Tema 16 - Áreas de regiones cuadrangulares

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61UNI SEMESTRAL 2013 - III GEOMETRÍA TEMA 17
ÁREA DE REGIONES
CUADRANGULARES
GEOMETRÍA
I. TEOREMAS
1.
ABCD
(AC)(BD)A Sen
2
 
Observación:
A
B
D
C
ABCD
(AC)(BD)A
2

2.
A
B
D
C

Observación:
 
ABCD
(BD)(AC)A
2

A
B
D
C
•
3.
Sean A, B, C y D las áreas de las regiones triangulares.
Se cumple: A.B C.D
4. 
Si :BM MC
AN ND


5.
B
N
C
P
DQA
M
A
D
C
B
Si: AM = MB, BN = NC
 CP = PD y AQ = QD
 MNPQ : Paralelogramo
Se cumple 
ABCD
MNPQ
AA
2
 
Además A B C D  
DESARROLLO DEL TEMA
62UNI SEMESTRAL 2013 - III GEOMETRÍA
ÁREA DE REGIONES CUADRANGULARES
TEMA 17
Exigimos más!
II. ÁREA DE REGIONES TRAPECIALES
1.
Si: BC / /AD
2.
Si: BC / / AD
BM= MA y CN= ND
A =(MN)(BH) ABCD
3.
BC / / AD
Se cumple: A = B
Además: A.B = C.D
 A CD
Luego
ABCDA A B C D   
ABCDA 2 CD C D  
 ABCD 2A C D 
4.
Si: BC / / AD
CM= MD
ABCD
BMA
AA
2
  
Teoremas
1.
A Dd
a c
bB
C
  a b c dA ABCD R2  
2.
B
C
DA
a
b
c
d
Sea: a b c dp
2
  
ABCDA (p a)(p b)(p c)(p d)    
3.
 
ABCDA abcd
III. ÁREA DE REGIONES PARALELOGRÁMICAS
A
B C
DH
ABCDA : Paralelogramo
ABCDA (AD)(BH)
ABCDA (AB)(AD)Sen 
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Exigimos más!
ÁREA DE REGIONES CUADRANGULARES
A. Área de la región rombal
 
A
D
B
C
ABCD
(AC)(BD)A
2

B. Área de la región rectangular
B C
DA
ABCDA (AB)(AD)
C. Área de la región cuadrada
aA D
a d
B C
 ABCD 2A a
 ABCD
2dA
2

D. Propiedades
En regiones paralelográmicas.
 1.
 
O
B C
A D
A
A
A
A
 
B
A
B
C D
D
C
A
ABCDAA B
2
  
ABCDAC D
2
  
2.
 
B
A D
Q
C
B
A
 
ABCDAA B
2
  
Problema 1
Se tiene los triángulos equiláteros ABC
y PBQ, donde P está en la región in-
terior y Q en la región exterior y relativa
a BC , si: (AP)(CQ) = k. Calcule el área
de la región no convexa BACP.
A) k 3
4
B) 3
4
C) k 2
3
D) k
E) 2
3
Resolución:
W
 

wP
A
B
Q
C
a
b
a
b
R
Según el gráfico y por teorema general.
Luego: ABP CBQ   (L - A - L)
m BAP w y
m BCQ w
 


 
w 60 w    
60  
Reemplazando:
 
Respuesta: A) k 3
4
problemas resueltos
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ÁREA DE REGIONES CUADRANGULARES
TEMA 17
Exigimos más!
Problema 2
En un trapecio isósceles ABCD, BC//AD.
M y N son puntos medios de AB y CD
respectivamente; luego se traza CH AD
(H AD) . Si el área de la región AMNH
es 4. Calcule la suma de las áreas de
las regiones MBCN y HND.
A) 1 B) 3
C) 2 D) 4
E) 5
Resolución:
A H D
NM
B C
a
a
h
2
 
a a
a
m
h
2
m
Según el gráfico
AMNH : paralelogramo
mhA AMNH 4
2
 
mh 8 
Por teoría
ABCDA mh 8 
MBCN HNDA A 4  
Respuesta: D) 4
Problema 3
En un triángulo equilátero ABC se ubi-
can los puntos M y N en AB y BC res-
pectivamente tal que MN es tangente
a la circunferencia inscrita en el trián-
gulo ABC. Si BM = 5 y AM = 15. Calcule
el área de la región AMNC.
A) 50 2
B) 10 3
C) 90 3
D) 100 2
E) 100 3
Resolución:
60°
A C
B
5
5
10
a5
10-a
a
M
N
Según el gráfico:
BM = 5, MN = 5 + a y BN = 10 - a
MBN (Teorema de cosenos)
(5+a)2=52+(10-a)2-2(5)(10-a)Cos60°
Operando: a = 2
MBN
5(8)A Sen60 10 3
2
   
Se sabe:
2
ABC
(20) 3A 100 3
4
  
AMNC ABC MBNA A A   
 AMNCA 90 3
Respuesta: C) 90 3