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Colecciones de ejercicios
Integrales
Selectividad CCNN Castilla-La Mancha
1. [2014] [EXT-A] a) Esboza la región encerrada entre las gráficas de las funciones f(x) = senx, g(x) = -senx, y las rectas x = /2 y
x = 3/2.
b) Calcula el área de la región anterior.
2. [2014] [EXT-B] Calcula las integrales: e
x
ex - e-x
dx, 2
4+x2
dx
Nota: En la primera integral puede ayudarte hacer el cambio de variable t = ex.
3. [2014] [JUN-A] Calcula la integral definida 
1
x2+x+1 e-xdx
0
4. [2014] [JUN-B] Para cada c  2 definimos A(c) como el área de la región encerrada entre la gráfica de f(x) = 1+x
2
x4
, el eje de
abscisas y las rectas x = 1 y x = c.
a) Calcula A(c).
b) Calcula lim
c+
A(c).
5. [2013] [EXT-A] Calcula las siguientes integrales:
1 + x + x
x2
dx , e
x
e2x - 3ex + 2
dx
Observación: El cambio de variable t = ex puede ayudarte a calcular la segunda integral.
6. [2013] [EXT-B] a) Esboza la región encerrada entre las gráficas de las funciones f(x) = 1/x y g(x) = -2x+3.
b) Calcula el área de la región anterior.
7. [2013] [JUN-A] Calcula el valor del parámetro a, a > 0, para que el valor (en unidades de superficie) del área de la región
limitada por la parábola f(x) = -x2+a2 y el eje de abscisas, coincida con la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f(x) en
el punto de abscisa x = -a.
8. [2013] [JUN-B] Calcula las siguientes integrales:
2senx cosx
1+sen2x
dx x
2+x-4
x3-4x
dx
9. [2012] [EXT-A] Calcula las siguientes integrales: sen2x cosx dx ; 
e x
x
dx.
10. [2012] [EXT-B] Calcula el área encerrada entre las gráficas de las funciones f(x) = x3-3x2+2x+1 y g(x) = 1.
11. [2012] [JUN-A] a) Esboza la región encerrada entre la parábola f(x) = x2-1 y la recta g(x) = 5-x.
b) Calcula el área de la región anterior.
12. [2012] [JUN-B] Calcula las integrales: I1 = 
1
4+9x2
dx e I2 = tagx+ 
1
tagx
dx.
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13. [2011] [EXT-A] Calcula la integral x
2-3x+1
x3-5x2+8x-4
dx.
14. [2011] [EXT-B] Sean las funciones f(x) = x2 y g(x) = a, con a, a > 0. Calacula el valor del parámetro a para que el área
encerrada por la gráficas de f(x) y g(x) sea 32
3
.
15. [2011] [JUN-A] Calcula las siguientes integrales:
1. cos(2x)+senx·cosx dx 2. x
3-1
x+2
dx
16. [2011] [JUN-B] a) Representa gráficamenete la región del primer cuadrante limitada por las gráficas de las funciones f(x) = 1
x
 y
g(x) = 1
x2
, y la recta y = 2.
b) Calcula el área de dicha región.
17. [2010] [EXT-A] a) Determina el dominio de la función f(x) = 2x+1.
b) Calcula la integral definida: 
0
f(x)dx
-1/2
.
18. [2010] [EXT-B] a) Enuncia la formula de integración por partes.
b) Calcula la integral indenida: xLnxdx.
Nota: Ln x representa el logaritmo neperiano de x.
19. [2010] [JUN-A] a) Representa gráficamente las parabolas f(x) = x2-3x-1 y g(x) = -x2+x+5.
b) Calcula el área del recinto limitado por ambas gráficas.
20. [2010] [JUN-B] Calcula la integral indenida: cosx
1+sen2x
dx. (Nota: Puedes probar el cambio de variable y = sen x)
21. [2009] [EXT] Calcula las integrales: a) tan(x)dx; b) 1+tan2(x) dx; c) arctan(x)dx.
22. [2009] [EXT] a) Estudia la continuidad y derivabilidad de la función f(x) = x
2+4x+3 si x < -1
1-x2 si x  -1
.
b) Determina el área encerrada por la gráfica de la función f(x) y el eje de abscisas.
23. [2009] [JUN] Encuentra una primitiva de la función f(x) = x+36
4+9x2
.
24. [2009] [JUN] Calcula la integral definida 
4
x+e x
x
dx
1
 (puede ayudarte hacer un cambio de variable).
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25. [2008] [EXT] De la función f(x) = (x+a)sen(x), donde a es un número real, se sabe que la integral definida 

f(x)dx
0
 es tres veces
el valor de la pendiente de la recta tangente a f(x) en x = 0. Calcula el valor de a.
26. [2008] [EXT] Definición de primitiva de una función. Sabiendo que F(x) = ex2 es una primitiva de la función f(x):
a) Comprueba que f(x) es una función creciente en .
b) Calcula el área determinada por la gráfica de f(x), el eje de abscisas, y las rectas x = -1, x = 1.
27. [2008] [JUN] Calcula la integral 2x
3-9x2+7x
x2-x
dx
28. [2008] [JUN] Calcula la integral definida 

exsen(x)dx
0
29. [2007] [EXT] Calcula la siguiente integral: x
(x+1)3
dx.
30. [2007] [EXT] Esboza las gráficas de las parábolas f(x) = 2x2 y g(x) = -x2+3, sombreando el recinto cerrado que determinan.
Calcula el área de dicho recinto.
31. [2007] [JUN] Calcula la siguienbte integral: 2
1+ x
dx.
(Indicación: Puede ayudarte realizar un cambio de variable adecuado).
32. [2007] [JUN] Dadas las funciones f(x) = 1
x
 y g(x) = -x+5
2
, se pide:
a) Esboza sus gráficas y sombrea el recinto encerrado entre ellas.
b) Calcula el área de dicho recinto.
33. [2006] [EXT] Calcula la siguiente integral: x
3+1
x2+4
dx.
34. [2006] [EXT] Dibuja aproximadamente las gráficas de las funciones f(x) = x2-3 y g(x) = 2x, y sombrea el área que queda
encerrada entre ellas.Calcula el valor de dicha área.
35. [2006] [JUN] Calcular la integral indefinida x+2
x2-2x+1
dx.
36. [2006] [JUN] Dadas las funciones f(x) = x2-1 y g(x) = 1-x:
a) Esboza el recinto encerrado entre sus gráficas.
b) Calcula el área de dicho recinto.
37. [2005] [EXT] Calcula la primitiva de x+ x
x2
dx
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38. [2005] [JUN] Determina f(x) sabiendo que f'''(x) = 24x, f''(0) = 2, f'(0) = 1 y f(0) = 0.
39. [2004] [EXT] Considera la función f(x) = -x4+4x3. Calcula:
a) Puntos de corte con los ejes.
b) Máximos y mínimos.
c) Puntos de inflexión.
d) Halla el área de la región encerrada por la gráfica y el eje X.
40. [2004] [EXT] Considera la función f(x) = x
3 si x < 1
-x2+2x si x  1
a) Haz un dibujo aproximado de su gráfica.
b) Calcula el área encerrada por la gráfica y el eje X.
41. [2004] [JUN] La curva y = 2x2 divide al cuadro de vértices A(0,0), B(1,0), C(1,1), D(0,1) en dos recintos.
a) Dibuja dichos recintos.
b) Halla el área de cada uno de ellos.
42. [2003] [EXT] Calcula la siguiente integral: 
e3
L x
x
dx
e
(L = logaritmo neperiano).
43. [2003] [JUN] Dada la curva y = x2-4x y la recta y = 3x-6:
a) Dibuja la gráfica de ambas.
b) Señala el recinto plano comprendido entre ellas.
c) Calcula el área del recinto señalado.
 Soluciones
9. sen
3x
3
 +c; 2e x+c 10. 1
2
 11. a) b) 125
6
 12. 1
6
arctg3x
2
+c ; ln|tgx|+c 13. 2ln|x-2|-ln|x-1|+ 1
x-2
+c 14. 4 15.1. 1
2
sen2x+ 1
2
sen2x+c 15.2. x
3
3
-x2+4x-9ln|x+2|+c 16. a) 
1 2 3
1
-1
X
Y
 b) 2 2-2-ln2 17. a) -1
2
,+ b) 1
3
 18. b) x
2
2
lnx- x
2
4
 +c 19. a) 
2 4 6-2
2
4
-4
X
Y
 b) 64
3
 20. arctgsenx+c 21. a)
-ln|cosx|+c b) tanx+c c) x·arctanx- 1
2
ln 1+x2 +c 22. a) cont. y der. en  b) 8
3
 23. 1
18
ln 4+9x2 +6arctg3x
2
 24. 3+2e2-2e 25.  26. b) 2e-2 27. x2-7x+c 28.
e+1
2
 29. - 1
x+1
+ 1
2(x+1)2
+c 30. 4 31. 4 x-4ln x+1 +c 32. a) b) 15
8
-ln4 33. x
2
2
-2ln x2+4 + 1
2
arctgx
2
+c 34. 32
3
35. ln|x-1|- 3
x-1
+c 36. a) b) 9
2
 37. xlnx-x-4 x+cx+d 38. f(x) = x4+x2+x 39. a) (0,0), (4,0) b) Máximo en (3,27) c) (0,0), (2,16) d) 256
5
 40. a)
1 2-1
1
-1
X
Y
 b) 11
12
 41. a) b) 2
3
, 3- 2
3
 42. 7
2
 43. 
3 6 9 15-3
3
9
X
Y
 125
6
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