Tema 15 - Áreas de regiones triangulares

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57UNI SEMESTRAL 2013 - III GEOMETRÍA TEMA 16
ÁREA DE REGIONES
TRIANGULARES
GEOMETRÍA
I. REGIONES POLIGONALES
Una región triangular es un conjunto de puntos, reunión
de un triángulo y su interior.
Una región poligonal es la reunión de un número finito de
regiones triangulares que se encuentran en un plano dado,
tales que si dos cualesquiera de ellas se intersecan, su
intersección es o bien un punto o un segmento.
Las líneas punteadas en las figuras anteriores indican
cómo se podría representar cada una de las dos regio-
nes poligonales mediante tal reunión. Las regiones trian-
gulares de cualquier descomposición asi se llaman regio-
nes triangulares componentes de la región poligonal.
A. Postulados
- Dada una unidad de área, a cada región le corres-
ponde un número único, llamado área de la región.
- El área de una región poligonal es la suma de las
áreas de cualquier conjunto de regiones com-
ponentes en la cual puede dividirse.
- Si dos polígonos son congruentes, entonces las
regiones poligonales correspondientes tienen la
misma área.
A continuación se presentan una serie de fórmulas
para calcular el área de diversas regiones triangulares.
B. Teoremas
1. El área de toda región triangular, es igual al
semiproducto de las longitudes de un lado y la
altura relativa a dicho lado.
Sea: ABCA : área de la región triangular ABC.
A C
B
h
a
ABC
a.hA
2

A
B
C
a
b
 
ABC
a.bA
2
 
 
A C
h
a
B
ABC
a.hA
2
 
Demostración
h
A
B C
Da
• Sea A  ABC = A por B y D se trazan paralelas a
AD y AB , tal que:
ABCD: Paralelogramo.
DESARROLLO DEL TEMA
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ÁREA DE REGIONES TRIANGULARES
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Entonces
•  ABD   BDC, entonces
ABD BDCA A A  
Luego
A(ABCD) = ABD BDCA A 2A  
A(ABCD) = 2A ........(1)
Por un postulado del área de la región paralelo-
grámica es:
A(ABCD) = ah ........ (2)
De (1) y (2)
2A = ah
ahA
2
 
2. Fómula trigonométrica
El área de una región triangular, es igual al semi-
producto de las longitudes de los lados del trián-
gulo multipilicado por el seno de la medida del
ángulo comprendido por dichos lados.
A
B
C

b
a
ABC
a.bA sen
2
 
Demostración
a sen
A
B
C

H b
a
Se traza la altura BH,
en ABH.
BH = aSen ... (1)
Sabemos ABC (AC)(BH)A
2

Reemplazando en (1) obtenemos:
ABC
(b)(asen )A
2

ABC
abA Sen
2
  
C. Otros teoremas
Para calcular el área de una región triangular en
términos de otros elementos asociados al triángulo.
1. El área de una región triangular es igual al pro-
ducto del semiperímetro y su inradio.
r
A C
 B
a
b c
sea:
p: semiperímetro de la región ABC
 a b cp 2 
r: inradio del triángulo ABC
ABCA p.r 
2. Teorema de Arquímides
El área de una región triangular es igual a la raíz
cuadrada de los productos del semiperímetro
restado de la longitud de cada lado.
B
CA c
a b
Sea:
P: semiperímetro
a b cp
2
 
ABCA p(p a)(p b)(p c)    
3. El área de una región triangular es igual al pro-
ducto de las longitudes de los tres lados dividido
por cuatro veces es circunradio.
 cA C
B
Rb
a
 
ABC
abcA
4R

R: Circunradio del triángulo ABC.
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4. El área de una región triangular es igual producto
del semiperímetro restado en un lado con el ex-
radio relativo a dicho lado.
AT: Semiperímetro de ABC
AT = P
r: exradio relativo a BC
ABCA (p a)r  
5.

B
CA Tm n
Según el gráfico, T es punto de tangencia.
Entonces:  ABCA m.n Cot 2 
II. TEOREMAS PARA RELACIONAR LAS
ÁREAS DE DOS REGIONES TRIANGULARES
A. Teoremas
1.
B
A CNa b
En la figura BN : Ceviana relativa a AC
ABN
NBC
A a
A b

B
A CNm m
En la figura, BN: Mediana
Entonces:
ABN BNCA A 
2.
Q
b
b
a
a
P
B
C
S
3S
A
En la figura; P y Q: puntos medios
Entonces:
A =3A APQC PBQ
3.
•
c c
S
a
a b
b
P Q
A
G
A
AA
A A
G: Baricentro de la región triangular ABC
ABCAA
6
 
4.
m m
P
•
B
A C
S
Q
N
A B
Si BP: Mediana y Q BP
A, B, N y S: Área de regiones mostradas.
Entonces:
A B S N  
5. Si dos triángulos son semejantes entonces la
relación entre sus áreas será igual a la relación
entre los cuadrados de sus líneas homólogas.
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Si ABC MNL  , entonces:
 
2 2
2ABC
2 2
MNL
S AC BH ... k
S ML NF
   
Siendo "k" la razón de semejanza.
6. Si dos triángulos tienen ángulos congruentes o
suplementarios, entonces la relación entre sus áreas
será igual a la relación entre los productos de las
medidas de los lados que forman dichos ángulos.
Si: ABC
DEF
S AB.BC
S EF.DF
    
Si: MNL
PQR
S MN.NL180
S PQ.PR
      
Problema 1
Hallar el área de la región triangular
QTC; ABCD es un cuadrado de lado 4 m
(T es punto de tangencia).
UNI
Nivel fácil
A) 1,2 m2 B) 1,4 m2 C) 1,5 m2
D) 2 m2 E) 2,2 m2
Resolución:
Piden S, se observa: 1 x 3 sen53S
2

6S
5
  
2S 1, 2m 
Respuesta: A) 1,2 m2
Problema 2
En la figura AB = 2, BC = 3. Hallar el
área de la región triangular AOC (T, B
y Q son puntos de tangencia).
UNI
Nivel intermedio
A) 10 B) 16 C) 15
D) 20 E) 25
Resolución:
Piden: AOCA Sx 
5 x RSx
2

Pero: OTMQ: Cuadrado
Luego: AMC: Pitágoras
(R – 2)2 + (R – 3)2 = 52
R = 6
5 x 6Sx 15
2
  
Respuesta: C) 15
Problema 3
En un triángulo ABC; se traza la me-
diana BM y en BC se toma el punto P..
Hallar el área del triángulo BMP, si el
área del triángulo ABP es 18 m2.
UNI
Nivel intermedio
A) 8 B) 10 C) 12
D) 18 E) 9
Resolución:
Piden: BPMA x 
Se observa: ABCA 18 2 S ...I  
También: BM: mediana
ABM MBCA A  
ABMA x s  
Entonces: ABCA 2x 2s ...II  
Igualando: I y II
2x 2 s 18 2 s 
x= 9
Respuesta: E) 9
problemas resueltos