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Colecciones de ejercicios
Integrales
Selectividad CCNN Aragón
1. [2014] [EXT-A] a) La derivada de la función f(x) es: (x-1)3(x-3). Determine la función f(x) sabiendo que f(0) = 1.
b) Determine el límite: lim
x+
x3+2x+2
x3+1
3x2+x+1
2. [2014] [EXT-B] a) Dadas las funciones f(x) = x2 y g(x) = -x2+2, determine el área encerrada entre ambas funciones.
b) Calcule la integral: 
3
x3
x2-2x+1
dx
2
3. [2014] [JUN-A] a) Usando el cambio de variable t = ln(x) determine el valor de la integral: 1+3ln(x)+(ln(x))
3
x(1-(ln(x))2)
dx
b) Determine el límite: lim
x0
(cos(x))
1
sen(x)
2
.
4. [2014] [JUN-B] a) Determine la integral: x2sen(2x)dx.
b) Determine el área máxima que puede tener un rectángulo cuya diagonal mide 8 metros. ¿Cuáles son las dimensiones del
ractángulo de área máxima?
5. [2013] [EXT-A] a) Calcule: 
3
1
2x2-4x+2
dx
2
b) Determine el límite: lim
x+
1+2ln(x)+[ln(x)]2
x[1+ln(x)]
6. [2013] [EXT-B] a) Considere las funciones: f(x) = x2+1 y g(x) = 3-x.
Determine los puntos de corte de esas dos funciones.
Determine el área encerrada entre esas dos funciones.
b) Determine, si existen, los máximos y mínimos relativos, y los puntos de inflexión de la función: h(x) = x6+2.
7. [2013] [EXT-B] a) Usando el cambio de varialble t = ex, calcule: e
x
1-e-x
dx
b) Calcule: lim
x+
x-1
x+1
x
8. [2013] [JUN-A] a) Determine la función f(x) cuya derivada es f'(x) = 2xe5x y que verifica que f(0) = 2.
b) Calcule: lim
x2+
1
3-x
1
(2-x)2
9. [2013] [JUN-B] a) Sea la función f(x) = x
3
x2-1
. Determine el dominio y las asíntotas de f(x), si existen.
b) Determine el área del recinto encerrado por las funciones: f(x) = -x2+3 y g(x) = 1.
10. [2013] [JUN-B] a) Determine qué valor debe tomar k para que lim
x+
2x- 4x2+kx-5 = 1.
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b) Calcule: 2x[ln(x)]2dx.
11. [2012] [EXT-A] Considere las funciones f(x) = ex+1 y g(x) = e-x+5.
a) Determine los posibles puntos de corte de esas dos funciones.
b) Calcule el área encerrada entre esas dos funciones y las rectas x = 1 y x = 3.
12. [2012] [EXT-B] a) Calcule el límite lim
x+
x+6
x+2
3x
.
b) Calcule la integral 
/2
esen(x)sen(x)cos(x)dx
0
 usando el cambio de variable sen(x) = t.
13. [2012] [JUN-A] Calcule la siguiente integral indefinida x
2+11x
x3-2x2-2x+12
dx
14. [2012] [JUN-B] a) Calcule la siguiente integral indefinida: cos[ln(x)]dx.
(Ayuda: realice un cambio de variable adecuado para esta integral).
b) Calcule el límite siguiente: lim
x+
x2
x+3
ln x+5
x-1
.
15. [2011] [EXT-A] Para la función f(x) = 2x+1
x-1
,
a) Estudiar su continuidad.
b) Razonar si g(x) = x2-1 f(x) es una función derivable.
c) Calcular 
3
f(x)dx
2
.
16. [2011] [EXT-B] a) Calcular: lim
x+
cos x+1
x2
 ; lim
x
4
1+sen2x
1-cos4x
 ; lim
x
x+4
x-4
x
 ; lim
x+0
1- 1-x
x
.
b) Utilizar el cambio de variable t2 = 1+x2 para calcular 
x3
1+x2
dx.
17. [2011] [JUN-A] a) Utilizar el cambio de varaiable t6 = 1+x para calcular x+1+2
(x+1)2/3- x+1
dx.
b) Para f(x) = e-3x calcular sus derivadas sucesivas y concluir cuál de las siguientes opciones es la correcta:
i) f(n)(x) = 3ne-3x ; ii) f(n)(x) = (-3)(n+1)e-3x ; iii) f(n)(x) = (-3)ne-3x
18. [2010] [EXT-A] a) Utilizar el cambio de variable t3 = 1-x para calcular el siguiente límite lim
x0
(1-x)1/3-1
x
.
b) Estudiar la continuidad de f(x) = x
2+1 , x < 1 
1-x , x  1
 y obtener 
1/2
f(x)dx
-1/2
.
19. [2010] [EXT-B] Sea f(x) = 
x
1- 1+x
 una función definida en [-1,+).
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a) ¿Cuánto debe valer f(0) para asegurar que f(x) es continua en su dominio? Calcular 
2
f(x)
1- 1+x
dx
1
.
b) Para G(x) = 
x
f(t)
1- 1+t
dt
1
 calcular G'(x).
20. [2010] [JUN-A] Sea f(x) = 
x2+2x , - < x  0
sen(ax) , 0 < x < 
(x-)2+1 ,   x < +
a) Calcular los valores de a para los cuales f(x) es una función continua.
b) Estudiar la derivabilidad de f(x) para cada uno de esos valores.
c) Obtener 
0
f(x)dx
-1
.
21. [2010] [JUN-B] a) Hallar el área encerrada entre la curva y = x3-3x y la recta y = x.
b) Calcular lim
x
2 ln n
ln 7n2
ln n
.
22. [2009] [EXT] Sea f(x) = x
3+2x2
x+2
a) Calcular su dominio.
b) Encontrar los puntos de corte de f(x) con el eje OX y estudiar si la función es creciente en el intervalo (0,1).
c) Obtener lim
x+
 f(x)
x+2
.
d) Hallar 
1
f(x)dx
-1
.
23. [2009] [EXT] a) Calcular 
/2
cos3(x)dx
0
.
b) Sea f(x) = eax, con a. Calcular f(n)(x)-anf(x), siendo f(n) la derivada n-ésima de f(x).
24. [2009] [JUN] a) Calcular los siguientes límites: lim
x+
12x2 x2-7x
9x6+5x
 ; lim
x0
(cosx+senx)1/x.
b) Obtener 

xcos x2 dx
/2
.
25. [2009] [JUN] Sea f(x) = 1
x-x2
.
a) Determinar su dominio.
b) Estudiar si f(x) es una función simétrica respecto al origen de coordenadas.
c) Obtener el área encerrada por f(x) y el eje OX entre x = 1
4
 y x = 3
4
.
26. [2008] [EXT] Sea f(x) = (2x-1)
2
4x2+1
.
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a) Calcular el máximo y mínimo absolutos de f(x).
b) Estudiar si f(x) es una función simétrica respecto al eje OY.
c) Calcular 
1
f(x)dx
0
.
27. [2008] [EXT] a) Razonar si para F(x) = 
x2
t2dt
0
x4
 se satisface que lim
x0
F(x) = lim
x0
F'(x).
b) Calcular lim
x+
4x2+1 - 4x2-3x+2 .
28. [2008] [JUN] (a) Dada F(x) = 
x
t·sen(t)dt
0
, estudiar si x =  es una raíz de F'(x).
(b) Calcular el valor de    para el cual lim
n+
n2+2n+1
n2+n-2
n3+1
n2-1 = 1.
29. [2008] [JUN] 
Sean las funciones: f:   
x  x3
 , g:   
x  |x|
 , h:   
x  sen(x)
(a) Estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los puntos de inflexión de f(x).
(b) Calcular la derivada de (f o h)(x).
(c) Obtener el área del recinto limitado por f y g entre x = 0 y x = 1.
30. [2007] [EXT-A] Sea f(x) = 
3x+2 , x < 0
x2+2acos(x) , 0  x < 
ax2+b , x  
a) Estudiar los valores de a y b para los que la función f(x) es continua para todo valor de x.
b) Determinar la derivada de f(x) en el intervalo (0,).
c) Calcular 
2
f(x)dx
0
.
31. [2007] [EXT-A] Calcular un polinomio de tercer grado p(x) = ax3+bx2+cx+d que satisface:
i) p(0) = 0.
ii) Tiene un máximo relativo en x = 1 y un punto de inflexión en x = 0.
iii) 
1
p(x)dx
0
 = 9
4
.
32. [2007] [EXT-B] Utilizando el cambio de variable t = lnx, calcular 
e2
dx
x(4-lnx)
e
.
33. [2007] [JUN-A] Sea F(x) = 
x2
lnt dt
1
, con x1. Calcular F'(e). ¿Es F''(x) una función constante? Justificar la respuesta.
34. [2007] [JUN-B] Calcular 
e
|lnx| dx
1/e
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35. [2006] [EXT-A] Dadas las funciones f(x) = x2 y g(x) = x3, determinar el área encerrada por las gráficas de ambas funciones
entre las rectas:
a) x = 0 y x = 1.
b) x = 1 y x = 2.
36. [2006] [EXT-B] Usando el cambio de variable t = lnx, calcular ln(lnx)
xlnx
dx.
37. [2006] [JUN-A] a) Utilizando el cambio de variable t = ex, calcular ex+exdx.
b) Calcular lim
x0
sen x
7x2
.
38. [2006] [JUN-B] La función f:[0,+) definida por f(x) = 
ax si 0  x  8
x2-32
x-4
si x > 8
 es continua en [0,+).
a) Hallar el valor de a que hace que esta afirmación sea cierta.
b) Calcular 
10
f(x)dx
0
.
39. [2005] [EXT-A] Sea  la región plana encerrada entre las parábolas f(x) = x2+2x+4 y g(x) = 2x2-x+6.
(a) Hallar la superficie de .
(b) Razonar (no valen las comprobaciones con la calculadora) cuál de las dos parábolas está en la parte inferior de la región .
40. [2005] [EXT-B] Determinar le área encerrada por la gráfica de la función f(x) = x2senx y el eje de abscisas entre el origen y el
primer punto positivo donde f se anula.
41. [2005] [JUN-B] Sea la función f(x) = x·sen2x. Calcular la integral de esta función entre x = 0 y suprimer cero positivo. (Nota:
Llamamos cero de una función a aquellos puntos donde se anula).
42. [2004] [EXT-A] Calcular el área encerrada entre la gráficas de la recta y = x+2 y la parábola y = x2.
43. [2004] [EXT-B] Sea la parábola f(x) = x2-6x+9.
a) Probar que es tangente a uno de los ejes coordenados, indicando a cual.
b) Calcular el área encerrada entre la gráfica de la parábola y los dos ejes coordenados.
44. [2004] [JUN-A] Calcular el área encerrada entre la gráfica de la función exponencial f(x) = ex y la cuerda a la misma que une los
puntos de abscisas x = -1 y x = 1.
45. [2004] [JUN-B] Sea la función f(x) = x·senx. Determinar:
(a) El área encerrada entre su gráfica y el eje de abscisas entre los valores x = 0 y x = .
(b) El área encerrada entre la tangente en x =  y los dos ejes coordenados.
46. [2003] [EXT-A] Sea la parábola y = x2-4x+3.
a) Determinar los puntos de corte de la parábola con los dos ejes coordenados.
b) Calcular el área encerrada entre la parábola y el eje de abscisas.
c) Calcular el área encerrada entre la parábola y el eje de ordenadas.
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47. [2003] [EXT-B] Sea la función f(x) = x
x2+1
.
a) Definir su dominio.
b) Calcular su límite en el infinito.
c) Determinar sus extremos.
d) Calcular el área encerrada por la gráfica de f entre las abscisas 0 y 1.
48. [2003] [JUN-A] Sean las parábolas y = x2-4x+13 e y = 2x2-8x+16.
a) Representar sus gráficas.
b) Calcular los puntos donde se cortan entre si ambas parábolas.
c) Hallar la superficie encerrada entre las dos parábolas.
49. [2003] [JUN-B] Sea la función f(x) = xex.
a) Calcular la ecuación de su tangente en el origen de coordenadas.
b) Determinar los extremos de la función f.
c) Hallar el área encerrada entre la gráfica de esta curva, el eje de abscisas y la recta x = 1.
 Soluciones
11. a) 2,e3 b) 2e4-4e3+2e2 12. a) e12 b) 1 13. ln x
2-4x+6
x+2
+7 2
2
arctgx-2
2
+c 14. a) x(senlnx+coslnx)
2
+c b) 6 15. a) -{1} b)  c) 2+3ln2 16. a) 1, 1, e8, 1
2
 b)
x2-2
3
1+x2+c 17. a) 6 x+1
6
 + (x+1)
2/3
4
 + (x+1)
2
3
 - (x+1)
3
2
 -x-1-ln 6 x+1-1 +c b) iii) 18. a) -1
3
 b) -{1}; 13
12
 19. a) -2; -1 b) -1 20. a) 1
2
+2k b) no es derivable en x = 0 c)
-2
3
 21. a) 8 b) 7
7
 22. a) - {-2} b) (0,0); si c) 1 d) 1 23. a) 2
3
 b) 0 24. a) 4, e b) -1
2
 25. a) - {0,1} b) no c) 2ln3 26. a) -1
2
, 1
2
 b) no c) 2-ln5
2
 27. a) si b) 3
4
28. (a) si (b) 0 29. (c) Creciente en . P. inflex: x = 0 (b) 3sen2x·cosx (c) 1
4
 30. a) a=1, b=-2 b) f'(x) = 2x-2senx c) 53-2 31. p(x) = -9
5
x3+27
5
x 32. ln3
2
 33.
F'(e) = 4e ; F''(x) = 2lnx2+4 34. 2e-2
e
 35. a) 1
12
 b) 17
12
 36. [ln(lnx)]
2
2
+c 37. a) eex+c b) no existe  38. a) 8 b) 206
3
 - 16ln3
2
 39. (a) 1
6
 (b) g(x) 40. 2-4
41. 1 42. 10
3
 43. a) OX b) 9 44. 2
e
 45. (a)  (b) 
3
2
 46. a) (1,0), (3,0), (0,3) b) 4
3
 c) 4
3
 47. a)  b) 0 c) min: -1,-1
2
; max: 1, 1
2
 d) 2ln5 48. a)
4 8-4-8
4
8
12
X
Y
 b) (1,10), (3,10) c) 4
3
 49. a) y = x b) min: -1,-1
e
 c) 1
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