Tema 09 - Semejanza de triángulos

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35UNI SEMESTRAL 2013 - III GEOMETRÍA TEMA 10
SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS
GEOMETRÍA
I. DEFINICIÓN
Son dos figuras geométricas que tienen igual forma y
tamaños distintos.
En dos figuras semejantes existe una correspondencia
biunívoca (correspondencia uno a uno) entre sus pun-
tos, de modo que a los puntos que se corresponden
se les denominan puntos homólogos y a los segmen-
tos que se corresponden se les denominan segmen-
tos o líneas homólogas.
En dos figuras semejantes sus líneas homólogas son
proporcionales.
En el gráfico, se muestran dos figuras geométricas se-
mejantes.
A y A’: puntos homólogos
AC y A 'C ' lados o líneas homólogas.
Se cumple: a m R k
b n r
  
k: Constante de proporcionalidad o razón de semejanza.
: Símbolo de semejanza (se lee: es semejante a).
II. CONCEPTO
Son dos triángulos que tienen sus ángulos respectiva-
mente de igual medida y además sus lados homólogos
proporcionales.
En el gráfico, ABC MNL 
Se cumple:
• Las medidas de sus ángulos son respectivamente
iguales.
• Sus lados homólogos son proporcionales, es decir:
a b c k
m n 
  
A. Postulado
Dos triángulos son semejantes si tienen al menos
dos ángulos respectivamente de igual medida.
En el gráfico, si:
mBAC = m FEG y mACB = m EGF
Se cumple: ABC EFG 
B. Teorema I
Dos triángulos son semejantes si tienen un ángulo
de igual medida y los lados que determinan a dichos
ángulos respectivamente proporcionales.
En el gráfico, si m BAC = m NML y c b k
n
 

Se cumple:
ABC MNL 
DESARROLLO DEL TEMA
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SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS
TEMA 10
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C. Teorema II
Dos triángulos son semejantes si sus lados son
respectivamente proporcionales.
En el gráfico, si:
a b c k
m n
  

Se cumple:
 ABC MNL
D. Propiedades
• Una recta secante a un triángulo paralela a uno
de sus lados, determina un triángulo parcial
semejante al triángulo dado.
En el gráfico, si: PQ / / AC
 
Se cumple:
  PBQ ABC
• En todo triángulo acutángulo, el segmento que
une los pies de dos alturas determina un triángulo
parcial semejante al triángulo dado.
En el gráfico, ABC acutángulo se cumple:
 QBP ABC
• En dos triángulos semejantes sus líneas ho-
mólogas son proporcionales.
En el gráfico, ABC MNL 
Se cumple:


      

ABC
MNL
2pa b c H r R k
m n h x y 2p
2p: perímetro
Observación
En el ABC; BP : ceviana interior
Si:
m ABP = m ACB
Se cumple:
2x mn
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SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS
Problema 1
La figura mostrada ABCD es un rectán-
gulo. Si CP = 8 m, DP = 4 m, EF = 6 m,
entonces el valor de AD es:
UNI 2012-I
A) 46 m
3
B) 15 m
C) 43 m
3
D) 14 m
E) 49 m
3
Resolución:
Ubicación de incógnita
Piden: AD = x
Operación del problema
BEA PEC 
BE 3 BE 3K EP 2K
EP 2
    
EFP  BQP
BQ 5K BQ 15m
6m 2K
  
BAQ: AQ = 9 m
BAQ  PDQ
4 mQD 16QD m
12m 9m 3
  
Conclusiones y respuesta
Del gráfico:
16x 9m m
3
 
43x m
3
 
Respuesta: C) 43 m
3
Problema 2
En un rectángulo ABCD, M y N son
puntos medios de los lados BC y CD
respectivamente, tales que AM = 2 2
cm y BN = 17 cm. Si P es el punto
de intersección de los segmentos AM
y BN, entonces el valor de PM + PN
en cm es:
UNI 2011-II
A) 2 2 17
5
 B) 2 2 2 17
5

C) 3 2 17
5
 D) 2 2 3 17
5

E) 3 2 3 17
5

Resolución:
Ubicación de incógnita
Sea: PM = x
PN = y
Piden: x + y
Análisis de los datos o gráficos
AM = 2 2
BN = 17
Operación del problema
MN : Base media BCN
SN : Base media MCDA
 MN = a
SN = 3b
Por  de 
x a 1
a 4a 52 2
 

x = 2 2
5
y 3b 3
2b 3b 517
 

y = 3 17 2 2 3 17x y
5 5
  
Respuesta: D) 2 2 3 17
5

Problema 3
ABCD es un cuadrilátero inscrito en una
circunferencia de radio r y circunscrito
a una circunferencia de radio R. Si BD
interseca a AC en I, 3BI = AI y AB +
CD = a cm (a > 0), calcule la longitud
(en cm) de BC.
UNI 2011-I
A)
a
2 B)
a
3
C)
a
4 D)
a
5
E)
a
6
Resolución:
Ubicación de incógnita
Piden; BC = x
problemas resueltos
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Análisis de los datos o gráficos
AI = 3(BI) = 3 m
AB + CD = a
Hacemos: AD = y
Operación del problema
Teorema de Pitot
Semejanza de triángulos
Ángulos en la circunferencia
 
Aplicando el teorema de Pitot:
AB + CD = x + y  x + y = a ...(1)
Por ángulo inscrito:
mBCI = mADB = 
además: mBIC = mAID = 
Reconocemos que: BIC  AID

x m
y 3m
  y = 3x ...(2)
Conclusión y respuesta
Sustituyendo (2) en (1)
4x = a
ax
4

Respuesta: C) 
a
4