COEF_INDETERMINADOS

Vista previa del material en texto

ECUACIONES 
DIFERENCIALES
COEFICIENTES 
INDETERMINADOS
ING. ROLANDO MENACHO S.
METODO DE COEFICIENTES INDETERMINADOS
SOLUCION DE ECUACIONES DE ORDEN SUPERIOR
Consideremos una ecuación diferencial no homogénea.
 an x( ) y
n( )⋅ a
n 1−( ) x( ) y
n 1−( )⋅+ ....+ a1 x( ) y'⋅+ a0 x( ) y⋅+ f x( )= (1)
Donde an x( ) 0≠ . Asumiremos que an x( ) a n 1−( ) x( ), ...ao x( ), y f(x) son funciones reales continuas en
el intervalo a x≤ b≤ .
El termino f(x) hace que la ecuación tenga otra solución complementaria y puede ser escrita:
y yc yp+=
si an x( ) a n 1−( ) x( ), ...ao x( ), todas son constantes entonces a la ED no homogénea se asocia un
polinomio característico de la misma forma, tal como podemos escribir esta ED no homogénea.
an D
n⋅ a
n 1− D
n 1−⋅+ .......+ a1 D⋅+ ao+




y⋅ f x( )=
podemos escribir de la siguiente forma resumida
como:
F D( ) y⋅ f x( )=
yc Es la solución general de la ecuación homogénea
yp Es una integral particular, esto es cualquier solución de la ecuación diferencial (1), que no
 tiene constantes arbitrarias. 
Considerando el método de coeficientes indeterminados. Matemáticamente hablando, la clase de
función f(x) para que este método se aplique será muy restringida; su aplicación es relativamente
simple por que solo tenemos que derivar y formar sistema de ecuaciones para encontrar las
constantes para lograr la solución particular yp.
Soluciones Propuestas cuando f(x) toma las siguientes formas:
1 ) f x( ) p
n
x( )= 2 ) f x( ) p
n
x( ) e
α x⋅⋅= 3 ) f x( ) eα x⋅ p
n
x( ) cos βx( )⋅ q
m
x( ) sin βx( )⋅+ 
⋅=
Ejemplos de acuerdo al caso (1,2,3), para encontrar la forma de la solución particular yp
cada caso se divide en otros dos como podemos apreciar, de acuerdo al tipo de raíces.
R.M.S 1 De 14 R.M.S
ECUACIONES 
DIFERENCIALES
COEFICIENTES 
INDETERMINADOS
ING. ROLANDO MENACHO S.
Casos 
Casos 1 F D( ) y⋅ pn x( )= para f(x) polinomio de orden n.
Para f(x)=A
n
*xn+A
n-1
*xn-1+.......+A
1
*x+A
0; 
o también f(x)=p
n
(x) con An 0≠ ;
 a ) Cuando F(D) no tiene raíces nulas, la yp toma la misma forma de polinomio; pero con
coeficientes indeterminados p
m
(x), entonces yp pm x( ) .=
Ejemplos 1 
f x( ) 7= yp 7 A⋅=
Ejemplos 2 
f x( ) 2x
2
3x+ 5−= yp Ax
2
Bx+ C+=
Ejemplos 3 
f x( ) x
4
9+=
yp Ax
4
Bx
3+ Cx2+ Dx+ E+=
b ) Cuando existen k raíces nulas en el polinomio característico F(D), entonces yp x
k
pm x( )⋅=
Ejemplos 1 si F(D) tiene dos raíces nulas, entonces k=2
f x( ) 7= yp x
2
A⋅=
Ejemplos 2 si F(D) tiene tres raíces nulas, entonces k=3
f x( ) 2x
2
3x+ 5−= yp x
3
Ax
2
Bx+ C+( )⋅=
Ejemplos 3 si F(D) tiene una raíz nula, entonces k=1
f x( ) x
4
9+=
yp x Ax
4
Bx
3+ Cx2+ Dx+ E+( )⋅=
R.M.S 2 De 14 R.M.S
ECUACIONES 
DIFERENCIALES
COEFICIENTES 
INDETERMINADOS
ING. ROLANDO MENACHO S.
Casos 2 F D( ) y⋅ eαx pn x( )⋅= para f(x) polinomio de orden n.
a ) Cuando el valor de α no coincide con las raíces de F(D), entonces yp Pm x( ) e
αx⋅=
Ejemplos 1 
f x( ) x 3+( ) e2x⋅= yp e
2x
Ax B+( )=
Ejemplos 2 
f x( ) 2x
2
3x+ 5−( ) e 3− x⋅= yp e 3− x Ax2 Bx+ C+( )⋅=
Ejemplos 3 
f x( ) e
5x
x
4
9x+ 1−( )⋅= yp e5x Ax4 Bx3+ Cx2+ Dx+ E+( )⋅=
b ) Cuando α coincide k veces con las raíces polinomio característico F(D), entonces 
yp x
k
pm x( )⋅ e
αx⋅=
Ejemplos 1 si F(D) tiene raíces que coinciden con α dos veces, entonces k=2
f x( ) x 4+( ) e4x⋅= yp x
2
Ax B+( )⋅ e4x⋅=
Ejemplos 2 si F(D) tiene raíces que coinciden con α tres veces, entonces k=3
f x( ) x
2
3x− 5−( ) ex⋅= yp x3 Ax2 Bx+ C+( )⋅ ex⋅=
Ejemplos 3 si F(D) tiene una raíz que coincide con α, entonces k=1
f x( ) x
4
9+( ) e3x⋅= yp x Ax4 Bx3+ Cx2+ Dx+ E+( )⋅ e3x⋅=
R.M.S 3 De 14 R.M.S
ECUACIONES 
DIFERENCIALES
COEFICIENTES 
INDETERMINADOS
ING. ROLANDO MENACHO S.
Casos 3 F D( ) y⋅ eαx pn x( ) cos βx( )⋅ qm x( ) sin βx( )⋅+( )⋅= k1 max n m, ( )=
a ) Cuando el valor de α y β, no coincide con las raíces de F(D). Entonces 
yp e
αx
pk1 x( ) cos βx( )⋅ qk1 x( ) sin βx( )⋅+( )⋅= 
Ejemplos 1 
f x( ) x e
4x⋅ sin 3x( )⋅= yp e
2x
Ax B+( ) cos 3x( )⋅ Cx D+( ) sin 3x( )⋅+[ ]=
Ejemplos 2 
f x( ) e
3− x
x cos 2x( )⋅ x2 sin 2x( )⋅−( )=
yp e
3− x
Ax
2
Bx+ C+( ) cos 2x( )⋅ Dx2 Ex+ F+( ) sin 2x( )⋅+ ⋅=
Ejemplos 3 
f x( ) x
2
e
5x⋅ cos x( )⋅= yp e
5x
Ax
2
Bx+ C+( ) cos x( )⋅ Dx2 Ex+ F+( ) sin x( )⋅+ ⋅=
b ) Cuando el valor de α y β, coincide k veces o tiene multiplicidad 3 con las raíces de F(D).
Entonces yp x
k
e
αx⋅ pk1 x( ) cos βx( )⋅ qk1 x( ) sin βx( )⋅+( )⋅= 
Ejemplos 1 Si α y β coinciden dos veces, con las raíces del polinomio característico. 
f x( ) x e
4x⋅ sin 3x( )⋅= yp x
2
e
2x⋅ Ax B+( ) cos 3x( )⋅ Cx D+( ) sin 3x( )⋅+[ ]=
Ejemplos 2 Si α y β coinciden una vez, con las raíces del polinomio característico. 
f x( ) e
3− x
x cos 2x( )⋅ x2 sin 2x( )⋅−( )=
yp x e
3− x⋅ Ax2 Bx+ C+( ) cos 2x( )⋅ Dx2 Ex+ F+( ) sin 2x( )⋅+ ⋅=
Ejemplos 3 Si α y β coinciden cuatro veces, con las raíces del polinomio característico. 
f x( ) x
2
e
5x⋅ cos x( )⋅= yp x
4
e
5x⋅ Ax2 Bx+ C+( ) cos x( )⋅ Dx2 Ex+ F+( ) sin x( )⋅+ ⋅=
R.M.S 4 De 14 R.M.S
ECUACIONES 
DIFERENCIALES
COEFICIENTES 
INDETERMINADOS
ING. ROLANDO MENACHO S.
 EJEMPLO 1 y'' y+ x2 2x+= f1 x( ) x2 2x+:=
D
2
1+ solve D, 
i
i−






→ yh x c1, c2, ( ) c1 cos x( )⋅ c2 sin x( )⋅+:= yp A x
2⋅ B x⋅+ C+=
 
Si f x( ) Pm x( )= y no 
 existen raíces nulas en la
 ecuación característica,
 entonces yp pm x( )= 
 indeterminado.
y01 x A1, B1, C1, ( ) A1 x2⋅ B1 x⋅+ C1+:=
y11 x A, B, C, ( )
x
y01 x A, B, C, ( )d
d
B 2 A⋅ x⋅+→:=
y21 x A, B, C, ( )
2
x
y01 x A, B, C, ( )d
d
2
2 A⋅→:=
ED1 x( ) y21 x A1, B1, C1, ( ) y01 x A1, B1, C1, ( )+ f1 x( )−:= A1A1
ED1 x( )
collect
x x
2, 
A1 1−( ) x2⋅ B1 2−( ) x⋅+ 2 A1⋅+ C1+→ sist1 x( )
A1 1−
B1 2−
2 A1⋅ C1+








:=
A1
sist1 x( ) solve A1, B1, C1, 1 2 2−( )→
sist1 x( )
solve
A1 B1, C1, 
1 2 2−( )→ yp x2 2x+ 2−=
R.M.S 5 De 14 R.M.S
ECUACIONES 
DIFERENCIALES
COEFICIENTES 
INDETERMINADOS
ING. ROLANDO MENACHO S.
 EJEMPLO 2 . y'' 4 y'⋅+ x3 3x+= f2 x( ) x3 3x+:=
D
2
4D+ 0= D2 4 D⋅+ solve D, 
0
4−






→
yp x A x
3⋅ B x2⋅+ C x⋅+ D+( )⋅=
 
 Si f x( ) Pm x( )= y existen raíces 
 nulas de multiplicidad "k" en la
 ecuación característica, entonces
 yp x
k
pm x( )⋅= ; indeterminado.
 
y02 x A2, B2, C2, D2, ( ) x A2 x3⋅ B2 x2⋅+ C2 x⋅+ D2+( )⋅:=
y12 x A2, B2, C2, D2, ( )
x
y02 x A2, B2, C2, D2, ( )d
d
:=
y22 x A2, B2, C2, D2, ( )
2
x
y02 x A2, B2, C2, D2, ( )d
d
2
:=
ED2 x( ) y22 x A2, B2, C2, D2, ( ) 4 y12 x A2, B2, C2, D2, ( )⋅+ f2 x( )−:= A2
ED2 x( )
collect
x x
2, x3, 
16 A2⋅ 1−( ) x3⋅ 12 A2⋅ 12 B2⋅+( ) x2⋅+ 6 B2⋅ 8 C2⋅+ 3−( ) x⋅+ 2 C2⋅+ 4 D2⋅+→
sist2 x( )
16 A2⋅ 1− 0=
12 A2⋅ 12 B2⋅+ 0=
6 B2⋅ 8 C2⋅+ 3− 0=
2 C2⋅ 4 D2⋅+ 0=










:=
A2
sist2 x( ) solve A2, B2, C2, D2, 
1
16
1
16
−
27
64
27
128
−




→
sist2 x( )
solve
A2 B2, C2, D2, 
1
16
1
16
−
27
64
27
128
−




→
yp x
1
16
x
3⋅
1
16
x
2⋅−
27
64
x⋅+
27
128
−




⋅= expand yp
x
4
16
x
3
16
−
27 x
2⋅
64
+
27 x⋅
128
−=→
R.M.S 6 De 14 R.M.S
ECUACIONES 
DIFERENCIALES
COEFICIENTES 
INDETERMINADOS
ING. ROLANDO MENACHO S.
 EJEMPLO 3 . y'' 5y'− 6y+ e4x= f3 x( ) e4x:=
D
2
5 D⋅− 6+ solve D, 
2
3






→ yh c1 e2x⋅ c2 e3x⋅+= yp A e4x⋅=
 Si f x( ) Pm x( ) e
αx⋅= y el numero α
 no es raíz del polinomio
 característico, entonces
 yp pm x( ) e
αx⋅= indeterminado.
y03 x( ) A e
4x⋅:= y13 x( )
x
y03 x( )
d
d
:= y23 x( )
2
x
y03 x( )
d
d
2
:=
ED3 x( ) y23 x( ) 5 y13 x( )⋅− 6 y03 x( )⋅+ f3 x( )−:= f3
ED3 x( ) collect e
4x, 2 A⋅ 1−( ) e4 x⋅⋅→
2 A⋅ 1− solve A, 
1
2
→ yp
1
2
e
4x⋅=
R.M.S 7 De 14 R.M.S
ECUACIONES 
DIFERENCIALES
COEFICIENTES 
INDETERMINADOS
ING. ROLANDO MENACHO S.
 EJEMPLO 4 . y'' 5y'− 6y+ e2x= f4 x( ) e2x:=
yp x A⋅ e
2x⋅=
D
2
5 D⋅− 6+ solve D, 
2
3






→
 Si f x( ) Pm x( ) e
αx⋅= y el numero α
 es raíz de multiplicidad"s" del
 polinomio característico, entonces
 yp pm x( ) e
αx⋅= indeterminado.
y04 x A4, ( ) A4 x⋅ e2x⋅:= y14 x A4, ( )
x
y04 x A4, ( )d
d
:=
y24 x A4, ( )
2
x
y04 x A4, ( )d
d
2
:=
ED4 x( ) y24 x A4, ( ) 5 y14 x A4, ( )⋅− 6 y04 x A4, ( )⋅+ f4 x( )−:= A4
ED4 x( ) collect e
2x, A4− 1−( ) e2 x⋅⋅→
A4− 1− solve A4, 1−→ yp x− e2x⋅=
R.M.S 8 De 14 R.M.S
ECUACIONES 
DIFERENCIALES
COEFICIENTES 
INDETERMINADOS
ING. ROLANDO MENACHO S.
 EJEMPLO 5 . y'' 9y+ 5 sin 4x( )⋅= f5 x( ) 5 sin 4x( )⋅:=
yp A cos 4x( )⋅ B sin 4x( )⋅+=D2 9+ solve D, 
3i
3i−






→
 Si f x( ) Pn x( ) cos βx( )⋅ Qm x( ) sin βx( )⋅+= y el numero 
 +β o -β no son raíces del polinomio característico,
 entonces k=max(n,m).
 yp pk x( ) cos βx( )⋅ Qk x( ) sin βx( )⋅+= indeterminado.
y05 x A5, B5, ( ) A5 cos 4x( )⋅ B5 sin 4x( )⋅+:=
y15 x A5, B5, ( )
x
y05 x A5, B5, ( )d
d
:=
y25 x A5, B5, ( )
2
x
y05 x A5, B5, ( )d
d
2
:=
ED5 x A5, B5, ( ) y25 x A5, B5, ( ) 9 y05 x A5, B5, ( )⋅+ f5 x( )−:=
ED5 x A5, B5, ( ) collect sin 4x( ), cos 4x( ), 7 B5⋅− 5−( ) sin 4 x⋅( )⋅ 7− A5⋅ cos 4 x⋅( )⋅+→
7 B8⋅− 5− 0=
7− A8⋅ 0=






solve A8, B8, 0
5
7
−




→ yp
5
7
sin 4x( )−=
R.M.S 9 De 14 R.M.S
ECUACIONES 
DIFERENCIALES
COEFICIENTES 
INDETERMINADOS
ING. ROLANDO MENACHO S.
 EJEMPLO 6 . y'' 16y+ 10 cos 4x( )⋅= f6 x( ) 10 cos 4x( )⋅:=
D
2
16+ solve D, 
4i
4i−






→ yp x A cos 4x( )⋅ B sin 4x( )⋅+( )⋅=
 Si f x( ) Pn x( ) cos βx( )⋅ Qm x( ) sin βx( )⋅+= y el numero 
 +β o -β son raíces del polinomio característico de
 multiplicidad "k", y k1=max(n,m).
 yp x
k
pk1 x( ) cos βx( )⋅ Qk1 x( ) sin βx( )⋅+( )⋅= 
 indeterminado.
y06 x A6, B6, ( ) x A6 cos 4x( )⋅ B6 sin 4x( )⋅+( )⋅:=
y16 x A6, B6, ( )
x
y06 x A6, B6, ( )d
d
:=
y26 x A6, B6, ( )
2
x
y06 x A6, B6, ( )d
d
2
:=
ED6 x A6, B6, ( ) y26 x A6, B6, ( ) 16 y06 x A6, B6, ( )⋅+ f6 x( )−:=
ED6 x A6, B6, ( ) collect sin 4x( ), cos 4x( ), 8− A6⋅ sin 4 x⋅( )⋅ 8 B6⋅ 10−( ) cos 4 x⋅( )⋅+→
8 A6⋅ 0=
8 B6⋅ 10− 0=






solve A6, B6, 0
5
4






→
yp
5x
4
sin 4x( )=
R.M.S 10 De 14 R.M.S
ECUACIONES 
DIFERENCIALES
COEFICIENTES 
INDETERMINADOS
ING. ROLANDO MENACHO S.
 EJEMPLO 7 . y'' 25y+ 5 e2x⋅ cos 5x( )⋅= f7 x( ) 5 e2x⋅ cos 5x( )⋅:=
D
2
25+ solve D, 
5i
5i−






→ yp e
2x
A cos 5x( )⋅ B sin 5x( )⋅+( )⋅=
 Si f x( ) e
αx
Pn x( ) cos βx( )⋅ Qm x( ) sin βx( )⋅+( )⋅= y el numero α + β o α - β no son raíces del
 polinomio característico, y k=max(n,m).
 yp e
αx
pk x( ) cos βx( )⋅ Qk x( ) sin βx( )⋅+( )⋅= indeterminado.
y07 x A7, B7, ( ) e2x A7 cos 5x( )⋅ B7 sin 5x( )⋅+( )⋅:=
y17 x A7, B7, ( )
x
y07 x A7, B7, ( )d
d
:=
y27 x A7, B7, ( )
2
x
y07 x A7, B7, ( )d
d
2
:=
ED7 x A7, B7, ( ) y27 x A7, B7, ( ) 25 y07 x A7, B7, ( )⋅+ f7 x( )−:=
ED7 x A7, B7, ( )
collect
e
2x
sin 5x( ), cos 5x( ), 
4 B7⋅ 20 A7⋅−( ) sin 5 x⋅( )⋅ 4 A7⋅ 20 B7⋅+ 5−( ) cos 5 x⋅( )⋅+[ ] e2 x⋅⋅→
4 B7⋅ 20 A7⋅− 0=
4 A7⋅ 20 B7⋅+ 5− 0=






solve A7, B7, 
5
104
25
104






→ yp e2x
5
104
cos 5x( )⋅
25
104
sin 5x( )⋅+




=
R.M.S 11 De 14 R.M.S
ECUACIONES 
DIFERENCIALES
COEFICIENTES 
INDETERMINADOS
ING. ROLANDO MENACHO S.
 EJEMPLO 8. y'' 2y'− 2y+ ex sin x( )⋅= f8 x( ) ex sin x( )⋅:=
D
2
2D− 2+ solve D, 
1 i+
1 i−






→ yp xex A8 cos x( )⋅ B8 sin x( )⋅+( )=
 Si f x( ) e
αx
pn x( ) cos βx( )⋅ Qm x( ) sin βx( )⋅+( )⋅= y el numero α + β o α - β son raíces del
 polinomio característico de multiplicidad "k", y k=max(n,m).
 yp x
k
e
αx
Pk1 x( ) cos βx( )⋅ Qk1 x( ) sin βx( )⋅+( )⋅ ⋅= indeterminado.
y08 x A8, B8, ( ) x ex⋅ A8 cos x( )⋅ B8 sin x( )⋅+( ):=
y18 x A8, B8, ( )
x
y08 x A8, B8, ( )d
d
:=
y28 x A8, B8, ( )
2
x
y08 x A8, B8, ( )d
d
2
:=
ED8 x A8, B8, ( ) y28 x A8, B8, ( ) 2 y18 x A8, B8, ( )⋅− 2 y08 x A8, B8, ( )⋅+ f8 x( )−:=
ED8 x A8, B8, ( ) collect ex, sin x( ), cos x( ), 2 A8⋅− 1−( ) sin x( )⋅ 2 B8⋅ cos x( )⋅+[ ] ex⋅→
2 A8⋅− 1− 0=
2 B8⋅ 0=






solve A8, B8, 
1
2
− 0




→ yp
1
2
− x⋅ ex⋅ cos x( )⋅=
ACTIVIDAD DE TRABAJO 2
1 ) 2y''' 3y''+ y'+ 4y− e t−= 2 ) y'' 9y+ 4t3 sin 3t( )⋅=
3 ) y
iv
3y''− 8y− sin t( )= 4 ) y'' 6y'− 9y+ 5t6 e3t⋅=
R.M.S 12 De 14 R.M.S
ECUACIONES 
DIFERENCIALES
COEFICIENTES 
INDETERMINADOS
ING. ROLANDO MENACHO S.
ACTIVIDAD DE INTEGRADORA 2
1 ) x'' t( ) 2 x' t( )− x t( )+ 24t2 et⋅= 2 ) x'' t( ) 4 x' t( )− 4 x t( )+ t e2t⋅=
3 ) y'' 2y'+ 4y+ 111 e2t⋅ cos 3t( )⋅= 4 ) y'' x( ) y x( )+ 4x cos x( )⋅=
PORTAFOLIO DE EVIDENCIAS 2
1 ) y''' 2y'− y'− 2y+ 2t2 4t+ 9−= 2 ) y'' 4y'− 4y+ t2 e2t⋅ e2t−=
3 ) y'' 4y'− 5y+ e5t t sin 3t( )⋅+ cos 3t( )−= 4 ) y'' 2y'+ 2y+ e x− cos x( )=
5 ) y'' 4y− 4 x2⋅ e2x⋅= y 0( ) 0= , y' 0( ) 0=
6 ) y'' 4y+ 4 cos 2x( )⋅= y 0( ) 1= , y'
π
2






0=
R.M.S 13 De 14 R.M.S
ECUACIONES 
DIFERENCIALES
COEFICIENTES 
INDETERMINADOS
ING. ROLANDO MENACHO S.
R.M.S 14 De 14 R.M.S