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Colecciones de ejercicios
Integrales
Selectividad CCNN 2007
1. [ANDA] [JUN-A] Sean f: y g: las funciones definidas mediante: f(x) = x3+3x2 y g(x) = x+3.
a) Esboza la gráfica de f y de g calculando sus puntos de corte.
b) Calcula el área de cada uno de los dos recintos limitados entre las gráficas de f y g.
2. [ANDA] [JUN-B] Dada la función f: definida por f(x) = Ln 1+x2 , halla la primitiva de f cuya gráfica pasa por el origen de
coordenadas (Ln denota la función logaritmo neperiano).
3. [ANDA] [SEP-A] Sea f: la función definida por f(x) = x|x-2|.
a) Estudia la derivabilidad de f en x = 2.
b) Esboza la gráfica de f.
c) Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de f y el eje de abscisas.
4. [ANDA] [SEP-B] Determina una función f: sabiendo que su derivada viene dada por f'(x) = x2+x-6 y que el valor que alcanzaf
en su punto máximo (relativo) es el triple del valor que alcanza en su punto mínimo (relativo).
5. [ANDA] [SEP-B] Sea f:(-1,+) la función definida por f(x) = ln(x+1) (ln denota logaritmo neperiano).
a) Determina la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 0.
b) Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de f, la recta tangente obtenida en el apartado anterior y la recta x = 1.
6. [ARAG] [JUN-A] Sea F(x) = 
x2
lnt dt
1
, con x1. Calcular F'(e). ¿Es F''(x) una función constante? Justificar la respuesta.
7. [ARAG] [JUN-B] Calcular 
e
|lnx| dx
1/e
8. [ARAG] [SEP-A] Sea f(x) = 
3x+2 , x < 0
x2+2acos(x) , 0  x < 
ax2+b , x  
a) Estudiar los valores de a y b para los que la función f(x) es continua para todo valor de x.
b) Determinar la derivada de f(x) en el intervalo (0,).
c) Calcular 
2
f(x)dx
0
.
9. [ARAG] [SEP-A] Calcular un polinomio de tercer grado p(x) = ax3+bx2+cx+d que satisface:
i) p(0) = 0.
ii) Tiene un máximo relativo en x = 1 y un punto de inflexión en x = 0.
iii) 
1
p(x)dx
0
 = 9
4
.
10. [ARAG] [SEP-B] Utilizando el cambio de variable t = lnx, calcular 
e2
dx
x(4-lnx)
e
.
11. [ASTU] [JUN] Dada la función f(x) = ax2+bxcosx+c determina las constantes a, b, c de manera que simúltaneamente:
 Su gráfica pase por el punto (0,1).
 La recta tangente en ese punto (0,1) sea paralela a la recta y = x.
 Se verifique que 

f(x)dx
0
 =  2
3
2+1 -2.
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12. [ASTU] [SEP] Sea la función f(x) = 1-x2.
a) Su gráfica determina con el eje de abscisas un recinto limitado D. Calcula su área.
b) La gráfica de la función g(x) = x2 divide a D entres partes D1, D2 y D3. Haz un dibujo de los tres recintos.
c) Calcula el área del recinto D2 que contiene al punto 0,
1
2
.
13. [C-LE] [JUN-A] Sea la función f(x) = x
x2-1
.
a) Hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los de concavidad y convexidad, los puntos de inflexión y las asíntotas.
Esbozar su gráfica.
b) Calcular el área de la región limitada por dicha gráfica y las rectas x = -4, x = -2.
14. [C-LE] [JUN-B] Hallar el área del recinto limitado por las curvas de ecuaciones y = x2-4, y = 3x-6.
15. [C-LE] [SEP-A] Calcular el área del recinto limitado por la curva de ecuación y = ln x, el eje OX y las rectas x = 1 y x = 2.
16. [C-LE] [SEP-B] Sea la función f(x) = x
x2+4
. Se pide hallar:
a) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f, los máximos y mínimos relativos y las asíntotas. Esbozar su gráfica.
b) El área de la región limitada por la gráfica de f, el eje OX y las rectas x = -2 y x = 2.
17. [C-MA] [JUN] Calcula la siguienbte integral: 2
1+ x
dx.
(Indicación: Puede ayudarte realizar un cambio de variable adecuado).
18. [C-MA] [JUN] Dadas las funciones f(x) = 1
x
 y g(x) = -x+5
2
, se pide:
a) Esboza sus gráficas y sombrea el recinto encerrado entre ellas.
b) Calcula el área de dicho recinto.
19. [C-MA] [SEP] Calcula la siguiente integral: x
(x+1)3
dx.
20. [C-MA] [SEP] Esboza las gráficas de las parábolas f(x) = 2x2 y g(x) = -x2+3, sombreando el recinto cerrado que determinan.
Calcula el área de dicho recinto.
21. [CANA] [JUN-A] Hallar el área de la región acotada compredida entre las gráficas de las funciones y = 1
x2+4
, y = x
16
 y el eje OY.
22. [CANA] [JUN-B] Dada la función f(x) = x2-2x+2
a) Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 3.
b) Calcula el área del recinto acotado limitado por la gráfica de f, la recta tangente obtenida en el apartado a) y el eje OY.
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23. [CANA] [SEP-A] Se sabe que la gráfica de la función f(x) = x3+ax2+bx+c es la que aparece en el
dibujo.
a) Determina la función.
b) Calcula el área de la región sombreada.
24. [CANA] [SEP-B] a) Calcular el valor de a para que la integral entre 0 y a de la función xex sea igual a 1.
b) Resolver la integral indefinida dx
x+1+ x+1
.
25. [CATA] [SEP] Dadas las funciones f(x) = x2-ax-4 y g(x) = x
2
2
+b:
a) Calcule a y b de manera que los gráficos de f(x) y de g(x) sean tangentes en el punto de abscisa x = 3, es decir, que tengan la
misma recta tangente en dicho punto.
b) Halle la ecuación de la recta tangente mencionada en el apartado anterior.
c) Para el valor de a obtenido en el primer apartado, calcule el valor del área de la región limitada por el eje de abscisas OX y la
función f(x).
26. [CATA] [SEP] La función derivada F'(x) de una función continua f: que
pasa por el origen es una función a trozos formada por las semirrectas del
dibujo.
Escriba la expresión de la función F(x) como una función a trozos.
27. [EXTR] [JUN-A] Representa gráficamente el recinto plano limitado por las parábolas y = 1-x2 e y = x2 y calcula su área.
28. [EXTR] [JUN-B] Calcula el valor de la integral: 
10
(x-2)1/3dx
3
.
29. [EXTR] [SEP-A] Representa gráficamente la figura plana limitada por la curva y = 2x3, su recta tangente en el origen de
coordenadas y la recta x = 2. Calcula su área.
30. [EXTR] [SEP-B] a) Enuncia el Teorema del valor medio del Cálculo Integral.
b) Calcula el punto al que se refiere dicho teorema para la función f(x) = 3x2+1 en el intervalo 0,3 .
31. [MADR] [JUN-B] Dada la función f(x) = x
2-12
x2+4
, calcular el área de la región acotada encerrada por su gráfica y el eje OX.
32. [MADR] [SEP-A] a) Hallar los máximos y mínimos relativos y los puntos de inflexión de la función f(x) = 3x
2+x+3
x2+1
.
b) Determinar una función F(x) tal que su derivada sea f(x) y además F(0) = 4.
33. [MADR] [SEP-B] Sea g(x) una función continua y derivable para todo valor de x, de la que se conoce la siguiente información:
i) g'(x) > 0, para todo x -,0  2,+ , mientras que g'(x) < 0 para todo x 0,2 .
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ii) g''(x) > 0, para todo x  1,3 y g''(x) < 0 para todo x -,1  3,+ .
iii) g(-1) = 0, g(0) = 2, g(2) = 1.
iv) lim
x-
g(x) = - y lim
x+
g(x) = 3.
Teniendo en cuenta los datos anteriores, se pide:
a) Analizar razonadamente la posible o no existencia de asíntotas verticales, horizontales u oblicuas.
b) Dibujar de manera esquemática la grafica de g(x).
c) Si G(x) = 
x
g(t)dt
0
, encontrar un valor x0 tal que su derivada G' x0 = 0.
34. [MURC] [JUN] i) Enunciar el teorema fundamental del cálculo integral.
ii) Calcular la derivada de la función f(x) = 
x
cos t2 dt
0
.
iii) Calcular la integral 
e
ln x2 dx
1
.
35. [MURC] [JUN] Calcular el área encerrada por la función f(x) = x
3-1
x2+1
 y los ejes X e Y.
36. [MURC] [SEP] Calcule la integral 
1
x3+2
x2+3x+2
dx
0
.
37. [MURC] [SEP] Calcular el área encerrada por el eje X y la función f(x) = xcosx entre x = -
2
 y x = 
2
.
38. [RIOJ] [JUN] Calcula 1+x
1+ x
dx.
39. [RIOJ] [JUN] Calcula el área limitada por la curva y = x+1, la recta y = 0 y la recta x = 1. Previamente haz un esquema del
recinto cuya área hay que calcular.
40. [RIOJ] [SEP] Halla una primitiva de la integralx
2
1-x3
dx que se anule en x = 0.
41. [RIOJ] [SEP] Halla el área limitada por la curva y = xe-x2, el eje de abscisas, y la recta x = a, siendo a la abscisa del punto máximo
de la curva.
42. [VALE] [JUN] Se consideran las funciones reales f(x) = 12x3-8x2+9x-5 y g(x) = 6x2-7x+2. Se pide:
a) Determinar las ecuaciones de las asíntotas a la gráfica de la función f(x)
g(x)
.
b) Calcular la función H(x) = f(x)
g(x)
 que cumple H(1) = 1.
43. [VALE] [SEP] Dadas las funcione reales f(x) = 4x2+2x+10 y g(x) = x3+x2+5x+5, se pide:
a) Determinar las ecuaciones de las asíntotas a la gráfica de la función f(x)
g(x)
.
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b) Calcular la función H(x) = f(x)
g(x)
 que cumple H(0) = 0.
 Soluciones
1. a) 
1 2-1-3
1
3
-2
X
Y
 b) 4 y 4 2. F(x) = x·Ln 1+x2 -2x+2arctagx 3. a) No es derivable b) 
1 2 3
1
2
-1
-2
X
Y
 c) 4
3
 4. f(x)= 1
3
x3+ 1
2
x2-6x+71
4
 5. a) y=x b) 3
2
 -ln4 6.
F'(e) = 4e ; F''(x) = 2lnx2+4 7. 2e-2
e
 8. a) a=1, b=-2 b) f'(x) = 2x-2senx c) 53-2 9. p(x) = -9
5
x3+27
5
x 10. ln3
2
 11. a=2, b=1, c=1 12. a) 4
3
 b) c)
2 2
3
 13. a) Creciente: . Convexa: -1,0  1,+ . Asíntotas: x = -1; x = 1; y = 0. Gráfica: 
1 2-1-2
1
2
-2
X
Y
 b) ln 5
2
 14. 1
6
 15. ln4-1 16. a) Creciente: -2,2 .
Máximo: 2. Mínimo: -2. Asíntotas: y = 0. Gráfica: 
1 2-1
1
-1
X
Y
 b) ln2 17. 4 x-4ln x+1 +c 18. a) b) 15
8
-ln4 19. - 1
x+1
+ 1
2(x+1)2
+c 20.
 4 21. -1
8
 22. a) y = 4x-7 b) 9 23. a) f(x) = x3-3x+2 b) 27
4
 24. a) 1 b) 2ln x+1+1 +c 25. a) 3 b) y = 3x-5 c) 125
6
 26. 
x2
2
 - x si x < 2
x-2 si x  2
 27.
 4 3
9
 28. 45
4
 29. 8 30. 3 31. 16-12 3
3
 32. a) Mínimo: -1,5
2
. Máximo: 1,7
2
. P. inflexión: 0,3 , - 3,12- 3
4
, 3,12+ 3
4
.
b) F(x) = 3x+ 1
2
ln x2+1 +4 33. a) A. horizontal a la derecha: y = 3 b) c) -1 34. ii) f'(x) = cos x2 iii) 2 35. -2ln2-2
4
 36. 6ln3-5ln2- 5
2
 37. -2
38. 2x 2
3
 -4+4 x-4ln x+1 +c 39. 2 40. F(x) = -2
3
1-x3+2
3
 41. e- e
2e
 42. a) x= 1
2
; x=2
3
; y = 2x+1 b) x2+x+ln|3x+2|+ln|2x+1|-1 43. a) x = -1; y = 0
b) 2ln|x+1|+ln|x2-5|-ln5
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