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Colecciones de ejercicios
Integrales
Selectividad CCNN La Rioja
1. [2014] [EXT] Sean g y h las funciones tales que g(0) = 1, g'(x) = cos x2 , h(x) = g(x) 2, - < x <.
i) Halla el valor de h'(0).
ii) Calcula x cos x2 dx.
2. [2014] [JUN] Sea f(x) = 
1-x
1- x
i) Calcula, si existe, lim
x1
f(x).
ii) Halla f(x)dx
3. [2013] [EXT] Calcula una primitiva de la función f'(x) = 1
1-x2
 de modo que f(2) = lim
x0
ln x2+1
x
.
4. [2013] [JUN-A] Enuncia el teorema del valor medio de Lagrange.
Para la función xsenx si x  
acosx+b si x > 
i) Estudia la derivabilidad de f(x) en función de a y b; expresa la función derivada f'(x) donde exista.
ii) Calcula el área que determina la función f(x) en el intervcalo [0,].
5. [2012] [EXT] Calcula el área de la región limitada por la función f(x) = lnx, la recta tangente a f(x) en x = e y el eje de abscisas.
6. [2012] [JUN] Sea f(x) una función positiva en el interalo [1,5], así f(x)  0 para 1  x  5. Si el área limitada por f(x), el eje de
abscisas (eje x) y las rectas x = 1 y x = 5 es igual a 6, calcula el área del recinto limitado por la función G(x) = f(x)+2 y las
mismas rectas.
7. [2011] [EXT] Dibuja la dos curvas y = x3-1, y = -x2+x. Halla el área comprendida entre ellas.
8. [2011] [JUN] Halla la función f(x) que pasa por el punto (0,1) y tal que f'(x) = x2-4 ex.
9. [2010] [EXT] Dibuja las curvas y = x3-1, y = -x2+x. Halla el área comprendida entre ambas.
10. [2010] [JUN] Calcula 2x
x2+5
dx
11. [2009] [EXT] Hallad todos los valores de a para los que se cumple 
a
8
x3
dx = 3
1
.
12. [2009] [JUN] Calculad la función f tal que f'(x) = x
1+x4
, f(1) = 0.
13. [2009] [JUN] Dada la función f(x) = ax3+bx2+c, determinad a, b, c para que se cumpla que la función tenga un mínimo en el punto
(2,-3) y que 
2
f(x)dx = -2
0
.
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14. [2008] [EXT] Dada la función f(x) = ax2+bx+c, determinad a, b y c para que se cumpla que f(0) = f(-1) = 1, 
0
f(x)dx = 2
-1
.
15. [2008] [EXT] Buscad una función, que llamamos f(x), que pase por el punto (1,3) y cuya derivada sea la función xlnx.
Calculad el dominio de f(x) y lim
x+
f(x).
16. [2008] [JUN] Hallad 
3
2x3
x2+1
dx
0
.
17. [2007] [EXT] Halla una primitiva de la integral x
2
1-x3
dx que se anule en x = 0.
18. [2007] [EXT] Halla el área limitada por la curva y = xe-x2, el eje de abscisas, y la recta x = a, siendo a la abscisa del punto máximo
de la curva.
19. [2007] [JUN] Calcula 1+x
1+ x
dx.
20. [2007] [JUN] Calcula el área limitada por la curva y = x+1, la recta y = 0 y la recta x = 1. Previamente haz un esquema del
recinto cuya área hay que calcular.
21. [2006] [EXT] Calcula 16-x2dx (expresa el resultado final en función de la varible x).
22. [2006] [EXT] Dibuja la figura comprendida entre las funciones f(x) = cos(x) y g(x) = 2x

+1 y calcula su área (nota: el cosena está
dado en radianes).
23. [2006] [JUN] Sea a un número positivo menor que 4. Calcula 
a
1
x3-4x2-25x+100
dx
-a
24. [2005] [EXT] Calcula 
2
x·|x|dx
1
25. [2005] [EXT] Evalúa el área comprendida entre las funciones f(x) = x
x+1
 y g(x) = - 1
x+1
 y las rectas de ecuaciones x = -2 y x = -3.
Representa gráficamente lo que estás calculando.
26. [2005] [JUN] Sea la función F(x) = 
x
sen(t)
t
dt
1
 definida para x  0. Halla sus máximos y mínimos relativos.
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27. [2005] [JUN] Evalúa el área comprendida entre las funciones f(x) = 2x2-1 y g(x) = x.
Representa gráficamente lo que estás calculando.
28. [2004] [EXT] Dibuja la figura limitada por la curva y = x
2
4
 +1 y la recta y = x+3. Calcula el área de dicha figura.
29. [2004] [EXT] Dados a y b dos números reales, calcula la integral indefinida sen x
(a+bcosx)2
dx.
Preta atención a las posibilidades de a = 0 ó b = 0.
30. [2004] [JUN] Calcula la integral indefinida dx
(x-1)2
.
31. [2003] [EXT] Calcula la integral indefinida 
x+4
1-x2
dx
32. [2003] [EXT] a) Representa gráficamente la curva y = x
x2+4
. Para ello calcula asíntotas, puntos críticos e intervalos de
crecimiento.
b) Calcula el área del recinto limitado por la curva anterior y las rectas x = a y x = b, donde a y b son las abscisas de los puntos
donde la curva alcanza su mínimo y máximo.
33. [2003] [JUN] Halla una función f(x) que verifique x4f'(x)+x3+2x = 3, para x  0.
34. [2003] [JUN] Hallar el área del recinto limitado por la curva y = x2lnx, el eje OX y la recta tangente a la curva en el punto e,e2 .
35. [2003] [JUN] Dada la función f:  definida por f(x) = 
x2 si x < 0
ax+b si 0  x < 1
2 si 1  x
 , se pide:
a) Hallar a y b para que la función sea continua.
b) Estudiar la derivabilidad de la función resultante.
c) Calcular el área del recinto limitado por la recta y = 1 y la gráfica de la función f(x).
 Soluciones
5. e-2
2
 6. 14 7. 
1 2-1
-1
-2
-3
XY
 4
3
 8. x2-2x-2 ex+3 9. 1 2-1
1
-2
-3
X
Y
 4
3
 10. ln x25+ +c 11. 2 12. 1
2
arc tg x2- 
8
 13. 1, -3, 1 14. -6, -6, 1 15.
f(x) = x
2(2lnx-1)+13
4
 ; (0,+) ; + 16. 8
3
 17. F(x) = -2
3
1-x3+2
3
 18. e- e
2e
 19. 2x 2
3
 -4+4 x-4ln x+1 +c 20. 2 21. 8arcsenx
4
+x
2
16-x2+c 22.
1-1-2-3-4
1
-1
X
Y
 2- 
2
 23. 4
45
ln5-a
5+a
 - 1
9
ln4-a
4+a
 24. 7
3
 25. 1 26. Max: x = (2n+1), nN; Min: x = 2n, nN 27. 9
8
 
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28. 
2 4 6 8-2
2
6
X
Y
 8 3 29. b=0: -cosx
a2
 +c ; b0: -1
a+bcosx
 +c 30. -1
x-1
 +c 31. - 1-x2+4arcsenx+c 32. a) 1 2 3-1-2-3
1
-1
X
Y
 b) ln2 33. f(x) = -ln|x|+ 1
x2
- 1
x3
 +c 34. e
3+2
18
 35. a) 2, 0 b) -{0,1} c) 11
12
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