N = –1/4; C = –3/8; M = 1/4
Integrales racionales con denominador de grado 2 
Estudio de la integral ⌡
⎮
⌠
 Mx + Nax2 + bx + c dx 
 Sea D el discriminante del 
denominador: D = b2 – 4ac 
 Si la derivada del denominador es el numerador salvo una constante, la integral podrá ser 
resuelta como inmediata tipo neperiano. 
 En caso contrario: •  Si D ≥ 0 ⇒ la integral se obtiene por descomposición en fracciones simples. 
•  Si D < 0 ⇒ la integral es tipo neperiano + arco tangente. 
Pasos para su obtención: 
M ≠ 0 
Paso 1: se busca la derivada del denominador en el numerador. 
Paso 2: como consecuencia se puede descomponer la integral en suma de otras 
dos: la primera es inmediata (neperiano) y la segunda es tipo arco tangente. 
M = 0 (Cálculo de la integral tipo arco tangente). 
Paso3: se convierte el denominador en un número (k) más un binomio al cuadrado 
(cosa que es posible por ser D < 0). Si previamente se multiplica por 4a se evitan 
los números fraccionarios. 
Paso 4: se convierte el denominador en la unidad más una función al cuadrado 
(sacando factor común k en el denominador), ajustamos con constantes, e 
integramos como inmediata tipo arco tangente 
Integración de funciones trigonométricas: fórmulas 
 
Fórmulas trigonométricas fundamentales 
sen2px + cos2px = 1 Fórmula fundamental de la trigonometría. 
sen 2px = 2 sen px . cos px 
cos 2px = cos2px – sen2px 
Seno y coseno del ángulo 
doble. 
cos2px = 
1 + cos 2px
2 
sen2px = 
1 – cos 2px
2 
Fórmulas de reducción de 
grado. 
sen a . cos b = 
1
2 sen (a + b) + 
1
2 sen (a – b) 
cos a . cos b = 
1
2 cos (a + b) + 
1
2 cos (a – b) 
sen a . sen b = – 
1
2 cos (a + b) + 
1
2 cos (a – b) 
Fórmulas de conversión de 
productos de senos y 
cosenos en suma. 
sen (– px) = – sen px 
cos (– px) = cos px 
Seno y coseno del ángulo 
opuesto. 
1 + tg2 px = sec2 px; 
1 + ctg2 px = csc2 px 
 
Integración de funciones trigonométricas: métodos 
 
Forma Condiciones Método 
n par 
Reducir el grado del integrando por medio de 
las fórmulas de reducción de grado (3), según 
convenga. (I) 
⌡
⎮
⌠
 
 senn px dx 
 
⌡
⎮
⌠
 
 cosn px dx 
n impar 
Sacar un factor (seno o coseno) de la potencia 
sustituyendo en el resto de la potencia la rela-
ción 1. Al desarrollar la potencia se obtienen 
integrales inmediatas tipo potencial. 
m y n pares 
 
Reducir el grado del integrando aplicando las 
fórmulas 3. 
(II)
⌡
⎮
⌠
 
 senn px . cosn px dx 
m ó n impares 
De la potencia de exponente impar se saca un 
factor, sustituyendo en el resto de la potencia la 
relación 1. Al desarrollar la potencia se obtie-
nen integrales inmediatas tipo potencial. 
Caso particular à Si m = n Aplicar la relación (2a) para obtener: 
⌡
⎮
⌠
 
 senn px . cosn px dx = 
1
2n ⌡⎮
⌠
 
 senn 2px dx 
que es del tipo (I). 
 
 
Forma Condiciones Método 
(III) 
⌡
⎮
⌠
 
 sen px.cos qx.dx 
⌡
⎮
⌠
 
 sen px.sen qx.dx 
⌡
⎮
⌠
 
 cos px.cos qx..dx 
p y q números 
reales cuales-
quiera 
Convertir los productos en sumas mediante la 
relaciones 4 según convenga. 
 
Integración de funciones trigonométricas: métodos II 
Integración de funciones trigonométricas: ejemplos I 
= 
⌡
⎮
⌠
 
 sen3x.dx +
⌡
⎮
⌠
 
 cos43x sen 3x.dx –2
⌡
⎮
⌠
 
 cos23x sen 3x.dx = 
= – 
1 
3 cos 3x - 
2 
9 cos 
3 3x + 
1 
15 cos 
5 3x+C 
Tipo I. Exponente impar 
= 
1
4 x + 
1
4 ⌡
⎮
⌠
 
 
 
1 + cos
4x
3
2 dx – 
3
4 sen 
2x
3 =
3x
8 – 
3
4 sen 
2x
3 + 
3
32 sen 
4x
3 + C
Tipo I. Exponente par 
• ⌡⎮
⌠
 
 sen5 3x.dx = ⌡⎮
⌠
 
 (sen23x)2 sen 3x.dx = ⌡⎮
⌠
 
 (1–cos23x)2 sen 3x.dx =
• 
⌡
⎮
⎮
⌠
 
 sen4 
x
3 dx =
1
4 ⌡
⎮
⌠
 
 
⎝
⎜
⎛
⎠
⎟
⎞
1 + cos2 
2x
3 – 2 cos
2x
3 dx =⌡
⎮
⌠
 
 
⎝
⎜
⎜
⎛
⎠
⎟
⎟
⎞
sen2 
x
3
2
 dx =⌡
⎮
⌠
 
 
⎝
⎜
⎛
⎠
⎟
⎞
1 – cos
2x
3
2
2
 dx =
= 
1
4 ⌡
⎮
⌠
 
 1.dx + 
1
4 ⌡⎮
⎮
⌠
 
 cos2 
2x
3 dx – 2 
1
4 ⌡⎮
⎮
⌠
 
 cos
2x
3 dx =
Integración de funciones trigonométricas: ejemplos II 
Tipo II. Al menos un exponente impar 
• ⌡⎮
⎮⌠
 
 cos4 5x.sen3 5xdx =⌡⎮
⎮⌠
 
 cos4 5x . sen25x .sen 5x . dx =
⌡⎮
⎮⌠
 
 cos4 5x . (1 – cos25x).sen 5x.dx =
= ⌡⎮
⎮⌠
 
 cos45x.sen 5x.dx – ⌡⎮
⎮⌠
 
 cos65x.sen 5x.dx =
= 
 – 1
25 cos
5 5x + 
1
35 cos
7 5x + C
= 
1
8 ⌡
⎮
⌠
 
 1 – cos 12x
2 dx – 
1
48 
sen36x
3 =
= 
1
8 ⌡⎮
⎮⌠
 
 sen26x dx – 
1
8 ⌡⎮
⎮⌠
 
 sen26x .cos 6x.dx =
= 
x
16 – 
1
144 sen
3 6x – 
1
192 sen 12x + C
Tipo II. Todos los exponentes pares 
• ⌡⎮
⎮⌠
 
 sen43x .cos2 3x.dx = ⌡⎮
⎮⌠
 
 (sen23x)2 .cos2 3x.dx = ⌡
⎮
⌠
 
 
⎝
⎜
⎛
⎠
⎟
⎞1 – cos 6x
2
2
 
1 + cos 6x
2 dx =
= 
1
8 ⌡⎮
⎮⌠
 
 (1 – cos 6x)(1 – cos26x) dx =
( 1 – cos 6x) ( 1 – cos 6x) ( 1 + cos 6x) 
( 1 – cos 6x) ( 1 – cos2 6x) 
sen2 6x 
Integración de funciones trigonométricas: ejemplos III 
Tipo III: Producto de funciones con distinto argumento 
• ⌡⎮
⎮⌠
 
 sen 3x.cos 5x.dx = 1
2 ⌡⎮
⎮⌠
 
 sen 8x .dx + 
1
2 ⌡⎮
⎮⌠
 
 sen( – 2x) .dx =
= – 
1
16 cos 8x + 
1
4 cos( – 2x) + C == – 
1
16 cos 8x + 
1
4 cos 2x + C
Para resolverlas hay que utilizar las fórmulas de trasformación de sumas 
en productos 
Cálculo de áreas 
•  En multitud de problemas que se presentan en Ciencia y Tecnología es preciso 
calcular el área encerrada por varias curvas. 
•  Este problema pasa por encontrar el área limitada por una curva y = f(x), el eje OX y 
las abcisas x = a, x = b. 
Área (Trapecio rectilíneo) = 
= 
f(a) + f(b)
2 
. (b – a) 
Área (Trapecio curvilíneo) ≈ 
≈ 
f(a) + f(b)
2 
. (b – a) Error