Tema 06 - Identidades trigonométricas del arco simple

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21UNI SEMESTRAL 2013 - III TRIGONOMETRÍA TEMA 6
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
DEL ARCO SIMPLE
TRIGONOMETRÍA
I. IGUALDAD
Dos expresiones serán iguales en los reales   si para
cualquier valor real asignado a sus variables; los valores
numéricos de estas expresiones son también iguales;
dentro de estas igualdades encontramos las ecuaciones
y las identidades; es decir:
    E x P x
 x   
    VN E VN P 
II. ECUACIÓN
Es una igualdad que se verifica para cierto número de
valores asignados a la variable; valores que reciben el
nombre de soluciones de la ecuación.
2x 3 5  ; se cumple para x 1
 Ecuaciones 22x –1 7 ; se cumple para x 2 
2 x –1 5 ; se cumple para x 3 
 Solución de
 la ecuación
III. IDENTIDAD
Es una igualdad que se verifica para todo valor real ()
asignado a la variable.
    2x – 4 x 2 x – 2  ; se cumple x  
 Identidades  2 2x 2 x 4x 4    , se cumple x  
    3 2x –1 x –1 x x 1   , se cumple x  
Observación
Hay expresiones como las trigonométricas en las cuales
las variables no se encuentran libres sino que se en-
cuentran en el ángulo, es decir, que las variables se
encuentran afectadas de algún operador, razón por la
cual no se le puede asignar un valor real cualquiera ya
que podría dejar de existir la expresión, surgiendo así el
concepto de valor admisible o permitido para una
variable.
IV. VALOR ADMISIBLE (VA)
Para una expresión, se llama valor admisible de su va-
riable a aquel valor asignado a ésta, para el cual la ex-
presión está definida en los reales ().
 Ejemplo:   x 1E x
x
 , para x = 1;  E 1 2  
x 1 es un "VA" para E(x).
 Ejemplo:  E x tan x , para x
4

 ;  E 14   
 x 4
 es un "VA" para E(x).
 Ejemplo:   2x 3E X
x – 2

 , para x 2 ;   7E 2
0
 (No existe)
X 2 ; No es "VA" para E(x).
 Ejemplo: 1 senxE(X)
cos x

 , para x
2

 ; 2E
2 0
 
 
 
(No existe)
 x 2

 ; NO ES "VA" PARA E(x).
V. CAMPO DE VALORES ADMISIBLES (CVA)
Para una expresión, el campo de valores admisibles de
una variable (CVA), es el conjunto formado por todos
los valores admisibles de dicha variable; es decir:
 CVA para    VALORESDE " X "E x / " x " es un VA para E(x)
Ejemplo: 2x 1E(x)
x – 1
  E x x 1  
  CVA x / x – 1   
DESARROLLO DEL TEMA
22UNI SEMESTRAL 2013 - III TRIGONOMETRÍA
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS DE ARCO SIMPLE
TEMA 6
Exigimos más!
Ejemplo:  E(x) x – 2 E x x 2    
 CVA x / x 2;   
Ejemplo:
 4E(x)
Senx
  E x Senx 0 x k ; k       
  CVA x / x – k   
Ejemplo:
 
3
E(x)
Cosx–1
  E X Cosx 1 x 2k ; k       
  CVA x / x – 2k   
VI. IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
Es una igualdad establecida entre expresiones que
involucran razones trigonométricas de una o más va-
riables, las cuales se verifican para todo valor admisible
de dichas variables.
Ejemplo: La igualdad: 2 2Sen x Cos x 1  , se verifica
para cualquier valor real que le asignemos a la variable
x; por consiguiente:
2 2Sen x Cos x 1  es una identidad x  
Ejemplo: La igualdad: 
Sen x
Tan x
Cos x
 , no está definida
para:  3 5x ... , , , ...2 2 2   es decir para  x 2k 1 2    ;
k luego la igualdad se verifica para cualquier valor
que le asignemos a la variable x, tal que: x (2k 1)
2
  ;
k  . Por consiguiente: Sen xTan x
Cos x
 es una iden-
tidad   x – 2k 1 2   .
Ejemplo: La igualdad 1Cscx
Senx
 , no está definida
para:  x .., 0, ,2 ,..   es decir para  x k  ; k,
luego la igualdad se verifica para cualquier valor que le asig-
nemos a la variable x, tal que  x k ;k   ; por consi-
guiente: 1Csc x
Sen x
 es una identidad  x – k  
VII.IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
FUNDAMENTALES
Se denomina a las igualdades obtenidas al relacionar
las líneas trigonométricas de un mismo arco en la cir-
cunferencia trigonométrica (C.T.)
– En la figura se observa:
 OBM  OPT PT BM cot  
 OAN  OPS PS AN tan  
  P cos ;sen C.T.    Debe cumplir la ecuación:
 x y 2 2x y 1 
 Reemplazamos: 
x Cos
y Sen
 

 
 2 2Sen Cos 1 
    P Cos ;Sen Lf     Las "rt   " se obtienen
 utilizando: x Cos  ; y Sen  y r = 1.
 
r 1
Csc
y Sen
  
 
 
r 1
Sec
x Cos
  

 
y Sen
Tan
x Cos

  
 
 
x Cos
Cot
y Sen

  

 OPS (teorema de Pitágoras)
      2 2 2OP PS OS  2 21 Tan Sec   
 OPT (teorema de Pitágoras)
      2 2 2OP PT OT  2 21 Cot Csc   
A. Clasificación de las identidades fundamentales
1. Identidades pitagóricas
2 2Sen x Cos x 1  x  
23UNI SEMESTRAL 2013 - III TRIGONOMETRÍA TEMA 6
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS DE ARCO SIMPLE
Exigimos más!
Problema 1
Si: 3 –1Senx – Cosx
2
 entonces el va-
lor de M = Senx + Cosx es:
UNI 2008 - II
Nivel fácil
A) 3 2
2
 B) 
2 3
3

C)
3 2
3

D) 
2 3
2

E)
3 2
2

Resolución:
Nos piden M = senx + cosx
Y como 3 1sen x cos x
2
 
Por las identidades de Legendré:
2 2 2 2(a b) (a b) 2(a b )    
2 2
2
2
(sen x cos x) (sen x cos x) 2
3 1M 2
2
   
    
 

2 2 3M
2

2 3M
2

 
Respuesta: D) 
2 3
2

Problema 2
Halle la suma de las soluciones positivas
menores de 2 de la siguiente ecua-
ción: 22Tan x Sec x 1 0  
UNI 2006 - II
Nivel intermedio
A)
4

B) 3

C) 2

D) 
E) 2
2 21 Tan x Sec x   x – 2k 1 ; k
2
 
    
 
 
2 21 Cot x Csc x   x – k ; k    
2. Identidades recíprocas
Senx Csc x 1  x – k ; k    
Cos x .Sec x 1  x – 2k 1 ; k2
 
    
 
 
Tan x .Cot x 1 x – k ; k2
 
   
 
 
3. Identidades de división
Senx
Tanx
Cos x
  x – 2k 1 ; k2
 
    
 
 
Cos x
Cot x
Senx
  x – k ; k    
VIII.IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
AUXILIARES
Aparte de las identidades trigonométricas fundamen-
tales, hay aquellas igualdades que aparecen frecuen-
temente en la resolución de problemas y su conoci-
miento sería de mucha utilidad para facilitar la resolu-
ción de estos problemas; estas igualdades son de sim-
ple verificación y en muchos casos son consecuencia
directa de operaciones algebraicas elementales; den-
tro de estas tenemos:
• 4 4 2 2Sen x Cos x 1 – 2Sen x Cos x 
• 6 6 2 2Sen x Cos x 1 – 3Sen x .Cos x 
• Tan x Cot x Sec x.Csc x 
• 2 2 2 2Sec x Csc x Sec x.Csc x 
• 4 4 2 2Sen x – Cos x Sen x – Cos x
• 4 4 2 2Sec x – Tan x Sec x Tan x 
• 4 4 2 2Csc x – Cot x Csc x Cot x 
•  2Senx Cos x 1 2Sen x Cos x  
•     21 Senx Cos x 2 1 Sen x 1 Cos x    
• De:    2 2Sen x 1–Cos x 1 Cos x 1–Cos x  
 
Sen x 1 Cos x Sen x 1 – Cos x
1 – Cos x Senx 1 Cos x Sen x

 

 x k; k    
• De:    2 2Cos x=1–Sen x= 1+Senx 1– Senx
 
Cos x 1 Sen x Cos x 1 – Sen x
1 – Senx Cos x 1 Sen x Cos x

 

  x 2k 1 ;k2

    
• Si: 2 2a Senx bCosx a b  
 
2 2 2 2
a b
Senx Cos x
a b a b
 
 
problemas resueltos
24UNI SEMESTRAL 2013 - III TRIGONOMETRÍA
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS DE ARCO SIMPLE
TEMA 6
Exigimos más!
Resolución:
22Tg x Sec x 1 0  
Conocemos: 2 2Tg x Sec x 1 
Reemplazando:
22(Sec x 1) Sec(x 1) 0   
22Sec x Sec x 1 0  
(2Sec x 1)(Sec x 1) 0  
1Sec x Secx 1
2
   
Secx 1 
x  
Respuesta: D) 
Problema 3
En la figura mostrada 5BC = 9AD, cal-
cule:
Sen Sec4 Cos3E
Cos3
   

UNI 2008 - II
Nivel difícil
A) 
12
9 B) 
13
9 C) 
14
9
D) 
15
9 E) 
16
9
Resolución:
Nos piden:
Sen .Sec4 Cos3 SenE 1...(i)
Cos3 Cos4 .Cos3
     
  
Debemos recordar:
a) Aplicación de fórmula o teorema:
 
Sen(x y)Tanx Tany
Cosx .Cosy
 
b) Solución del problema
 Como: 5BC = 9AD
Del gráfico:
9Tan4 5 9Tan3 9(Tan4 Tan3 ) 5       
Sen Sen 59 5 ...(ii)
Cos4 .Cos3 Cos4 .Cos3 9
   
   
(ii) en (i): 5 14E 1
9 9
  
Respuesta:C) 
14
9