matriceselementales

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Matrices elementales
José Luis Leal Ruperto
Departamento de Matemática Aplicada
Universidad de Málaga 1995
2
1
Matrices elementales
1.1 Transformaciones elementales.
Sea A = (aij) una matriz de n filas y m columnas. Nos ocuparemos del
estudio de las matrices que se obtienen tras hacer en A manipulaciones
algebraicas con sus filas y sus columnas. De todas las manipulaciones o
transformaciones, las que nos interesan son las siguientes:
Definición 1.1 Una transformación elemental sobre filas (sobre columnas)
en una matriz A es cualquiera de las tres que siguen, respectivamente de
Tipo:
I Intercambiar la fila (columna) i con la fila (columna) j.
II Multiplicar la fila (columna) i por un número k (k 6= 0).
III Sumar k veces (k 6= 0) la fila (columna) j a la fila (columna) i (i 6= j).
Las transformaciones de fila tal y como han sido definidas pueden ser consideradas
respectivamente como funciones Fi,j , F
k
i , F
k
i,j del conjunto de matricesMn×m
en śı mismo, que actúan sobre las filas. Es decir, al aplicar sobre A una
transformación de tipo I en la que intercambiamos la fila i por la j, se
obtiene la matriz Fi,j(A), y al hacerlas de tipo II y tipo III se obtiene F
k
i (A)
y Fki,j(A) respectivamente.
De igual forma las transformaciones de columnas pueden ser consideradas
como funciones Ci,j , C
k
i , C
k
i,j que actúan sobre las columnas.
3
4 1. Matrices elementales
Ejemplo 1.1 Consideremos en M3×3 la matriz A =
 1 3 72 1 4
−1 0 2
. Se
tiene por ejemplo las transformaciones de fila en A:
F2,3(A) =
(
1 3 7
−1 0 2
2 1 4
)
F51(A) =
(
5 15 35
2 1 4
−1 0 2
)
F−23,1(A) =
(
1 3 7
2 1 4
−3 −6 −2
)
y las transformaciones de columna:
C2,3(A) =
(
1 7 3
2 4 1
−1 2 0
)
C51(A) =
(
5 3 7
10 1 4
−5 0 2
)
C−23,1(A) =
(
1 3 5
2 1 0
−1 0 4
)
Cuando realizamos transformaciones elementales sobre la matriz identidad
In obtenemos las matrices elementales:
Definición 1.2 Una matriz elemental de tipo I, II, o III es una matriz
E obtenida a partir de la identidad In al efectuar sobre ella operaciones
elementales de tipo I, II, o III respectivamente. Si las operaciones son
elementales de filas, escribimos simplemente
I Fi,j (respec. Ci,j), para representar a Fi,j(In) (respec. Ci,j(In)).
II F ki (respec. C
k
i ), para representar a F
k
i (In) (respec. C
k
i (In)).
III F ki,j (respec. C
k
i,j), para representar a F
k
i,j(In) (respec. C
k
i,j(In)).
Es de comprobación inmediata que Fi,j = Ci,j , F
k
i = C
k
i . Sólamente existe
una pequeña diferencia entre las de tipo III, en donde F ki,j resulta ser igual
a Ckj,i. En general designaremos con la letra E a cualquier matriz elemental
E(In), ya sea E una transformación elemental de filas o de columnas, y,
diremos que E es la matriz elemental asociada a la transformación E.
Ejemplo 1.2 En M3×3, son matrices elementales
F1,2 = C1,2 =
(
0 1 0
1 0 0
0 0 1
)
F
−1
3
2 = C
−1
3
2 =
(
1 0 0
0 −1
3
0
0 0 1
)
F 21,3 = C
2
3,1 =
(
1 0 2
0 1 0
0 0 1
)
que son, respectivamente de tipo I,II y III.
En general, las matrices elementales tienen siempre una forma especial. Las
de tipo I:
1.1. Transformaciones elementales. 5
Fi,j = Ci,j =

1 0 . . . 0 . . . 0 . . . 0
0 1 . . . 0 . . . 0 . . . 0
...
...
. . .
...
...
...
0 0 . . . 0 . . . 1 . . . 0
...
...
...
. . .
...
...
0 0 . . . 1 . . . 0 . . . 0
...
...
...
...
. . .
...
0 0 . . . 0 . . . 0 . . . 1

←− i
←− j
i j
↓ ↓
las de tipo II:
F ki = C
k
i =

1 0 . . . . . . 0
0 1 . . . . . . 0
...
...
. . .
...
0 0 . . . k . . . 0
...
...
. . .
...
0 0 . . . . . . 1
←− i
i
↓
y las de tipo III:
F ki,j = C
k
j,i =

1 0 . . . 0 . . . 0 . . . 0
0 1 . . . 0 . . . 0 . . . 0
...
...
. . .
...
...
...
0 0 . . . 1 . . . k . . . 0
...
...
...
. . .
...
...
0 0 . . . 0 . . . 1 . . . 0
...
...
...
...
. . .
...
0 0 . . . 0 . . . 0 . . . 1

←− i
←− j
i j
↓ ↓
La importancia de estas matrices elementales está en el hecho, de que para
calcular la matriz que resulta tras hacer una transformación elemental de
fila (o de columna) en A, es suficiente multiplicar a la izquierda (derecha)
por la correspondiente matriz elemental asociada a la transformación.
Teorema 1.1 Sea E una transformación elemental de fila (de columna), y
sea E = E(In) su correspondiente matriz elemental asociada, entonces para
toda matriz A se tiene que E(A) = EA (E(A) = AE ).
Demostración: El lector puede verificar de forma evidente e inmediata que
este teorema es cierto para matrices con orden n = 2, 3, 4 . . . 1
1Una demostración correcta que nos garantize que es también cierto para cualquier n,
requiere el uso del principio de inducción matemática.
6 1. Matrices elementales
Ejemplo 1.3 En M3×3, tenemos que la transformación
F−32,1
 1 0 −1−1 1 3
−1 4 0
 =
 1 0 −1−4 1 6
−1 4 0

resulta ser el producto de las matrices 1 0 0−3 1 0
0 0 1
 1 0 −1−1 1 3
−1 4 0

Para indicar esta transformación, es usual expresar 1 0 −1−1 1 3
−1 4 0
 F−32,1;
 1 0 −1−4 1 6
−1 4 0

Estas matrices elementales son interesantes por ser todas ellas inversibles.
Además, como vemos en el teorema que sigue, sus inversas son del mismo
tipo.
Teorema 1.2 Sea E una matriz elemental de orden n, entonces E es inversible
y
I (Ei,j)
−1 = Ei,j
II (Eki )
−1 = E
1
k
i
III (Eki,j)
−1 = E−ki,j
Demostración: I) Consideremos la transformación elemental Ei,j entonces
Ei,j(Ei,j) = In, ya que, vuelve a intercambiar las filas (o columnas) para
volver a dar la identidad. Entonces según el teorema anterior Ei,jEi,j = In,
lo que significa que Ei,j es inversa de śı misma. La demostración de II) y
III) es dejada como ejercicio.
Ejemplo 1.4 Las inversas de las matrices(
1 0 1
0 0 1
0 1 0
)  1 0 0 00 1 0 00 0 1 0
0 2 0 1

 1 0 0 00 1 0 00 0 5 0
0 0 0 1

son respectivamente
1.1. Transformaciones elementales. 7
(
1 0 1
0 0 1
0 1 0
)  1 0 0 00 1 0 00 0 1 0
0 −2 0 1

 1 0 0 00 1 0 00 0 1
5
0
0 0 0 1

Dado que la inversa de cualquier matriz elemental es tambien elemental,
podemos hablar de transformaciones elementales inversas. Las trasformaciones
inversas de Fi,j , F
k
i , F
k
i,j son respectivamente Fi,j , F
1
k
i , F
−k
i,j .
1.1.1 Equivalencia de matrices.
Las matrices elementales estudiadas en la sección anterior nos proporcionan
la posibilidad de definir el concepto de equivalencia de matrices.
Definición 1.3 A es equivalente por filas (columnas) a B, si existe una
sucesión finita de matrices elementales E1, E2, . . . Ek tales que
A = Ek . . . E2E1B (A = BE1E2 . . . Ek).
Es decir una matriz A es equivalente por filas (columna) a otra B, si ha
sido obtenida una vez realizadas en B un número finito de transformaciones
elementales de fila (columna).
Ejemplo 1.5 La matriz A =
 1 0 00 1 2
0 0 0
 es equivalente por filas a la
matriz B =
 1 1 2−1 2 4
2 1 2
 ya que, realizando las sucesivas transformaciones
en B:
B =
 1 1 2−1 2 4
2 1 2
 F12,1;
 1 1 20 3 6
2 1 2
 F−23,1;
 1 1 20 2 4
0 −1 −2
 F 122;
 1 1 20 1 2
0 −1 −2

F13,2
;
 1 1 20 1 2
0 0 0
 F−11,2;
 1 0 00 1 2
0 0 0
 = A
se deduce que A = F−11,2 · F 13,2 · F
1
2
2 · F
−2
3,1 · F 12,1 ·B
La equivalencia por filas y la equivalencia por columna no son un mismo
concepto. En el ejemplo 1.5 anterior tenemos dos matrices equivalentes por
fila que nunca lo podrán ser por columnas ya que cualquier transformación
por columnas en A deja siempre la tercera fila con todos sus términos igual
a cero.
8 1. Matrices elementales
Definición 1.4 A es equivalente a B, si existen sucesiones finitas de matrices
elementales F1, F2, . . . Fk y C1, C2, . . . Cr tales que
A = Ek . . . E2E1BC1C2 . . . Cr
Ejemplo 1.6 La matriz D =
 1 0 00 1 0
0 0 0
 es equivalente a la misma matriz
B del ejemplo 1.5 anterior ya que, al tener 1 0 00 1 2
0 0 0
 C−23,2;
 1 0 00 1 0
0 0 0
 = D
entonces D = F−11,2 · F 13,2 · F
1
2
2 · F
−2
3,1 · F 12,1 ·B · C
−2
3,2
Estas sucesionesno tienen porqué ser únicas. Es decir puede obtenerse
una matriz equivalente a una dada a través de distintas transformaciones
elementales.
En vista de estos dos últimos ejemplos mostrados, dada una matriz A
parece que es posible por medio de transformaciones adecuadas encontrar
otra equivalente a ella más sancilla: Con los términos de la diagonal con
unos y ceros y los que no están en la diagonal nulos. Esta posibilidad se
describe y justifica a continuación.
Teorema 1.3 La equivalencia por filas, por columna y la equivalencia son
realciones de equivalencia en el conjunto de matrices Mn×m.
Demostración: Nos limitamos a demostrar la propiedad simétrica de la
equivalencia: Si A es equivalente a B, entonces existen las sucesiones F1,
F2, . . . , Fk, y C1, C2, . . . , Cr de manera que A = FkFk−1 . . . F1BC1C2 . . . Cr,
entonces despejando la matriz B se obtiene
B = F−11 F
−1
2 . . . F
−1
k AC
−1
r C
−1
r−1 . . . C
−1
1
Dado que las inversas de matrices elementales también lo son, entonces B es
equivalente a A.
1.2. Matrices escalonadas. 9
1.2 Matrices escalonadas.
Puesto que de relaciones de equivalencia se tratan, cada matriz se encuentra
en una única clase de equivalencia. Vamos a buscar los representantes de
clase más simples: Las matrices escalonadas. Damos una definición informal
dce ellas:
Una matriz A, es una matriz escalonada por filas, si sobre ella puede
trazarse de izquierda a derecha y de arriba hacia abajo, una ‘escalera descendente’
que satisface las propiedades:
(a) Cada peldaño tiene altura igual a uno.
(b) Debajo de la escalera todos los elementos de la matriz son cero
(c) En cada esquina de un peldaño aparece el número 1.
Si además cumple que,
(d) Toda columna que contiene un 1 en una esquina de un peldaño tiene
todos los demás elementos de la columna nulos.
entonces la matriz es escalonada por filas reducida 2
Ejemplo 1.7 Las matrices A,B,C, son matrices escalonadas por filas.
A =
 1 1 20 1 0
0 0 1
 B =

0 1 0 −1 3
0 0 1 2 0
0 0 0 1 2
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
 C =
 1 3 −1 30 0 1 2
0 0 0 1

Las matrices D,E lo son por filas reducida.
2Esta definición es ciertamente informal. Hubiera sido más correcto:
Definición 1.5 Una matriz A de orden n×m, es una matriz escalonada por filas
si:
(a) Existe k, 1 ≤ k ≤ n tal que los elementos de las filas k + 1, k + 2, . . . n son todos
nulos y ninguna de las primeras k filas está formada sólo por ceros.
(b) El primer término no nulo de cada fila i, 1 ≤ i ≤ k es 1.
(c) Si el 1 de la fila i está en la columna ci, entonces c1 < c2 < . . . < ck
(d) Todos los elementos de la columna ci y que son de las filas k + 1, k + 2, . . . , n son
iguales a cero.
Si además todos los elementos de la columna ci en cualquier fila distinta de i son cero,
entonces la matriz es escalonada por filas reducida.
No obstante para nuestros propósitos será suficiente la anterior. Evitamos aśı el uso de
los sub́ındices.
10 1. Matrices elementales
D =

1 0 5 −0 3
0 1 3 0 9
0 0 0 1 2
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
 E =
 1 −7 0 00 0 1 0
0 0 0 1

Las matrices escalonadas por columnas, se definen igual. Basta sustituir en
la definición anterior la palabra ‘arriba’ por ‘abajo’, la palabra ‘derecha’ por
‘izquierda’ y la palabra altura por anchura. Pero también es mucho más
rápido interpretar que una matriz A es escalonada por columnas si lo es su
traspuesta At por filas.
Ejemplo 1.8 La matriz A es escalonada por columnas, ya que At lo es
escalonada por filas.
A =

1 0 0 0 0
0 0 0 0 0
2 1 0 0 0
3 0 1 0 0
−1 0 4 0 0
0 1 2 1 0
 At =

1 0 2 3 −1 0
0 0 1 0 0 1
0 0 0 1 4 2
0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 0 0

Los siguientes teoremas nos proporcionan los resultados que antes adelantamos.
Teorema 1.4 Sea A una matriz de orden n×m distinta de la nula. Entonces,
(a) A es equivalente por filas (columnas) a una matriz escalonada por filas
(columnas).
(b) A es equivalente por filas (columna) a una matriz escalonada por filas
(columna) reducida.
(c) A es equivalente a una matriz escalonada reducida del tipo Ik 0k,m−k
0n−k,k 0n−k,m−k

Es decir reducida por filas y por columna.
1.2. Matrices escalonadas. 11
Demostración: (a) La demostración establece un procedimiento algoŕıtmico
para encontrar las matrices escalonadas. Éstos son los pasos:
1. Buscar en A = (ai,j) la primera columna j que tenga algún elemento
distinto de cero. Sea i la fila donde está ese elemento.
2. Si el elemento a1,j es cero, realizar una transformación F1,i de tipo I,
intercambiando la fila 1 y la fila i y obtener una nueva matriz B = (bi,j)
donde el elemento b1,j es distinto de cero.
3. Realizar una transformación F
1
b1,j
1 de tipo II, dividiendo la primera fila
por bi,j , para obtener una nueva matriz C = (ci,j) con c1,j = 1.
4. Para cada una de las filas k = 2, 3, . . . , n donde los elementos ck,j
no sean cero, realizar una transformación F
−ck,j
k,1 de tipo III, sumando
−ck,j veces la fila 1 a la k, para obtener una matriz D = (di,j) donde
todos los elementos de la columna j y en las filas k = 2, 3, . . . , n son
cero.
5. Se considera A2 la matriz de orden (n−1)×m que resulta tras suprimir
en D la primera fila y se repiten los pasos 1,2,3,4 anteriores para A2.
Este último paso se hace mientras se pueda (un máximo de n−1 veces).
La matriz finalmente obtenida en el paso 4 está en forma escalonada
por filas.
Es dejado como ejercicio las descripciones de los pasos a seguir en los casos
(b) y (c).
El proceso por el cual a partir de una matriz A dada se llega a una forma
escalonada se suele indicar diciendo que se reduce la matriz A a otra
escalonada. Este proceso como hemos indicado con anterioridad no es único,
pero, puede demostrarse 3 que las matrices escalonadas que se obtienen śı lo
son.
Ejemplo 1.9 Reducir la matriz

1 2 −1 0
2 8 −3 1
−3 1 0 −3
0 4 −1 1
 a una matriz escalonada
por filas, otra por filas reducida, y a otra reducida por filas y columna.
Si nos atenemos a los pasos descritos en la demostración anterior, la
reducción se obtiene en cada caso como sigue:
3No es una demostración evidente.
12 1. Matrices elementales

1 2 −1 0
2 8 −3 1
−3 1 0 −3
0 4 −1 1
 F−22,1;

1 2 −1 0
0 4 −1 1
−1 2 0 1
0 4 −1 1
 F13,1;

1 2 −1 0
0 4 −1 1
0 4 −1 1
0 4 −1 1
 F 142;

1 2 −1 0
0 1 − 14
1
4
0 4 −1 1
0 4 −1 1
 F 143;

1 2 −1 0
0 1 − 14
1
4
0 1 − 14
1
4
0 4 −1 1
 F 144;

1 2 −1 0
0 1 − 14
1
4
0 1 − 14
1
4
0 1 − 14
1
4
 F−13,2;

1 2 −1 0
0 1 − 14
1
4
0 0 0 0
0 1 − 14
1
4
 F−14,2;

1 2 −1 0
0 1 − 14
1
4
0 0 0 0
0 0 0 0
 Esta última es la matriz escalonada
por filas buscada. Si sobre ella continuamos con operaciones de fila obtenemos,
F−21,2
;

1 0 − 12 −
1
2
0 1 − 14
1
4
0 0 0 0
0 0 0 0
 que es escalonada por filas reducida.
Si f1, f2, . . . fn, son filas de una matriz, a la suma t1f1 + t2f2 . . . tnfn con
t1, t2 . . . tn reales se llama combinación lineal de las filas. En una matriz,
transformar una fila en una combinación lineal de ella con las otras es siempre
posible por medio, primero, de una transformación de tipo II, y después con
sucesivas de tipo III. (Por ejemplo para transformar f1, aplicamos sucesivamente
Ft11 , F
t2
1,2,F
t3
1,3 . . .F
tn
1,n)
4.
Como puede observarse en el ejemplo, para encontrar la forma escalonada
por filas lo que se intenta (una vez intercambiadas filas si es necesario) es
sustituir el máximo número de filas por combinaciones de ellas con las que
están por encima, intentando obtener una fila nula (expresamos la fila nula
con ~0), es decir con todos los elementos cero. A este proceso es usul referirse
diciendo ‘hacer ceros’.
Si una fila fi se hace cero, es decir si ~0 = t1f1 + t2f2 + . . .+ ti−1fi−1 + fi,
entonces despejando resulta que fi = −t1f1 − t2f2 + . . . − ti−1fi−1, es
combinación de las anteriores. Y rećıprocamente, si una fila fi es combinación
de las anteriores es posible sustituirla por la fila nula ~0, con lo quehasta
entonces a lo sumo sólo pueden existir por encima de la fila i, i−1 escalones
en su forma escalonada.
4Recordar que tal como se definen las transformaciones de tipo II, t1 no puede ser cero.
1.3. Rango de una matriz. 13
1.3 Rango de una matriz.
Con todo lo expuesto hasta ahora, dada la unicidad de las matrices escalonadas
obtenidas podemos definir el concepto de rango por filas (columnas) de una
matriz como el número k de ‘peldaños de la escalera’ de su correspondiente
forma escalonada por filas (columna), o también, como el número de vectores
(columnas) no nulos de la forma escalonada por filas (columna).
Lo más interesante y por otra parte de necesidad es que estos rangos por
fila y por columna de una matriz coinciden, con lo que vamos a poder hablar
del rango de una matriz sin especificar sis es por filas o por columnas.
Teorema 1.5 Los rangos por fila y por columna de una matriz A de orden
n×m, son iguales.
Demostración: Supongamos que el rango por filas de la matriz A es k,
es decir, después de reducir por medio de transformaciones elementales
A =

f1
f2
..
.
fn
 obtenemos la matriz escalonada B =

b1
b2
...
bk
0
...
0

equivalente por filas a
A. Entonces, se tiene que las filas b1, b2, . . . , bk resultan ser combinaciones de
las f1, f2, . . . , fn. Cualesquiera que sean las transformaciones realizadas en A
para obtener B, si realizamos las transformaciones inversas en B obtenemos
A, y aśı , resulta que las filas f1, f2, . . . , fn son también combinaciones de
las b1, b2, . . . , bk. Pongamos
f1 = r11b1 + r12b2 + · · ·+ r1kbk
f2 = r21b1 + r22b2 + · · ·+ r2kbk
...
fn = rn1b1 + rn2b2 + · · ·+ rnkbk
para determinados reales rij . Si la fila i de A es, fi = (ai1, ai2, . . . , aim) (i =
1, 2, . . . n) y la de B es bi = (bi1, bi2, . . . , bim) (i = 1, 2 . . . , k), entonces las
anteriores combinaciones nos dan que
a1j = r11b1j + r12b2j + · · ·+ r1kbkj
a2j = r21b1j + r22b2j + · · ·+ r2kbkj
...
anj = rn1b1j + rn2b2j + · · ·+ rnkbkj
14 1. Matrices elementales
o, si lo expresamos como columnas, que
a1j
a2j
...
anj
 = b1j

r11
r21
...
rn1
+ b2j

r12
r22
...
rn2
+ · · ·+ bkj

r1k
r2k
...
rnk

para cada columna j, j = 1, 2 . . . ,m. De esta forma al ser cada columna
de A combinación lineal de esas k columnas, es entonces equivalente por
columnas a la matriz
R =

r11 r12 . . . r1k 0 . . . 0
r21 r22 . . . r2k 0 . . . 0
...
...
. . .
...
...
. . .
...
rn1 rn2 . . . rnk 0 . . . 0

en la cual cualquier escalonamiento por columnas sólo nos proporcionaŕıa a
lo sumo k escalones. Por lo tanto el rango por columnas de A es menor o
igual a k rango por filas de A. Razonando de la misma forma a partir de las
columnas de A llegamos también a que rango por filas es menor que el de
columnas, de donde la igualdad.
Es posible entonces dar una definición del rango de una matriz
Definición 1.6 La matriz A de orden n × m tiene rango k, si y sólo si
existen k escalones en cualquiera de sus formas escalonadas.
Es decir, el rango es k si existen k filas (columnas) no idénticamente nulas en
su forma escalonada por filas (columna), independientemente de que estas
formas escalonadas sean o no reducidas.
1.3.1 Calculo de la matriz inversa.
El lector que ya está familiarizado con las matrices seguramente conocerá
algo acerca de los determinantes, los cuales, parecen que son de un conocimiento
necesario no sólo para el cálculo de la matriz inversa de una dada, sino incluso
para el cálculo del rango.
Vamos a ver a continuación que esto no es aśı, ya que, por medio de
transformaciones elementales podemos obtener la matriz inversa, si existe,
de una matriz cuadrada. El procedimiento es consecuencia directa de este
sencillo pero importante teorema:
1.3. Rango de una matriz. 15
Teorema 1.6 Sea A una matriz cuadrada de orden n, entonces son equivalentes
las tres afirmaciones:
(a) A es una matriz inversible
(b) A es un producto de matrices elementales.
(c) A es equivalente por filas (columna) a la matriz identidad In.
Demostración: Demostramos el teorema probando que (a)⇒ (b)⇒(c)⇒(a).
Cualquier otra implicación se obtiene por transitividad.
(a)⇒(b): Al absurdo, supongamos que A no es un producto de matrices
elementales y veremos que A−1 no puede existir.
Si A no es un producto de matrices elementales entonces A 6= E1E2 · · ·Ek
cualquiera que sea la sucesión E1, E2, . . . , Ek. Si existiese A
−1 (que tampoco
puede ser nunca un producto de matrices elementales porque si lo fuese lo
seŕıa A), entonces resultaŕıa que AA−1 = In no seŕı a tampoco un producto
de matrices elementales, lo que es evidentemente falso ya que I es élla misma
matriz elemental.
(b)⇒(c): Sea A = E1E2 · · ·Ek, para cierta sucesión E1, E2, . . . , Ek.
Multiplicando a la izquierda por las inversas de las matrices elementales,
tenemos, E−1k E
−1
k−1 · · ·E
−1
1 A = In. Como las inversas de matrices elementales
son elementales entonces A es equivalente por filas a la matriz identidad In.
(c)⇒(a): Si A es equivalente por filas (columnas) a la matiz identidad, es
decir, existe una sucesión E1, E2, . . . , Ek con EkEk−1 · · ·E1A = In (AE1E2, · · ·Ek =
In), entonces A es inversible, y su inversa es EkEk−1 · · ·E1 (E1E2 · · ·Ek).
Según la definición 1.6 el rango de una matriz es el número de escalones
que tiene la matriz en cualquiera de sus formas escalonadas. Dado que In
es escalonada por filas y por columnas y tiene n escalones y tiene por tanto
rango n, podemos entonces enunciar
Corolario 1.7 Una matriz cuadrada de orden n tiene inversa si y sólo si
tiene rango n.
El procedimiento para saber si una matriz tiene inversa y calcularla se hace
entonces de forma simultánea. Bastará realizar transformaciones de fila (o
de columnas) para encontrar su forma escalonada por filas reducida, que
será In si es en efecto inversible. La inversa como acabamos de ver en la
demostración del teorema viene expresada como un producto EkEk−1 · · ·E1
de matrices elementales.
16 1. Matrices elementales
Para obtener este producto EkEk−1 · · ·E1, dado que EkEk−1 · · ·E1 =
EkEk−1 · · ·E1In bastará entonces simultanear aplicando las mismas transformaciones
en In que las realizadas en A. El siguiente ejemplo ilustra el procedimiento:
Ejemplo 1.10 Calcular la inversa, si existe, de la matriz
 2 0 −10 1 1
−3 1 4
.
Ponemos la matriz A junto a la inversa In y hallamos la forma escalonada
reducida: 2 0 −1 | 1 0 00 1 1 | 0 1 0
−3 1 4 | 0 0 1
 F 121;
 1 0 −12 | 12 0 00 1 1 | 0 1 0
−3 1 4 | 0 0 1
 F33,1;
 1 0 −12 | 12 0 00 1 1 | 0 1 0
0 1 52 |
3
2 0 1
 F−13,2;
 1 0 −12 | 12 0 00 1 1 | 0 1 0
0 0 32 |
3
2 −1 1
 F 233;
 1 0 −12 | 12 0 00 1 1 | 0 1 0
0 0 1 | 1 −23
2
3
 F−12,3;
 1 0 −12 | 12 0 00 1 0 | −1 13 −23
0 0 1 | 1 −23
2
3
 F 121,3;
 1 0 0 | 1 −13 130 1 0 | −1 13 −23
0 0 1 | 1 −23
2
3

La matriz inversa A−1 es
 1 −13 13−1 13 −23
1 −23
2
3
.
El lector puede comprobar que la inversa coincide con el producto de las
matrices elementales,
A−1 = F
1
2
1,3F
−1
2,3F
2
2
3 F
−1
3,2F
3
3,1F
1
2
1
que son las matrices asociadas a las transformaciones que se han realizado.
Ejemplo 1.11 Expresar la matriz A del ejemplo anterior como producto
de matrices elementales.
Teniendo en cuenta que A−1 = F
1
2
1,3F
−1
2,3F
2
2
3 F
−1
3,2F
3
3,1F
1
2
1 , se tiene entonces
que
A = (A−1)−1 = (F
1
2
1,3F
−1
2,3F
2
2
3 F
−1
3,2F
3
3,1F
1
2
1 )
−1 = F 21F
−3
3,1F
1
3,2F
3
2
3 F
1
2,3F
2
1,3