cap06

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Sesión 6
Integrales de algunas funciones
trigonométricas
Temas
X Integrales de potencias de algunas
funciones trigonométricas.
Capacidades
B Conocer algunos tipos de inte-
grales de funciones trigonométricas y
técnicas que permiten transformar-
las en integrales más simples.
B Calcular integrales de funciones
trigonométricas que se resuelven u-
sando identidades trigonométricas.
6.1 Introducción
Algunas integrales de funciones
trigonométricas, por ejemplo
∫
sin 5xdx,∫
sec7 x tan x dx,
∫
sin x
3
√
cos x
dx, se pueden
calcular con métodos ya tratados.
En esta sesión se estudiarán ciertas in-
tegrales de funciones trigonométricas, que
pueden transformarse en otras más simples,
aplicando identidades trigonométricas.
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Sesión 6 Integrales de algunas funciones trigonométricas
6.2 Integración de funciones trigonométricas
Las integrales que serán estudiadas, que se transforman en otras más simples usando
identidades trigonométricas, son de las siguientes formas:
I. Integrales de potencias de funciones trigonométricas:∫
sinn x dx,
∫
cosn x dx,
∫
tann x dx,
∫
secn x dx, con n ∈ N
II. Integrales de productos de potencias de funciones trigonométricas, de la forma:∫
sinm cosn x dx
∫
tanm secn x dx
III. Integrales de productos de funciones trigonométricas, de la forma:∫
sin(mx) cos(nx) dx,
∫
sin(mx) sin(nx) dx,
∫
cos(mx) cos(nx) dx
6.2.1 Integrales de la forma
∫
sinn x dx,
∫
cosn x dx
Se presentan dos casos:
Caso 1: Cuando n es un entero positivo par, se usan las identidades trigonométricas:
sin2 x =
1− cos 2x
2
cos2 x =
1 + cos 2x
2
Caso 2: Cuando n es un entero positivo impar, las integrales de la forma señalada
se expresan en la forma:∫
sinn x dx =
∫
sinn−1 x · sin x dx, n− 1 es par∫
cosn x dx =
∫
cosn−1 x · cos x dx, n− 1 es par
y se usa la identidad sin2 x + cos2 x = 1
Ejemplo 6.1 Integral de una potencia par de sin x. Calcular
∫
sin2 x dx.
Solución:
• Usando la identidad sin2 x = 1− cos 2x
2
, se obtiene:
∫
sin2 x dx =
∫
1− cos 2x
2
dx
Instituto de Matemática y F́ısica 48 Universidad de Talca
Sesión 6 Integrales de algunas funciones trigonométricas
• Luego: ∫
sin2 x dx =
1
2
∫
(1− cos 2x) dx
=
1
2
(
x− sin 2x
2
)
+ C
=
x
2
− sin 2x
4
+ C
Nota 6.1 Tener presente las siguientes integrales:
∫
sin(mx) dx = − cos(mx)
m
+ C,∫
cos(mx) dx =
sin(mx)
m
+ C.
Ejemplo 6.2 Integral de una potencia impar. Calcular
∫
cos3 x dx.
Solución:
• Escribir la integral en la forma:
∫
cos3 x dx =
∫
cos2 x cos x dx.
• Usando la identidad cos2 x = 1− sin2 x se obtiene:∫
cos3 x dx =
∫
cos2 x cos x dx =
∫
(1− sin2 x) cos x dx
=
∫
cos x dx−
∫
sin2 x cos x dx u = sin x =⇒ du = cos x dx∫
sin2 x cos x dx =
∫
u2 du =
u3
3
=
sin3 x
3

= sin x− sin
3 x
3
+ C
Ejercicio 6.1 Calcular: a)
∫
cos4 x dx b)
∫
sin3
x
2
dx.
Nota 6.2 De manera similar se calculan las integrales
∫
tann x dx (donde n es par o
impar),
∫
secn x dx (donde n es par), usando la identidad tan2 x = 1+sec2 x. Cuando
n es impar y positivo, la integral
∫
secn x dx se calcula usando integración por partes.
Ejercicio 6.2 Calcular
∫
tan4 x dx.
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6.2.2 Integrales de la forma
∫
sinm x cosn x dx
Se consideran los siguientes casos:
Caso 1: Si uno de los dos exponentes, m o n, es un entero positivo impar, y el otro
en un número real cualquiera. En estos casos se procede como sigue:
• Si m es un entero positivo impar, y n es cualquier número, entonces:∫
sinm x cosn x dx =
∫
sinm−1 x cosn x sin x dx
Sustituyendo sin2 x = 1− cos2 x, la integral queda:∫
(1− cos2 x)
m−1
2 cosn x sin x dx
• Si n es un entero positivo impar, y m es cualquier número, entonces:∫
sinm x cosn x dx =
∫
sinm x cosn−1 x cos x dx
De manera similar, se sustituye cos2 x = 1− sin2 x.
Caso 2: Si ambos exponentes, m y n, son enteros positivos pares, se usan las
siguientes identidades:
sin2 x =
1− cos 2x
2
cos2 x =
1 + cos 2x
2
Con estas sustituciones la integral
∫
sinm x cosn x dx se transforma en una in-
tegral de la forma
∫
sinn x dx, que son del tipo (I).
Ejemplo 6.3 Un exponente es impar. Calcular
∫
cos3 x sin4 x dx.
Solución:
Expresando cos3 x = cos2 x cos x (integral caso 1), la integral queda:∫
cos3 x sin4 x dx =
∫
cos2 x sin4 x cos x dx
=
∫
(1− sin2 x) sin4 x cos x dx
=
∫
sin4 x cos x dx−
∫
sin6 x cos x dx
[para cada integral usar cambio de variable u = sin x]
=
1
5
sin5 x− 1
7
sin7 x + C
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Ejemplo 6.4 Ambos exponentes son pares. Calcular
∫
cos2 x sin2 x dx.
Solución:
Como ambos exponentes son pares, la integral corresponde al 2do caso.∫
cos2 x sin2 x dx =
∫
1 + cos 2x
2
· 1− cos 2x
2
dx
=
1
4
∫
(1− cos2 2x) dx = 1
4
∫
sin2 2x dx
=
1
4
∫
1− cos 4x
2
dx
=
1
8
(
x− sin 4x
4
)
+ C
Ejercicio 6.3 Calcular: a)
∫
sin5 x 3
√
cos x dx b)
∫
sin2 3x cos4 3x dx.
Nota 6.3 Integrales de la forma
∫
tanm x secn xdx se analizan de manera similar,
usando la identidad 1 + tan2 x = sec2 x.
Ejercicio 6.4 Calcular
∫
tan3 x√
sec x
dx.
6.2.3 Integrales de productos∫
sin(mx) · cos(nx) dx
∫
sin(mx) · sin(nx) dx
∫
cos(mx) · cos(nx) dx
Para calcular estas integrales se usan las identidades:
sin(mx) cos(nx) =
1
2
(sin(m− n)x + sin(m + n)x)
sin(mx) sin(nx) =
1
2
(cos(m− n)x− cos(m + n)x)
cos(mx) cos(nx) =
1
2
(cos(m− n)x + cos(m + n)x)
Ejemplo 6.5 Calcular
∫
sin 2x sin 9x dx.
Solución:
• sin 2x sin 9x = 1
2
(cos 7x− cos 11x)
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Sesión 6 Integrales de algunas funciones trigonométricas
• Reemplazando en la integral, se obtiene:∫
sin 2x sin 9x dx =
1
2
∫
(cos 7x− cos 11x) dx
=
1
2
(
cos 7x
7
− cos 11x
11
)
+ C
Ejemplo 6.6 Calcular
∫
sin 4x cos 5x dx.
Solución:
• sin 4x cos 5x = 1
2
(sin 9x + sin(−x)) = 1
2
(sin 9x− sin x)
• Reemplazando en la integral, se obtiene:∫
sin 4x cos 5x dx =
1
2
∫
(sin 9x− sin x) dx = 1
2
(
− cos 9x
9
+ cos x
)
+ C
=
1
2
cos x− 1
18
cos 9x + C
Ejercicio 6.5 Verificar mediante integración:∫
sin(3x + 6) cos(5x + 10) dx = − 1
16
cos(8x + 16) +
1
4
cos(2x + 4) + C
6.3 Autoevaluación Calcular:
a)
∫
sin4 2x dx b)
∫
cos 3x cos 4x dx c)
∫
sin3 x
cos2 x
dx
d)
∫
(sin2 θ + cos θ)2 dθ e)
∫
tan5 3x dx f)
∫
tan3 u sec5/2 u du
Respuestas:
a) − 1
16
sin2(2x)·sin(4x)− 3
32
sin(4x)+
3x
8
+C b)
1
2
sinx+
1
14
sin 7x+C c) cos x+sec x+C
d)
7θ
8
+
2
3
sin3 θ +
1
32
sin 4θ +C e) 112 tan
4 3x− 16 tan
2 3x+ 12 ln sec 3x+C f)
2
9 sec
9/2 u−
2
5 sec
5/2 u + C
6.4 Desaf́ıo
Calcular:
∫
sin 4x cos(−3x) sin 2x dx
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