Tema 17 - Áreas de regiones circulares

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65UNI SEMESTRAL 2013 - III GEOMETRÍA TEMA 18
ÁREAS DE REGIONES
CIRCULARES
GEOMETRÍA
EL ÁREA DE UN CÍRCULO
A. Círculo
Es el conjunto de puntos de la circunferencia y de su
interior. De otra manera, un círculo o una región circular
es la reunión de una circunferencia y su interior. Cuando
hablamos del "área del círculo", queremos decir el área
de la región circular correspondiente. (Este es el mismo
modo de abreviar que se utiliza cuando hablamos del
"área de un triángulo", queriendo decir el área de la
región triangular correspondiente).
En conclusión
Por brevedad, diremos simplemente: área de un círculo,
en lugar de área de una región circular.
Ahora, obtendremos una fórmula para el área de un
círculo.
Dada una circunferencia de radio r, inscribimos en ella
un polígono regular de n lados (n-gono regular). Como
se acostumbra, denotamos el área del n-gono por An,
su perímetro por 2Pn y la apotema por apn. Además la
longitud del lado n-gono sea n .
Luego:
n n n
n n
ap n
A ap ...(1)
2 2
 
  
 


 
pero:
n n2p n ...(2) 
n n
n n n
2p apA = (p ap )
2

 
n n nA p ap 
Esta fórmula contiene tres cantidades, cada una de
las cuales depende de n, son Pn, apn y An. Para obtener
la fórmula para el área de un círculo, tenemos que
hallar a que límites se aproximan estas tres cantidades
a medida que crece indefinidamente.
1. ¿Qué le sucede a An?
An es siempre un poco menor que el área del círculo,
porque siempre hay algunos puntos que están
dentro del círculo, pero fuera del polígono regular
de n lados (n-gono regular).
Sin embargo, la diferencia entre An y A es muy
pequeña cuando n es muy grande, porque enton-
ces la región poligonal cubre casi completamente
el interior de la circunferencia. Así es de esperar
que: nA A...(1)
Pero lo mismo que en el caso de la longitud de una
circunferencia, esto no puede demostrarse, puesto
que no hemos dado todavía una definición del área
de un círculo.
Definición. El área de un círculo es el límite de las
áreas de los polígonos regulares inscritos en la
circunferencia correspondiente. Así pues, nA A ,
por definición.
DESARROLLO DEL TEMA
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ÁREA DE REGIONES CIRCULARES
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2. ¿Qué le sucede a la apotema apn?
La apotema apn es siempre un poco menor que r,
puesto que la longitud de un cateto de un triángulo
rectángulo es de menor longitud que de la hipo-
tenusa. Pero la diferencia entre apn y r es muy
pequeña cuando n es muy grande.
Así, pues: nap r...(2)
3. ¿Qué le sucede a pn?
Por definición de la longitud de la circunferencia,
tenemos n2p c , siendo c la longitud de la cir-
cunferencia, por lo tanto:
n
n
2p 2 r
p r ...(3)
 
 
Reuniendo los resultados (2) y (3):
n n
2
n n
p ap ( r)r
p ap r
  
  
pero, como n n nA p Ap
entonces: nA A;
En consecuencia:
2A r 
Así, la fórmula familiar se ha convertido en un teo-
rema.
Teorema
El área de un círculo determinado por una cir-
cunferencia de radio r, es: 2r
En la demostración anterior el símbolo  significa:
se aproxima.
Ejemplo:
nA A, significa que el área An se aproxima al área A.
En resumen:
2A r ...(1) 
Además siendo de la longitud del diámetro, tenemos:
dd 2r;r
2
 
2dA=
2
   
2dA= ... (2)
4

Las fórmulas (1) y (2) son usadas indistintamente.
B. Sector circular
Es una región determinada por un arco de una cir-
cunferencia y dos radios.
Ejemplo: El arco AB y los radios OA y OB .
En la figura mostrada existen dos sectores circulares,
la parte sombreada y la parte no sombreada.
Sea S el área del sector circular, entonces por una regla
de tres simple tenemos:
2360 r (Área del círculo).  
S (Área del sector circular). 
Luego: 
2
S=
360

Fórmula para calcular el área del sector circular.
C. Corona circular
Sea:
A: Área de la corona circular
2 2A= (R – r )
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ÁREA DE REGIONES CIRCULARES
T: Punto de tangencia
AB = m
2mA=
4

D. Trapecio circular
Sea: A: Área del trapecio circular
mAB  
2 2A (R r )
360
  

E. Segmento circular
Un segmento circular es una región determinada por un
arco de una circunferencia y la cuerda correspondiente.
Cálculo del área del segmento circular
Sea S el área del segmento circular, luego:
S = área del sectorcircular
área de la región
triangular POQ–
2 r r SenS =
360 2
  
 
2 2r senS=
360 2
  
2rS sen
2 180
     
 
F. Lunula
Es una región no convexa limitada por dos arcos de
circunferencias secantes de distintos centros.
Lunula de Hipócrates
Sean:
A y B las áreas de las lunulas.
C: Área de la región triangular ABC.
A B C 
P y Q puntos de tangencia.
Sea: PQ = a
S: área de la región sombreada.
2aS
4
 
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ÁREA DE REGIONES CIRCULARES
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Problema 1
En los sectores circulares AOB y COD.
Si 
ABL a 3 u , OC = b, calcule m AOB .
UNI 2009 - II
A) a/5 B) a/b C) a
D) b E) ab
Resolución:
Ubicación de incógnita
Sea: m AOB 
Operación del problema
a) Sector AOB: 213S R
2
  ....... (I)
b) Sector COD: 21S b
2
  ....... (II)
Dividendo (I) y (II):
2 2 2
2
R3 R 3b
b
  
R b 3 
Sector AOB: R a 3 
(b 3) a 3  
a
b
 
Respuesta: B) a/b
Problema 2
En la figura mostrada, el área de la
superficie sombreada es:
UNI 2009 - II
A) 2(10 12 )r  B) 2(10 12 )r 
C) 2(12 7 )r  D) 2(2 12 )r 
E) 2(12 2 )r 
Resolución:
Ubicación de incógnita
"Sx"
Análisis de los datos o gráficos
2 2
1
r rS –
4 2
  
Operación del problema
Del gráfico se observa:
x 2 1S S 8S 
2 22
x
r rS 16r 8 –
4 2
    
 
  2xS 12 2 r  
Respuesta: E)   2xS 12 2 r  
Problema 3
En la figura se muestra un triángulo
rectángulo isósceles ABC. Calcular el
área de la corona circular si CT 2 3
y M, N y T son puntos de tangencia.
UNI
Nivel fácil
A) 3 B) 6 C) 5
D) 2 E) 4
Resolución:
Se pide:
2 2
coronaA (R r )   ... (1)
Del dato: AB = BC
m A m ACB 45   
En el OMA se deduce:
OM = MA = r
AO r 2 ON 
En el ONC se deduce:
ON NC r 2 
OC = 2r
OTC (Notable 30° - 60°)
r = 2 R 2 2 
En (1): 2 2coronaA ((2 2) 2 )  
coronaA 4  
Respuesta: E) 4 
problemas resueltos