Tema 10 - Funciones I

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25UNI SEMESTRAL 2013 - III ÁLGEBRA TEMA 10
FUNCIONES I
ÁLGEBRA
La palabra función se escuchará muy a menudo en la misma
vida diaria por ejemplo en las siguientes frases:
1. Los precios están en función a la oferta y la demanda.
2. El volumen de una esfera está en función del radio de
la misma.
Y así podría escucharse otras frases que nos dan una idea
intuitiva del concepto de una función, el concepto intuitivo
de función. "Es la relación de 2 ó más conjuntos bajo una
regla o ley".
El objetivo es esquematizar el concepto intuitivo en una
definición formal, pero antes daremos algunos conceptos
previos.
I. PAR ORDENADO
Es un conjunto de 2 elementos denotado así: (a;b)
Donde:
a: se llama 1.a componente.
b: se llama 2.a componente.
Que formalmente se define así:
(a,b) = {{a}, {a, b}}
Teorema:
(a,b) = (m,n) a = m b = n 
II. PRODUCTO CARTESIANO
Dados 2 conjuntos A y B no vacíos el producto carte-
siano de A y B denotado por A x B se define:
  A x B a,b / a A b B   
Ejemplo:
Sean A =    m,n , B p,q,r
A x B = {(m,p), (m,q), (m,r), (n,p), (n,q), (n,r)}
B x A = {(p,m), (p,n), (q,m), (q,n), (r,m), (r,n)}
Vemos que:
A x B B x A A B  
Por el diagrama del árbol
A B AxB
m
p
qq
r
p
(m,p)
(m,q)
(m,r)
(n,p)
n
p
qq
r
(n,p)
(n,q)
(n,r)
Por el diagrama sagital o de Ven
A B
m
n
p
q
r
            A B m,p , m,q , m,r , n,p , n,q , n,r 
Por el diagrama cartesiano
            A B m,p , m,q , m,r , n,p , n,q , n,r 
III. RELACIONES
Dados 2 conjuntos no vacíos, A y B se llama relación R
de A en B a todo subconjunto de A x B.
Ejemplo:
Sea A = {m, n}, B = {p, q,r}
            A xB m,p , m,q , m,r , n,p , n,q , n,r
DESARROLLO DEL TEMA
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FUNCIONES I
TEMA 10
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Ejemplo:
m
n
p
A B
f
q
1
2
3
7
Df =  A m,n,p,q , Rf  1,3
Observación:
Si:  x,y  f función de A en B
se denota, y = f(x), se dice:
y: es imagen de x bajo f.
x: es la preimagen de x bajo f.
x: variable independiente.
y: variable dependiente.
C. Cálculo del dominio y el rango
El dominio se halla ubicando los posibles valores que
puede asumir la variable independiente. El rango,
dependiendo del dominio considera los valores de
la variable dependiente.
Ejemplo:
Halle el dominio y el rango en:
 
2
2
25 xf x
x 7


I) Df =  2 2x R / 25 x 0 x 7 0     
=     2x R / x 5 x 5 0 x 7 0      
x 5,5 x , 7 7,         
x 5, 7 7;      
Df =   x 5 , 7 7 ,5     
II) Rf = R+0
D. Gráfica de una función
Se define como el conjunto de los pares (x,y)
 x, y R x R / x Df Rf   
Así: A B C D E
Sea:           f 3,5 , 2, 2 , 1,2 , 4,3 , 5, 4
Se citan las relaciones:
      1R m,p , n,p , n,r
      2R m,q , n,p , n,q
  3R m,q
IV. DEFINICIÓN DE FUNCIÓN
Una función f es una correspondencia entre 2 con-
juntos A y B tales que a cada elemento a  A le co-
rresponde un único elemento de B.
Se llama función f al conjunto de pares ordenados
(a,b) que:
Para cada aA,  !b B / a,b   f asimismo:
 a,b  f (a, c)  f b = c
Ejemplo
f       3,a , 4, a , 5,b
Cumple la definición, por tanto f es una función.
Ejemplo:
3
7
9
m
n
p
A B
f
f         3,m , 3,n , 7,p , 9,n
– No se cumple la condición de unicidad.
– No es función.
"No deben existir 2 o más pares ordenados con el
mismo primer elemento".
A. Dominio de una función
Se llama así al conjunto de todas las primeras compo-
nentes que coinciden con los elementos del conjun-
to de partida denotado por Df (dominio de f).
Df = {  x A / !b B a,b     f}}
B. Rango de una función
Es el conjunto de todas las segundas componentes
de todos los pares ordenados de f, denotado por
Rf (Rango de f ).   Rf b B / a A a,b f    
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FUNCIONES I
Problema 1
El rango de la función  f : 0  
definida por: 1f(x) x
x
  es:
UNI 2007 - II
A)  2, 2
B) 2, 2   
C) 1, 1 
D) 1, 1   
E)  0
Resolución:
Sabemos:
1x 2 ; x 0
x
  
1x 2 ; x 0
x
   
f(x) 2 f(x) 2    
Ranf = ; 2 2 ; 2;2        
Respuesta: A) 2, 2 
Problema 2
Dada la función:
25x 7x 8f(x)
x 3 / 5
 

definida sobre 3 3,
5 5
 
.
Halle el rango de f .
UNI 2008 - I
A) 13 7;
5 5
  
B) 13 7;
5 5
 
C) 7 13;
5 5


D) [7;13
E) 7;13]
Resolución:
Piden: Rango de f .
Siendo:
25x 7x 6f(x)
3x
5
 

Tenemos:
 5(5x 3)(x 2)f(x)
5x 3
 

Reduciendo:
f(x) 5(x 2) 
Si: 3 3x ;
5 5
  , entonces:
3 3x
5 5
  
Restando 2:
3 32 x 2 2
5 5
     
Por 5:
13 7x 2
5 5
   
 
f (x)
13 5 x 2 7    
Luego:
7 f(x) 13 
Rg f 7;13 
Respuesta: D) 7;13
Problema 3
En la figura adjunta se muestra las grá-
ficas de las funciones f y g definidas
por:
f(x) = ax2 + bx + c
g(x) = mx2 + nx + p
Observación:
• Si tanto la variable independiente "x" y la variable
dependiente "y" son reales se llama función real
en variable real.
• Si los pares son continuos la gráfica obtenida
es una línea.
E. Propiedad de las funciones reales
f es una función real de variable real si y solo si cada
recta vertical corta a lo más en un punto a su gráfica.
Ejemplo:
 
problemas resueltos
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FUNCIONES I
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De las siguientes relaciones:
I. 2n 4mp
II.
a b
m n

III. abc mnp
¿Cuáles son verdaderas?
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) I y II
E) II y III
Resolución:
Del gráfico: f y g tienen raíces reales e
iguales.
I. 0  para g  n2 – 4mp = 0
2n 4mp 
II. Como tienen vértices iguales en-
tonces:
b n a b– –
2a 2m m n
  
III. a > m, ya que f es más cerrada
que g. Siendo:
2 3xbb 4ac b 4abc  
2 3xnn 4mp n 4mnp  
De la segunda proposición se de-
duce:
a m b n  
3 3b n es decir abc mnp
 Solo I y II son verdaderas.
Respuesta: D) I y II