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Colecciones de ejercicios
Integrales
Selectividad CCNN 2008
1. [ANDA] [JUN-A] Calcula 
-1
dx
(x2-x)(x-1)
-2
2. [ANDA] [JUN-B] Sea f:  la función definida por f(x) = e-2x.
(a) Justifica que la recta de ecuación y = -2ex es la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x = - 1
2
.
(b) Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de f, el eje de ordenadas y la recta tangente del apartado anterior.
3. [ANDA] [SEP-A] Dada la función g: definida por g(x) = 2x + x2-1 ,
a) Esboza la gráfica de g.
b) Calcula 
2
g(x)dx
0
.
4. [ANDA] [SEP-B] Sean f: y g: las funciones definidas por: f(x) = x2-1, g(x) = 2x+2.
a) Esboza las gráficas de f y g.
b) Calcula el área del recinto limitado por dichas gráficas.
5. [ARAG] [JUN] (a) Dada F(x) = 
x
t·sen(t)dt
0
, estudiar si x =  es una raíz de F'(x).
(b) Calcular el valor de    para el cual lim
n+
n2+2n+1
n2+n-2
n3+1
n2-1 = 1.
6. [ARAG] [JUN] 
Sean las funciones: f:   
x  x3
 , g:   
x  |x|
 , h:   
x  sen(x)
(a) Estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los puntos de inflexión de f(x).
(b) Calcular la derivada de (f o h)(x).
(c) Obtener el área del recinto limitado por f y g entre x = 0 y x = 1.
7. [ARAG] [SEP] Sea f(x) = (2x-1)
2
4x2+1
.
a) Calcular el máximo y mínimo absolutos de f(x).
b) Estudiar si f(x) es una función simétrica respecto al eje OY.
c) Calcular 
1
f(x)dx
0
.
8. [ARAG] [SEP] a) Razonar si para F(x) = 
x2
t2dt
0
x4
 se satisface que lim
x0
F(x) = lim
x0
F'(x).
b) Calcular lim
x+
4x2+1 - 4x2-3x+2 .
9. [ASTU] [JUN] Se considera la función f(x) = x
x2+1
.
a) Halle sus asíntotas, máximos y mínimos.
b) Represente gráficamente la función.
c) Halle el área delimitada por la función y el eje OX, para -1  x  1.
10. [ASTU] [SEP] Se dispone de una chapa de acero que puede representarse por la región del plano determinada por la parábola
y = -x2+4 y la recta y = 1.
a) Representa gráficamente la chapa y calcule su área.
b) Determine las dimensiones del rectángulo de área máxima que se puede obtener a partir de dicha chapa con la condición de que
uno de sus lados esté en la recta y = 1.
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11. [ASTU] [SEP] Se considera la función f(x) = 2- x
x2+1
.
a) Halle los máximos, mínimos y puntos de inflexión.
b) Para x  [0,5], esboce la gráfica de la función y calcule el área comprendida entre ella y el eje x.
12. [C-LE] [JUN-A] Sea la función f(x) = lnx
x2
, con x  (0,+). Se pide:
a) Calcular los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los extremos relativos y las asíntotas. Esbozar la gráfica.
b) Calcular f(x)dx.
13. [C-LE] [JUN-B] Dada f(x) = 
sen x2
x
si x > 0
x2-2x si x  0
 , se pide:
a) Estudiar la continuidad y derivabilidad de la función f(x).
b) Calcular 
2
x2f(x)dx

.
14. [C-LE] [SEP-A] Calcular dx
x(x+1)
15. [C-LE] [SEP-B] Calcular 
dx
9-(x-1)2
16. [C-MA] [JUN] Calcula la integral 2x
3-9x2+7x
x2-x
dx
17. [C-MA] [JUN] Calcula la integral definida 

exsen(x)dx
0
18. [C-MA] [SEP] De la función f(x) = (x+a)sen(x), donde a es un número real, se sabe que la integral definida 

f(x)dx
0
 es tres veces
el valor de la pendiente de la recta tangente a f(x) en x = 0. Calcula el valor de a.
19. [C-MA] [SEP] Definición de primitiva de una función. Sabiendo que F(x) = ex2 es una primitiva de la función f(x):
a) Comprueba que f(x) es una función creciente en .
b) Calcula el área determinada por la gráfica de f(x), el eje de abscisas, y las rectas x = -1, x = 1.
20. [CANA] [SEP] Determina el valor de a, siendo a > 0, para que el área de la región limitada por la curva
y = x2 y la recta y = ax sea igual a 9
2
.
21. [CANA] [SEP] Calcular las siguientes integrales: i) (2x-1)Ln(x)dx ii) 1-x
1+4x2
dx.
22. [CATA] [JUN] Sabemos que cierta función derivable F(x) verifica las siguientes condiciones:
F'(x) = 14 x
 y F(1) = 3
a) Encuentre F(x).
b) Calcule el área comprendida entre F(x) y el eje OX desde x = 0 hasta x = 1.
23. [EXTR] [JUN-A] Calcula el valor de la siguiente integral (puede hacerse con el cambio de variable t = ln(x)):
e
1
x 1+ln(x)
dx
1
,
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donde ln denota logaritmo neperiano.
24. [EXTR] [JUN-B] a) Representa gráficamente el recinto plano limitado por la recta y+2x-6 = 0 y la parábola y = -x2+2x+3.
b) Calcula su área.
25. [EXTR] [SEP-A] Calcula la funbción f(x) cuya gráfica pasa por el punto (0,1) (es decir f(0) = 1) y que tiene como derivada la
función f'(x) = 2x
x2+1
.
26. [EXTR] [SEP-B] a) Define el concepto de primitiva de una función.
b) Di, razonando la respuesta, si las funciones F1(x) = sen
2(x) y F2(x) = -cos
2(x) son primitivas de una misma función.
27. [MADR] [JUN-B] (a) Para cada valor de c > 0, calcular el área de la región acotada comprendida entre la gráfica de la función
f(x) = cx4+ 1
c
x2+1, el eje OX y las rectas x = 0, x = 1.
(b) Hallar el valor de c para el cual el área obtenida en el apartado (a) es mínima.
28. [MADR] [SEP-A] Dada la función f(x) = e-x x2+1 , se pide:
a) Dibujar la gráfica de f, estudiando el crecimiento, decrecimiento, puntos de inflexión y asíntotas.
b) Calcular 
1
f(x)dx
0
.
29. [MADR] [SEP-B] a) Calcular x3ln(x)dx, donde ln(x) es el logaritmo neperiano de x.
b) Utilizar el cambio de variable x = et-e-t para calcular 
1
4+x2
dx.
Indicación: Para deshacer el cambio de variable, utilizar: t = lnx+ x
2+4
2
30. [MURC] [JUN] i) Enunciar el teorema funcamental del cálculo.
ii) Calcular la integral x
3-2x2
x2-2x+1
dx.
31. [MURC] [JUN] Calcular el área encerrada por las funciones f(x) = 1+ln(x) y g(x) = 1
x
 y por las rectas x = 1 y x = 2.
32. [MURC] [SEP] Calcular la integral x
3+1
x2+1
dx.
33. [MURC] [SEP] Calcular el área encerrada por las funciones f(x) = x3+x2+1 y g(x) = 2x+1.
34. [RIOJ] [JUN] Hallad 
3
2x3
x2+1
dx
0
.
35. [RIOJ] [SEP] Dada la función f(x) = ax2+bx+c, determinad a, b y c para que se cumpla que f(0) = f(-1) = 1, 
0
f(x)dx = 2
-1
.
36. [RIOJ] [SEP] Buscad una función, que llamamos f(x), que pase por el punto (1,3) y cuya derivada sea la función xlnx.
Calculad el dominio de f(x) y lim
x+
f(x).
37. [VALE] [JUN] Se considera, en el primer cuadrante, la región R del plano limitada por: El eje X, el eje Y, la recta x = 2 y la curva
y = 1
4+x2
.
a) Calcular razonadamente el área de la regió R.
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b) Encontrar el valor de  para que la recta x =  divida la región R en dos partes A (izquierda) y B (derecha) tales que el área de
A sea el doble que la de B.
38. [VALE] [SEP] Dada la función f(t) = at+b (con a y b constantes reales), se define F(x) = x
x+1
f(t)dt
1
. Se pide obtener
razonadamente:
a) La integral 
x+1
f(t)dt
1
.
b) La expresión de la derivada F'(x) de la función F(x).
c) La relación entre los valores a y b para la que se verifica: F''(0) = 0.
39. [VALE] [SEP] Para cada número real positivo , se considera la función f(x) = x2+. Se pide calcular razonadamente:
a) El área de la región del plano limitada por el eje X, el eje Y, la recta x = 6 y la curva y = g(x).
b) El valor de  para el que la curva y = x2+ divide al rectángulo de vértices (0,0), 6,0 , 6,6+ , 0,6+ en dos regiones de
igual área.
 Soluciones
1. 1
6
+ln3
4
 2. (b) e-2
4
 3. a) 
1 2 3-1-3
1
3
-2
X
Y
 b) 6 4. a) 
2 4 6 8-2
2
6
X
Y
 b) 32
3
 5. (a) si (b) 0 6. (c) Creciente en . P. inflex: x = 0 (b) 3sen2x·cosx (c) 1
4
 7. a) -1
2
,
1
2
 b) no c) 2-ln5
2
 8. a) si b) 3
4
 9. a) as: y = 0; max: 1; min: -1 b) 
1 2 3-1-2
1
2
-2
X
Y
 c) ln2 10. a) 
1 2-1-2
1
2
3
4
X
Y
 4 3 b) base: 4 3
3
; altura: 8
3
 11. a) max: -1;
min: 1; p.i. - 6, 0, 6 
1 2 3 4 5-1
1
3
-2
X
Y
 b) 20-ln26
212. a) Crec: 0, e ; max: e; asint: x = 0; y = 0; 
1 2 3
1
-1
X
Y
 b) - 1+lnx
x
 +c 13. a) Cont: ; Deriv: -{0}
b) -1 14. ln|x|-ln|x+1|+c 15. arcsenx-1
3
+ c 16. x2-7x+c 17. e
+1
2
 18.  19. b) 2e-2 20. 3 21. i) x2-x lnx- x
2
2
 +x+c ii) 1
2
arctg2x - 1
8
ln 1+4x2 +c 22. a)
4
4
x3+5
3
 b) 17
7
 23. ln2 24. a) b) 4
3
 25. ln x2+1 +1 26. b) si (sen2x) 27. (a) 3c
2+15c+5
15c
 (b) 15
3
 28. a) 
1 2 3 4-1
1
2
X
Y
 b) 3e-6
e
 29. a)
x4(4lnx-1)
16
 +c b) lnx+ x
2+4
2
 +c 30. x
2
2
 + 1
x-1
 - ln|x-1| +c 31. ln2 32. x
2
2
 - 1
2
ln x2+1 +arctgx+c 33. 37
12
 34. 8
3
 35. -6, -6, 1 36. f(x) = x
2(2lnx-1)+13
4
 ; (0,+) ; +
37. a) 
8
 b) 2 3
3
 38. a) ax
2+2(a+b)x
2
 b) 3ax
2+4(a+b)x
2
 c) a+b = 0 39. a) (2+) 6 b) a
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