Tema 09 - Identidades trigonométricas para el arco doble

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31UNI SEMESTRAL 2013 - III TRIGONOMETRÍA TEMA 9
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
PARA EL ARCO DOBLE
TRIGONOMETRÍA
El objetivo es expresar las razones trigonométricas del arco
doble (2x; 2y; 2x; ...) en términos de las razones del arco
simple (x; y; z; ...) para lo cual partiremos de las identidades
del arco compuesto.
I. SENO DEL ARCO DOBLE
Sen2x 2Senx.Cosx
Demostración:
Sen2x = Sen(x + x)
= Senx.Cosx + Cosx.Senx
= 2Senx.Cosx
II. COSENO DEL ARCO DOBLE
2 2Cos2x Cos x Sen x 
Demostración:
Cos2x = Cos(x + x)
= Cosx.Cosx – Senx.Senx
= Cos2x – Sen2x
Reemplazando Sen2x = 1 – Cos2x
Cos2x = Cos2x – (1 – Cos2x)
2Cos2x 2Cos x 1 
Demostración:
Reemplazando Cos2x = 1 – Sen2x
Cos2x = 2(1 – Sen2x) – 1
2 – 2Sen2x – 1
2Cos2x 1 2Sen x 
III. TANGENTE DEL ARCO DOBLE
2
2TanxTan2x
1 Tan x


Demostración:
Tan2x = Tan(x + x)
Tanx Tanx
1 Tanx.Tanx

 2
2Tanx
1 Tan x


Ejemplos:
Sen14° = 2Sen7°.Cos7°
Sen6  = 2Sen3  .Sen3 
2Sen17° . Cos17° = Sen34°
Cos10° = Cos25° – Sen25°
Cos23  – Sen23  = Cos6 
2
2Tan3Tan6
1 3Tan 3
 
 
2
2Tan5 Tan10
1 Tan 5
  
 
IV. SENO DEL ARCO DOBLE EN FUNCIÓN
DE LA TANGENTE DEL ARCO SIMPLE
2
2TanxSen2x
1 Tan x


Demostración:
Sen2x = 2Senx.Cosx
= 
2
2
Sec x(2Senx .Cosx)
Sec x
= 2
2Senx.Secx
Sec x
= 
2
2Senx
Cosx
1 Tan x
= 2
2Tanx
1 Tan x
DESARROLLO DEL TEMA
32UNI SEMESTRAL 2013 - III TRIGONOMETRÍA
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS PARA EL ARCO DOBLE
TEMA 9
Exigimos más!
V. COSENO DEL ARCO DOBLE EN FUNCIÓN
DE LA TANGENTE DEL ARCO SIMPLE
2
2
1 Tan xCos2x
1 Tan x


Demostración:
Cos2x = Cos2x – Sen2x
= 
2
2 2
2
Sec x(Cos x Sen x)
Sec x

= 
2 2
2
Sen x.Sec x1
Sec x

= 
2
2
2
1 Sen x
Cos x
1 Tan x


= 
2
2
1 Tan x
1 Tan x


VI. FORMAS CUADRÁTICAS DEL SENO Y
COSENO
22Sen x 1 Cos2x 
22Cos x 1 Cos2x 
Demostración:
De Cos2x = 1 – 2Sen2x
 2Sen2x = 1 – Cos2x
De Cos2x = 2Cos2x – 1
 2Cos2x = 1 + Cos2x
Ejemplos:
2Sen210° = 1 – Cos20°
2Cos2217° = 1 + Cos34°
1 – Cos6  = 2Sen23 
1 + Cos8 = 2Cos24
VII. EXPRESIONES LINEALES DE:
8sen4x  8cos4x
48Sen x 3 4Cos2x Cos4x  
48Cos x 3 4Cos2x Cos4x  
Demostración:
8Sen4x = 2(2Sen2x)2
= 2(1 – Cos2x)
= 2(1 – 2Cos2x + Cos22x)
= 2 – 4Cos2x + 2Cos22x
= 2 – 4Cos2x + 1 + Cos4x
= 3 – 4Cos2x + Cos4x
Ejemplos:
8Sen410° = 3 – 4Cos20° + Cos40°
8Cos43x = 3 + 4Cos6x + Cos12x
VIII.IDENTIDADES AUXILIARES
Demostración:
Cotx + Tanx = Cosx Senx
Senx Cosx

= 
2 2Cos x Sen x
Senx Cosx


= 
1
Senx Cosx
= 
2
2Senx Cosx
= 
2
Sen2x
= 
12
Sen2x

= 2Csc2x
Tan2xSec2x 1
Tanx
 
Sec2x 1 Tan2x Tanx  
Demostración:
1Sec2x 1 1
Cos2x
  
= 
1 Cos2x
Cos2x

= 
22Cos x Sen2x
Cos2x Sen2x

= 
22Cos xSen2x
Cos2x 2Senx Cosx


33UNI SEMESTRAL 2013 - III TRIGONOMETRÍA TEMA 9
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS PARA EL ARCO DOBLE
Exigimos más!
Problema 1
Para el círculo trigonométrico que se
muestra en la figura, calcule: y Sen2 .
Nivel fácil
2005 - I


2
2
A) 4
5
 B) 3
5

C) 2
5
 D) 1
5

E) 0
Resolución:
Del gráfico:
Tg 2  
2
2TgSen2
1 Tg
 
 
2
2( 2) 4Sen2
51 ( 2)
   
 
Respuesta: A) 4- 5
Problema 2
Calcule el rango de la función:
2f(x) 2(Cos2x 3)( 2 Sen x) , x IR     
Nivel intermedio
2005 - II
A) 7,23   B) 8,23  
C) 8,24   D) 8,25  
E) 7,25  
Resolución:
2
2
f(x) 2(Cos2x 3)( 2 Sen x)
1 2Sen x
   


2 2f(x) 4(Sen x 2)(Sen x 1)  
4 2f(x) 4(Sen x 3Sen x 2)  
2
2 3 1f(x) 4 Sen x
2 4
         
2x 0 Sen x 1    
Construyendo f(x), obtenemos:
2
2 3 18 4 Sen x 24
2 4
          
Finalmente el rango es:
 8;24  
Respuesta: C)   8, 24
Problema 3
Si: sen8a + cos8a es igual a la expresión:
A + Bcos4a + Ccos8a
para cualquier valor real de a.
Halle A + B + C.
2007 - I
= 1Tan2x
Senx
Cosx

= 
Tan2x
Tanx
1 Sen2x Senx Cosx  
1 Sen2x Senx Cosx  
Demostración:
1 Sen2x = 2 2Sen x Cos x 2Senx Cosx  
= 2(Senx Cosx)
= Senx Cosx
4 4 3 Cos4xSen x Cos x
4
 
6 6 5 3Cos4xSen x Cos x
8
 
Demostración:
Sen4x + Cos4x = 1 – 2Sen2x • Cos2x
= 2
11 (2Senx Cosx)
2
  
= 2
1 1 Sen 2x
2 2

= 2
1 1 (2Sen 2x)
2 4

= 
1 1 (1 Cos4x)
2 4
 
= 
3 Cos4x
4

problemas resueltos
34UNI SEMESTRAL 2013 - III TRIGONOMETRÍA
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS PARA EL ARCO DOBLE
TEMA 9
Exigimos más!
A)
1
32 B)
1
16
C)
1
8 D)
1
4
E) 1
Resolución:
Como:
2sen2a = –csc2a + 1,
Elevando al cuadrado:
23 . sen4a = cos4a – 4cos2a + 3
27sen8a = cos8a – 8cos6a + 28cos4a
– 56cos2a+35 ...... (i)
Analogamente:
27.cos8a = cos8a + 8cos6a + 28cos4a
+ 56cos2a + 35 .. (ii)
Sumando (i), (ii), se tiene:
27. (sen8a + cos8a) = 2cos8a + 56cos4a + 70
Luego:
 8 8
1 28 35sen a cos a .cos8a cos4a
64 64 64
   
Por dato:
sen8a + cos8a = A + Bcos4a + C.cos8a
 1 28 35A B C 1
64 64 64
     
Observación:
Una forma práctica de comprobar que
la suma de coeficientes es igual a la
unidad, es asignar la variable un valor
arbitrario en la identidad planteada.
sen8a + cos8a = A + Bcos4a + c + cos8a
Para a = 0
  
8 8
1 10 1
sen 0 cos 0 A B cos 0 C. cos 0     
A B C 1   
Respuesta: E) 1