Tema 13 - Funciones IV

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37UNI SEMESTRAL 2013 - III ÁLGEBRA TEMA 13
FUNCIONES IV
ÁLGEBRA
I. COMPOSICIÓN DE FUNCIONES
Dadas 2 funciones f y g la función composición deno-
tado por fog se define así:
• fog = {(x;y)|y = f(g(x))}
• Dfog =  x Dg g(x) Df  
Esquematizando con el diagrama sagital:
Ejemplo:
f = {(3;5), (4;3), (5;2)}
g = {(5;3), (3;5), (7;2)}
fog = {(5;5), (3;2)}
Ejemplo:
f(x) 4x 3 , x 15,22  
g(x) 3x 1, x 7,14  
• (fog)(x) = f(g(x)) = 4(3x – 1) + 3 = 12x – 1
• Dfog x 7,14 3x 1 5,22    
16 23x ,
3 3

23x 7,
3

23fog(x) 12x 1 / x 7,
3
  
Propiedades de la composición de funciones
Dadas las funciones f, g, h, I (identidad)
I. (fog)oh = fo(goh) [asociativa]
II. Si I es la función identidad:  función f:
foI = f  Iof = f
III. (f + g)oh = (foh) + (goh)
IV. (fg)oh = (foh) . (goh)
V. fog  goh, en general
VI. InoIm = Inm; n,m,  Z+
VII. Ino(f + g) = (f + g)n, n Z+
VIII.
1
nnI oI | I | , para n par  Z+
IX.
1 1
n nn nI oI I oI I  , n Z+, impar
DESARROLLO DEL TEMA
38UNI SEMESTRAL 2013 - III ÁLGEBRA
FUNCIONES IV
TEMA 13
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II. FUNCIÓN INVERSA
Definiciones previas.
A. Función inyectiva
Llamada también univalente o uno a uno, se dice
inyectiva si a cada elemento del rango le corresponde
un único valor del dominio.
Formalmente: f es inyectiva si para:
 1 2x ; x Df
1 2 1 2x x f(x ) f(x )  
Equivalentemente:
1 2 1 2f(x ) f(x ) x x  
Ejemplo:
Ver x 1f(x)
x 1


 es inyectiva.
Resolución:
Sean  1 2x ; x Df
Si: f(x1) = f(x2)
1 2
1 2
1 2
x 1 x 1
 x x
x 1 x 1
 
  
 
f es inyectiva.
Teorema
f es inyectiva si todo vector horizontal corta su
gráfica a lo más en 1 punto.
Ejemplo:
B. Función suryectiva (epiyectiva)
Sobreyectiva o sobre. Se dice suryectiva si el conjun-
to de llegada queda cubierto por el rango de ese
modo coincidiendo el rango y el conjunto de llegada.
C. Función biyectiva
Una función se dice que es biyectiva si es inyectiva
y suryectiva a la vez.
III. DEFINICIÓN DE FUNCIÓN INVERSA
Dada una función     f x, y / y f x  inyectiva se
define la función inversa denotado por f* como lo que:
  f* y; x / y f(x) x Df   
De donde:
Df* = Rf, Rf* = Df
Ejemplo:
Halle la inversa de x 1f(x)
x 1


 si existe.
Resolución:
Se ha visto que es inyectiva, es a su vez suryectiva.
 su inversa
Para hallar la inversa se despeja "x".
 
   
f x 1
x f x x
f x 1

 
 
  x 1f x x 1


Df* = R – {1} ; Rf* = R – {1}
IV. GRÁFICA DE LA FUNCIÓN INVERSA
Conociendo la gráfica de la función f(x) la gráfica de
f*(x) se obtiene reflejando en el eje de la función
identidad, así:
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FUNCIONES IV
Problema 1
Sean A y B conjuntos no vacíos, señale
la alternativa que presenta la secuencia
correcta, después de determinar si la
proposición es verdadera (V) o falsa (F):
I. Si:
(x,y);(x,z) f {(x,y)/x A,y B} AxB    
implica que y = z, entonces po-
demos decir que f es una función
de A en B.
II. Toda función sobreyectiva f:A B
es inyectiva.
III. Toda función inyectiva f:A B es
sobreyectiva.
A) VVV
B) VFV
C) VFF
D) FFV
E) FFF
UNI 2010-I
Nivel fácil
Resolución:
I. Verdadero
De acuerdo a la condición de unici-
dad esta proposición es perfecta-
mente válida.
II. Falso
No necesariamente, por ejemplo:
F : 1;2 0; 4  2y F(x) x 
Es una función sobreyectiva, pero
no es inyectiva.
III. Falso
No necesariamente, por ejemplo:
F : 1;3 2;4 y F(x) 2x 1  
Es una función inyectiva, pero no
es sobreyectiva.
Respuesta: C) VFF
Problema 2
Dadas las funciones:
f = {(3, 1); (2, –3); (5, 0); (4, –4);
 (1, 1)}
g = {(–4, 3); (–2, 7); (0, 0); (1, 5);
 (2, 1)}
h = {(1, –4); (3, –2); (5, 0); (7, 2)}
Determine la función compuesta f o g
o h.
UNI 2010-I
Nivel intermedio
A) {(1, 0); (5, 1)}
B) {(3, –3); (5, –4)}
C) {(1, 1); (7, 1)}
D) {(1, 1); (2, –3)}
E) {(3, –1); (7, 1)}
Resolución:
f={(3;1), (2;–3), (5;0), (4;–4), (1;1)}
Propiedades:
      f x, y / y f x , x Df y f x    
      f* y, x / y f x , x Df x f * y    
   y f x f * y x x DF  
I.   f * f x x; x Df  II.   f f * y y; x Df* Rf  
III. (fog)* = g* o f* IV. (f*)* = f
problemas resueltos
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FUNCIONES IV
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g={(–4;3), (–2;7), (0;0), (1;5), (2;1)}
h={(1;–4), (3;–2), (5;0), (7;2)}
Calculando goh:
goh = {(1;3), (3;7), (5;0), (7;1)}
f = {(3;1), (2;–3), (5;0), (4;–4), (1;1)}
fo(goh) = {(1;1), (7;1)}
Respuesta: C) {(1;1), (7;1)}
Problema 3
Dada la función:
1f(x) K ; x K
x K
   

Halle todos los valores que puede
tomar K para que la gráfica de la fun-
ción f y de su inversa sea la misma.
UNI 2010-I
Nivel difícil
A) 1;2
B) 0 ;1  
C) 1;1  
D) 0;  
E) ;  
Resolución:
1y K ; x K
x K
   

1 1x K x K ; y K
y K y K
      
 
1f * (x) K ; x K
x K
   

f(x) f * (x) 
Lo cual se cumple para cualquier valor
real de K, es decir: K ;   .
Respuesta: E) ;  