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Colecciones de ejercicios
Derivadas
Selectividad CCNN Murcia
1. [2014] [EXT-A] Dada la función f(x) = ax+b x, determine los valores de los parámetros a y b sabiendo que f(x) cumple las
siguientes propiedades:
a) f(x) alcanza su máximo en el punto de abscisa x = 100
b) La gráfica de f(x) pasa por el punto (49,91).
2. [2014] [EXT-B] Calcule los siguientes límites:
a) lim
x+
x2-3
x-5
 - x
2
x-2
b) lim
x1
xlnx + 1 - x
(x-1)2
3. [2014] [JUN-A] Dada la función f(x) = e
x
x
, se pide:
a) Dominio de definición y cortes con los ejes.
b) Estudio de las asíntotas (verticales, horizontales y oblicuas).
c) Intervalos de crecimiento y decrecimiento. Extremos (máximos y mínimos).
d) Representación gráfica aproximada.
4. [2014] [JUN-B] Dada la función f(x) = xlnx - x, se pide:
a) Determine el punto de la gráfica de f para el cual la recta tangente es paralela a la bisectriz del primer cuadrante. Calcule la
ecuación de dicha recta.
b) Determine el punto de la gráfica de f para el cual la recta tangente es paralela al eje OX. Calcule la ecuación de dicha recta.
5. [2013] [EXT-A] Calcule los siguientes límites:
a) lim
x+
 x
2+1
x2-1
x2+2
b) lim
x0
 senx
2
1-cosx
6. [2013] [EXT-B] Descomponga el número 48 como suma de dos números positivos de tal manera que el producto de uno de ellos por
el cubo del otro sea el mayor valor posible.
7. [2013] [JUN-A] Dada la función f(x) = x
2
x-1
, se pide:
a) Dominio de definición y punto de corte con los ejes.
b) Estudio de las asíntotas (verticales, horizontales y oblicuas).
c) Intervalos de crecimiento y decrecimiento. Extremos (máximos y mínimos).
d) Representación gráfica aproximada.
8. [2013] [JUN-B] Considere la función dada por f(x) = 
x
1-ex
si x  0
-1 si x = 0
a) Demuestre que la función es continua en todo .
b) Determine si la función es derivable en x = 0 y, en caso afirmativo, calcule f'(0).
9. [2012] [EXT-B] Considere la función dada por f(x) = x
2-3x+a si x  0
-x2+bx+b+1 si x > 0
Determine los valores de los parámetros a y b para los cuales f(x) es continua y derivable en todo .
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10. [2012] [JUN-A] Considere la función dada por f(x) = 2x
2+ax+b si x  1
lnx-1 si x > 1
.
Determine los valores de los parámetros a y b sabiendo que f(x) cumple las siguientes propiedades
a) f(x) es continua en todo .
b) f(x) tiene un extremo relativo en el punto de abscisa x = 0.
11. [2012] [JUN-B] Dada la función f(x) = x
2-9
x-1
, se pide:
a) Dominio de definición y cortes con los ejes.
b) Estudio de las asíntotas (verticales, horizontales y oblicuas).
c) Intervalos de crecimiento y decrecimiento. Extremos (máximos y mínimos).
d) Representación gráfica aproximada.
12. [2011] [EXT-A] Dada la función f(x) = x3-6x2+8x, se pide:
a) Determine los puntos de la gráfica de f para los cuales la recta tangente es paralalela a la bisectriz del segundo cuadrante.
b) Determine si, para alguno de dichos puntos, la recta tangente a la gráfica coincide con la bisectriz del segundo cuadrante.
13. [2011] [EXT-B] Dada la función f(x) = x-x3, se pide:
a) Calcula le ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto (1,0).
b) Calcule los puntos de corte de dicha recta con la gráfica de f.
14. [2011] [JUN-A] Dada la función f(x) = e
x+1
ex-1
, se pide:
a) Estudiar si existen asíntotas verticales y calcular los límites laterales en caso de que las haya.
b) Estudiar si existen asíntotas horizontales y calcularlas en caso de que las haya.
15. [2011] [JUN-B] Las manecillas de un reloj miden 4 y 6 cm; uniendo sus exrtemos se forma un triángulo.
a) Demuestre que el área de dicho triángulo viene dada por la función A(x) = 12sen(x), donde x denota el ángulo formado por las
manecillas del reloj.
b) Determine el ángulo que deben formar las menecillas del reloj para que el área de dicho triángulo sea máxima. ¿Cuál es el valor
de dicha área? Se puede utilizar el apartado a) aunque no se halla demostrado.
16. [2010] [EXT-A] Dada la función f(x) = x+1
4-x2
 , se pide:
i) Dominio y cortes con los ejes.
ii) Estudiar si existen asíntotas verticales y calcular los límites laterales.
iii) Estudiar si existen asíntotas horizontales u oblicuas y calcularlas.
iv) Intervalos de crecimiento y decrecimiento. Extremos.
v) Representación gráfica aproximada.
17. [2010] [EXT-B] Definición de derivada de una función en un punto. Demostrar que la derivada de la función f(x)=x2 es f'(x)=2x.
18. [2010] [JUN-A] Dada la función f (x) = 4+x2, se pide:
i) Dominio y cortes con los ejes.
ii) Estudio de simetrías y de regiones para el signo de f(x).
iii) Estudiar si existen asíntotas horizontales u oblicuas.
iv) Intervalos de crecimiento y decrecimiento. Extremos.
v) Representación gráfica aproximada.
19. [2010] [JUN-B] La vela mayor de un barco tiene forma de triángulo rectángulo. Sabiendo que la hipotenusa debe medir 6 metros,
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calcular sus dimensiones para que la superficie de la vela sea máxima.
20. [2009] [EXT] Dada la función f(x) = x-5
1-x
, se pide:
i) Dominio y corte con el eje X.
ii) Asíntotas verticales (calculando límites laterales).
iii) Asíntotas horizontales y oblicuas.
iv) Intervalos de crecimiento y decrecimiento. Extremos.
v) Representación gráfica aproximada.
21. [2009] [EXT] Calcule las dimensiones de un cristal de forma cilíndrica cuyo volumen es igual a 250 centímetros cúbicos para que
la superficie de cristal sea mínima (Indicación: V = r2h).
22. [2009] [JUN] Dada la función f(x) = x3-4x2+4x, se pide:
i) Dominio y corte con el eje X.
ii) Estudio de regiones para el signo de f(x).
iii) Límites en + y - y estudiar si existen asíntotas horizontales y oblicuas.
iv) Intervalos de crecimiento y decrecimiento. Extremos.
v) Representación gráfica aproximada.
23. [2009] [JUN] La longitud de la barra de un bar de forma rectangular y apoyada en la pared vale L = 2x+y. Calcular las
dimensiones de x e y para que la longitud de la barra sea mínima sabiendo que el área encerrada por la barra debe ser de 18
metros cuadrados.
24. [2008] [EXT] Dada la función f(x) = x
2
4-x
, se pide:
i) Dominio y corte con el eje X.
ii) Asíntotas verticales (calculando los límites laterales).
iii) Asíntotas horizontales y oblicuas.
iv) Intervalos de crecimiento y de decrecimiento. Extremos.
v) Representación gráfica aproximada.
25. [2008] [EXT] Se quiere construir una caja (sin tapadera) de base cuadrada y con un volumen de 250 cm3. Calcule las dimensiones
de la base y la altura de la caja para que su superficie sea mínima.
26. [2008] [JUN] Dada la función f(x) = 1- 3x
x2-4
, se pide:
i) Dominio y corte con el eje X.
ii) Asíntotas verticales (calculando los límites laterales).
iii) Asíntotas horizontales y oblicuas.
iv) Intervalos de crecimiento y de decrecimiento. Extremos.
v) Representación gráfica aproximada.
27. [2008] [JUN-B] En un triángulo isosceles de base 12 cm (correspondiente al lado desigual) y altura 10 cm, se inscribe un
rectángulo de forma que uno de sus lados está sobre la base del triángulo y dos de sus vértices sobre los lados desiguales del
triángulo. Calcular las dimensiones (base y altura) del rectángulo para que su área sea máxima.
28. [2007] [EXT] Dada la función f(x) = x
3
1-x2
, se pide:
i) Dominio y corte con el eje X.
ii) Puntos de discontinuidad, tipos de discontinuidad y asíntotas verticales (calculando los límites laterales).
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iii) Asíntotas horizontales y oblicuas.
iv) Intervalos de crecimiento y decrecimiento. Extremos.
v) Representación gráfica aproximada, teniendo en cuenta los resultados de los apartados anteriores.
29. [2007] [EXT] Una cartulina tiene forma rectangular con 30 cm de base y 20 cm de altura. Se quiere construir un cajón (sin
tapadera) con la forma resultante tras cortarcuatro cuadrados de lado x en cada esquina de la cartulina. Calcule x para que el
volumen del cajón resultante sea máximo. Calcule dicho volumen.
30. [2007] [JUN] Dada la función f(x) = x
2(1-x)
x2-1
, se pide:
i) Dominio y corte con el eje X.
ii) Puntos de discontinuidad, tipos de discontinuidad y asíntotas verticales (calculando los límites laterales).
iii) Asíntotas horizontales y oblicuas.
iv) Intervalor de crecimiento y de decrecimiento. Extremos.
v) Representación gráfica aproximada, teniendo en cuenta los resultados de los apartados anteriores.
31. [2007] [JUN] De todos los cilindros de volumen 1/3 calcular las dimensiones del que tiene menor superficie. (Indicación: La
superficie está formada por dos círculos de radio r y un rectángulo de altura h y el volumen del cilindro es V=r2h).
32. [2006] [EXT] i) Definición de función continua en un punto.
ii) Estudie la continuidad de la función f(x) = x
2-1
x2+3x+2
 y clasifique según los distintos tipos de discontinuidad.
iii) Estudie si tiene asíntotas horizontales o verticales.
33. [2006] [EXT] i) Interpretación geométrica de la derivada de una función en un punto.
ii) Calcule la recta tangente a la curva f(x) = ln x2 en el punto x = 2.
iii) Calcule el punto de corte de dicha recta con el eje Y.
34. [2006] [JUN] Dada la función f(x) = x
x2-1
, se pide:
i) Dominio de definición y corte con los ejes.
ii) Intervalos en los que es positiva y en los que es negativa.
iii) Asíntotas.
iv) Intervalos de crecimiento y de decrecimiento.
v) Representación aproximada.
35. [2006] [JUN] Construir un triángulo rectángulo de perímetro 3 con área máxima.
36. [2005] [EXT] La curva de ecaución y = x3+ax2+bx+c pasa por los punto (1,0) y (0,-1) y tiene un mínimo para x = 2. Se pide:
(a) Encontrar a, b y c.
(b) Representar de forma aproximada dicha curva.
37. [2005] [EXT] De entre todos las rectángulos de diagonal 6 2, encontrar las dimensiones del de perímetro máximo.
38. [2005] [JUN] Se considera la curva definida por la función y = x
3
x2+1
. Se pide:
a) Dominio de definición, cortes a los ejes y simetrías.
b) Asíntotas.
c) Intervalos de crecimiento de la función. ¿Tiene extremos la función?
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d) Representación aproximada de la curva.
e) ¿Cuál será la gráfica de la curva y = x
3
x2+1
 +1?
39. [2005] [JUN] De entre todos los números reales positivos x,y tales que x+y = 10, encontrar aquellos para los que el producto
p = x2y es máximo.
40. [2004] [EXT] a) Definición de derivada de una función en un punto.
b) Encontrar, usando la definición, la derivada de la función f(x) = x
x2+1
 en el punto x0 = 2.
c) Encontrar la tangente a la curva y = x
x2+1
 en el punto 2,2
5
.
41. [2004] [EXT] De entre todos los rectángulos cuya diagonal mide 10 m, encontrar las dimensiones del de área máxima.
42. [2004] [JUN] De la curva de ecuación y = x
2-1
x2+2
 se pide:
a) Dominio de definición y cortes a los ejes.
b) Simetrías.
c) Asíntotas.
d) Posibles extremos de la función que define la curva.
e) Con los anteriores datos obtener una representación gráfica aproximada de la curva.
43. [2004] [JUN] Se dispone de un hilo matélico de longitud 140 m. Se quiere dividir dicho hilo en tres trozos de forma que uno de
ellos tenga longitud doble de otro y tal que al construir con cada uno de ellos un cuadrado, la suma de las áreas de los tres
cuadrados sea mínima. Encontrar la longitud de cada trozo.
44. [2003] [EXT] a) Si f es una función derivable en x = a y f'(a) = 0, ¿es seguro que f representa a un extremo relativo? Justifique
la respuesta.
b) Determine dos números no negativos cuya suma sea 100 y tales que la suma de sus cuadrados sea:
i) Mínima.
ii) Máxima.
45. [2003] [EXT] a) Definición de derivada de una función en un punto.
b) Interpretación geométrica de la derivada.
c) Encuentre las ecuaciones de las tangentes a la curva y = x3-3x+2 que son paralelas a la recta y = 9x.
46. [2003] [JUN] Para la fabricación de determinado producto se necesita invertir dinero en contratar empleados y comprar
máquinas. El dueño de la fábrica ha estimado que si compra x máquinas y contrata y empleados, el número de unidades deproducto
que podría fabricar vendría dado por la función f(x,y) = 90xy2. Cada máquina le supone una inversión de 2500 euros ycada
contrato de un nuevo empleado otra de 1500 euros. Si el empresario solo dispone de un presupuesto de 22500 euros paraeste fin,
determine el número de obreros que debe contratar y el número de máquinas que debe comprar para maximizar la producción.
47. [2003] [JUN] Se considera la curva definida por la función f(x) = x
2
x2-4
. Se pide:
a) Dominio de definición y cortes con los ejes.
b) Simetrías.
c) Asíntotas.
d) Intervalos de crecimiento y decrecimiento.
e) Extremos de la función.
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f) Hacer una representación aproximada de la curva.
 Soluciones
9. -2, -3 10. 0, -3 11. a) D: (-,-3][3,+); (-3,0), (3,0) b) y = -1, y = 1 c) crec: (-,-3)(3,9); max: 9 d) 
1 2 3 4 5 6-1-3-5
1
-2
X
Y
 12. a) (1,3), (3,-3) b) si 13. a) y
= -2x+2 b) (1,0), (-2,6) 14. a) x = 0; -, + b) y = -1, y = 1 15. 90º; 12 16. i) -{-2,2}; (-1,0), 0, 1
4
 ii) x = -2; x = 2 iii) creciente; sin extremos iv) 
1 2 3-1-3
1
3
-2
X
Y
18. i) ; (0,2) ii) eje OY; positiva iii) y = x; y = -x iv) crec: (0,+) v) 
1 2 3-1
1
3
X
Y
 19. 18, 18,6 20. i) D: - {1}; (5,0) ii) x = 1 iii) y = -1 iv) dec: (-,1)(1,-+)
v) 
1 2 3 4-1
1
-2
X
Y
 21. radio y altura de 4'3 cm 22. i) ; (0,0), (2,0) ii) positivo: (0,2)(2,+) iii) +, -; no iv) crec: -,2
3
(2,+); max: 2
3
; min: 2 v)
1 2 3
1
2
-1
-2
X
Y
 23. 3, 6 24. i) -{4}; (0,0) ii) x=4 iii) y = -x-4 iv) crec: (0,4)(4,8); min: 0; max: 8 v) 
8 16-8
8
-16
X
Y
 25. base: 7,94 cm; altura: 3,97 cm 26. i)
-{-2,2} ; (-1,0), (4,0) ii) x = 2; x = -2 iii) y = 1 iv) creciente en  v) 
1 2 3 4-1-3
1
3
-2
X
Y
 27. base: 6; altura: 5 28. Dominio: -{-1,1}. Cortes: 0,0 . Discontinuida
infinita en {-1,1}. Asíntotas: x = -1, x = 1, y = -x. Creciente: - 3, 3 . Máximo: 3. Mínimo: - 3. Gráfica: 
1 3-1-3
1
3
-3
X
Y
 29. 3,92 cm; 1056,3 cm3 30. Dominio:
-{-1,1}. Cortes: 0,0 , 1,0 . Discontinuida: Infinita en x = -1, evitable en x = 1. Asíntotas: x = -1, y = -x+1. Creciente: -2,0 . Máximos: 0,0 . Mínimos: -2,4 . Gráfica:
1 3 5-1-3
1
3
5
-3
X
Y
 31. r: 0,376; h: 0,75 32. ii) Disc: x = -2: infinita; x = -1: evitable iii) x = -2, y = 1 33. ii) y = x-2+ln4 iii) 0,ln4-2 34. i) -{-1,1}; 0,0 ii) Positiva:
-1,0  1,+ iii) x = 1, x = -1, y = 0 iv) Decrec. en  v) 
1 2-1-2
1
2
-2
X
Y
 35. catetos: 6-3 2
2
 36. (a) -4, 4, -1 (b) 1 2 3
1
-1
-2
X
Y
 37. Cuadrado de lado 6. 38. a)
, (0,0), simétrica respecto al origen b) A. oblicua: y = x c) Creciente en . Sin extremos d) 
1-1
-1
X
Y
 e) 
1 2-1-2
1
2
-1
X
Y
 39. 20
3
, 10
3
 40. b) -3
25
 c)
3x+25y-16 = 0 41. cuadrado de 5 2m de lado 42. a) ; (-1,0),(1,0), 0,-1
2
 b) OY c) y=1 d) min: 0,-1
2
 e) 
1 2-1-2
1
-1
X
Y
 43. 30, 50, 60 44. a) no b) 50, 50 ;
0, 100 45. c) y = 9x+18; y = 9x-14 46. 3 máquinas y 10 trabajadores. 47. a) -{-2,2} ; (0,0) b) eje OY c) y = 0; x = -2; x = 2 d) crec: (0,+) e) max: (0,0) f)
2-2
2
-2
X
Y
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