Tema 09 - Inecuaciones III

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321UNI SEMESTRAL 2013 - III ÁLGEBRA TEMA 9
INECUACIONES III
ÁLGEBRA
I. DEFINICIÓN
Sea a  , el valor absoluto se denota por |a|, el cual
se define por:
a;a 0
a
a;a 0
=
–



Ejemplos:
1. |4 – 2| =|2| = 2
2. |3 – 5| =|–2| = –(–2) = 2
II. PROPIEDADES
1. El valor absoluto de todo número real siempre es
un número no negativo. a 0
2. El valor absoluto de todo número real siempre es
igual al valor absoluto de su opuesto. a a= –
3. El valor absoluto de la multiplicación de dos números
reales es igual a la multiplicación de los valores
absolutos de los números en mención.|ab| = |a||b|
4. El valor absoluto de la división de dos números reales
(divisor es diferente de cero) es igual a la división
de los valores absolutos.
a a ; b 0
b b
=
5. Todo número al cuadrado, siempre es igual al valor
absoluto de la base elevado al cuadrado.
a2 = |a|2
6. La raíz cuadrada de todo número elevado al
cuadrado, siempre es igual al valor absoluto del
número.
2a a=
Nota:
– Hagamos la siguiente generalización:
 



x a; x a 0
x a
x a; x a<0
– –
– =
– + –
– Generalizando:
|a + b| = |–a –b| ; |a – b| = |b – a|
– Generalizando:
|abc... n| = |a||b||c|...|n|
– Estas dos propiedades antes mencionadas nos permiten
hacer lo siguiente:
– |3(x – 4)| = 3|x – 4|
– 2|x + 2| = |2x + 4|
– –2|x + 2| = –|2x + 4|
– x 1 x 13 3
+ +=
– x 2 x 2= 3 3
+ +–
–
 Comentario
Esta propiedad va a ser de gran utilidad en el
trabajo de una ecuación e inecuación con un valor
absoluto.
7. Desigualdad triangular:
|a + b|  |a| + |b|
I. Si|a + b|<|a| + |b|, entonces ab < 0.
II. Si|a + b| = |a| + |b|, entonces ab > 0.
Nota:
– Generalizando si n o:
a2n = |a|2n
a2n+1 = |a|2n.a
– ¡Tenga cuidado!
Teoría de exponentes

2x x
x 0
=
 Números Reales
2x x
x  
=
DESARROLLO DEL TEMA
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INECUACIONES III
TEMA 9
Exigimos más!
IV. INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO
A. Caso 1
|x|  a: a 0  (–a x  a)
Ejemplo:
|x – 3|  5: 5  0 (–5  x – 3  5)
–2  x  8
B. Caso 2
|x|  a: x  a  x  –a
Ejemplo:
|x – 2|  3: x – 2  3  x – 2  –3
 x  5  x  –1
C. Caso 3
|x|  |y|  (x – y)(x + y)  0
Ejemplo:
|x – 2|  |2x – 3|  (–x + 1)(3x – 5)  0
(x – 1)(3x – 5)  0
Aplicando P.C.
5x ;1 ;
3
– +    
Problema 1
Resolver:
|2x + 6| = |x + 8|
Nivel fácil
Resolución:
Aplicando el teorema:
|a|=|b|  a = b  a = –b
2x + 6 = x + 8  2x + 6 = –x–8
 x = 2 3x = –14
 x = 14
3
–
Respuesta: C.S.=
14– ;2
3
 
 
 
Problema 2
Resolver: |3x + 5| = 2x – 3
Nivel intermedio
Resolución:
Aplicando el teorema:
|x| = a a 0  (x = a  x = –a)
Entonces:
2x–3 0 (3x+5=2x–3 3x+5=–2x+3)
x 
3
2 
 (x = –8  5x = –2)
 x = 2
5
–
Como:
–8  32 (F)
2 3
5 2
– (F)
Respuesta: C.S. =
Problema 3
Resolver: |3x + 4|  x + 10
Nivel intermedio
Resolución:
Aplicando el teorema:
|x|  a (a  0)  (–a x  a)
Entonces:
x+10  0  (–x –10  3x + 4  x + 10)
x –10 (–x–10 3x+4 3x+4 x+10)
–14  4x  2x  6
 x  –10  
7 x x 3
2
     
–
 x  –10  
7– x 3
2
    
Intersectando:
–10 –7
2
3 +–
Respuesta:     
– 7x ; 3
2
III. ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO
A. Caso 1
|x| = 0  x = 0
Ejemplo:
• |x – 3|=0  x – 3 = 0  x = 3
B. Caso 2
|x| = a (a 0) (x = a a = –a)
Ejemplo:
• |x – 3| = 5
Si 5  0
x – 3 = 5  x – 3 = –5
 x = 8  x = –2
|x – 3| = –4
Si –4  0 (Falso)
 C.S. = 
C. Caso 3
|x| = |a|  x = a x = –a
Ejemplo:
|x – 3| = |2x + 2|
 x – 3 = 2x + 2  x – 3 = –2x –2
 –5 = x 3x = 1
 x = 
1
3
problemas resueltos