SEMANA 1 2 VF Long de arco 2021-II - Patricia Torres

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PRE
2021-II
LONGITUD DE ARCO DE CIRCUNFERENCIA 
Y ÁREA DE UN SECTOR CIRCULAR
1.2
La longitud de una
circunferencia es igual a dos veces
el radio por π o el diámetro por π.
R
O
𝐋⊙ = 𝟐𝛑𝐑
Donde:
R: Radio de la circunferencia
π ≈ 3,1416
Longitud de un arco de 
circunferencia
A
𝐋
R
O θrad
B
2πL = θ 2πR
∴ 𝐋 = 𝛉𝐑
q: Número de radianes del ángulo 
central
Importante: 0 < θ < 2π
Longitud de una 
circunferencia
2π 2πR
θ L
APLICACIÓN 01:
Si en la figura mostrada se cumple que: OA = 4(OC), m<AOB = 12º.
Calcule la medida del ángulo EOD si los arcos AB y CD son
equivalentes.
A) 24°
C) 36°
B) 30°
D) 40°
E) 48°
E
D
C
B
O
A
RESOLUCIÓN:
En la figura: OA = 4(OC)
Si: OC = r ⟹ OA = 4r
⟹ AC = 3r
⟹
π
15
4r =
π
15
+ θ r
m∠AOB = 12° =
π
15
rad
Sea: m<EOD = θrad
Por dato: LAB = LCD ⟹
4π
15
=
π
15
+ θ
⟹
3π
15
= θ ⟹ θ =
π
5
∴ m∠EOD =
π
5
rad = 36° CLAVE: C
E
D
B
O
C
A
r
𝛉𝐫𝐚𝐝
r
𝛑
𝟏𝟓
𝐫𝐚𝐝
3r
θrad L2L1
h
h
Relaciones adicionales en sectores 
circulares concéntricos
θrad L2L1
h
h
𝛉 =
𝐋𝟐 − 𝐋𝟏
𝐡
Demostración
r
L2 − L1 = θ r + h −θr = θr + θh − θr
⟹ L2 − L1 = θh ∴ θ =
L2 − L1
h
1
APLICACIÓN 02:
En la figura mostrada , AOB, COD y EOF son sectores circulares
tales que LAB = 8π, LCD = 7π, LEF = 3π, FD=a y DB=b.
Calcule a/b.
A) 2
C) 4
B) 3
D) 5
E) 6
A
C
B
D
O
E
F
RESOLUCIÓN:
∴
a
b
= 4
CLAVE: C
A
C
B
D
O
E
F
Indicamos los datos en la figura
3π 7π 8π
a
b
θrad
Consideramos: m∠AOB = θ rad
De la propiedad del trapecio
circular en CDFE y ABDC:
θ =
7π − 3π
a
=
8π − 7π
b
4π
a
=
π
b
L2L1 x
a
a
b
b
𝐱 =
𝐚𝐋𝟐 + 𝐛𝐋𝟏
𝐚 + 𝐛
Demostración
θ =
x − L1
a
bx − bL1 = aL2 − ax
b + a x = aL2 + bL1
∴ x =
aL2 + bL1
b + a
=
L2 − x
b
Relaciones adicionales en sectores 
circulares concéntricos
2
L2L1 xθrad
a
a
b
b
APLICACIÓN 03:
En la figura, AOB, COD y EOF son sectores circulares.
Calcule 𝑚−1 + 𝑛−1.
A) 1/4
C) 1
B) 1/2
D) 3/2
E) 2
A
C
B
D
O
E
F
m n2
n
2m
2
RESOLUCIÓN:
∴ m−1 + n−1 = 1 CLAVE: C
A
C
B
D
O
E
F
m n2
n
2m
2
Recordemos:
L2L1 x
a
a
b
b
𝐱 =
𝐚𝐋𝟐 + 𝐛𝐋𝟏
𝐚 + 𝐛
2 =
m
2 n +
n
2 m
m
2 +
n
2
⟹m+ n = mn ⟹
m
mn
+
n
mn
= 1
Área del círculo
R: Radio del círculo
Donde
π ≈ 3,1416
R
O
𝐀⊙ = 𝛑𝐑
𝟐
Área de un sector 
circular S: área del sector 
circular AOB
2π
También:
𝐒 =
𝛉𝐑𝟐
𝟐
𝐒 =
𝐋𝐑
𝟐
𝐒 =
𝐋𝟐
𝟐𝛉
A
𝐋
R
O
θrad
BS
πR2
θ S
2πS = θπR2
S =
θR R
2
APLICACIÓN 04:
En la figura mostrada AOE y COD son sectores circulares tales que
OB = 2BC = 4u y 3LAB = 4LCD.
Calcule el área (en u2) del sector circular BOE.
A) π/3
C) π
B) 2π/3
D) 4π/3
E) 5π/3
A
C
B
DO E
RESOLUCIÓN:
∴ SBOE =
4π
3
u2 CLAVE: D
A
C
B
DO E
Indicamos el dato en la figura:
OB = 2BC = 4u
4u
4u
4u
2u
2u
α rad
π
2
− α rad
Consideramos: m∠BOE = α rad
Además: 3LAB = 4LCD
⟹ 3
π
2
− α 4 = 4 α 6
⟹ 6π − 12α = 24α ⟹ α =
π
6
Se pide calcular: SBOE =
1
2
α OE 2
⟹ SBOE =
1
2
π
6
4 2 ⟹ SBOE =
16π
12
Proporcionalidad de áreas en sectores 
circulares concéntricos
𝐒𝟏 + 𝐒𝟐
𝐒𝟏
=
𝐑
𝐫
𝟐
Demostración
S1 =
S1 + S2
S1
=
R
r
2
S1 + S2 =
θR2
2
θr2
2
r
R
𝐒𝟏
𝐒𝟐
r
R
𝐒𝟏
𝐒𝟐
θrad
1
APLICACIÓN 05:
De la figura mostrada calcule x/y, si el área del trapecio circular 
ABCD es ocho veces el área del sector circular DOC.
A) 1
C) 3
B) 2
D) 4
E) 5
A
C B
D
O
y
x
Por condición: SABCD = 8SDOC
∴
x
y
= 2
CLAVE: B
RESOLUCIÓN:
Por proporcionalidad de áreas:
SDOC + SABCD
SDOC
=
𝑥 + 𝑦
𝑦
2
⟹
S + 8S
S
=
𝑥
𝑦
+ 1
2
A
C B
D
O
y
x
S
8S
⟹ 3 =
x
y
+ 1
Proporcionalidad de áreas en sectores 
circulares concéntricos
𝐒𝟏 + 𝐒𝟐
𝐒𝟏
=
𝐋𝟐
𝐋𝟏
𝟐
Demostración
S1 =
S1 + S2
S1
S1 + S2 =
L2
2
2θ
L1
2
2θ
=
L2
L1
2
θrad
𝐋𝟏
𝐋𝟐
𝐒𝟏
𝐒𝟐 𝐋𝟏
𝐋𝟐
𝐒𝟏
𝐒𝟐
2
APLICACIÓN 06:
En la figura mostrada AOB y COD son sectores circulares, donde las 
áreas de las regiones AOB y ABDC están en la relación 25 a 24, 
además las longitudes de los arcos AB y CD suman 24 cm.
Calcule la longitud (en cm) del arco AB. 
A) 6
C) 10
B) 8
D) 12
E) 14
A
C
B
D
O
A
C
B
D
O 𝟐𝟒 − 𝐱𝐱
Además:
𝟐𝟒𝐒𝟐𝟓𝐒
Por proporcionalidad de áreas:
25S + 24S
25S
=
24 − x
x
2
⟹
7
5
=
24 − x
x
SAOB = 25S ∧ SABDC = 24S
⟹ 7x = 120 − 5x
∴ L AB = 10cm
Dato: LAB + LCD = 24 cm
Si: LAB = x cm
⟹ x = 10
⟹ LCD = 24 − x cm
RESOLUCIÓN:
CLAVE: C
SAOB + SABDC
SAOB
=
LCD
LAB
2
12𝐒
42𝐒
32𝐒
22𝐒
En la figura observamos la
secuencia de áreas
proporcionales a los
primeros números impares.
𝐒
𝟑𝐒
𝟓𝐒
𝟕𝐒
Caso particular 
1
APLICACIÓN 07:
En la figura mostrada, AOB y COD son
sectores circulares. El área de la
región sombreada es igual al triple
del área de la región no sombreada y
la longitud del arco AB es de 4u.
Calcule la longitud del arco DC (en u).
A) 6 C) 10B) 8
D) 12 E) 14
A
C
B
D
O
A
C
B
D
O
Colocamos los datos sobre la
figura y denominamos L a la
longitud del arco CD.
Luego, aplicamos la propiedad:
3SS L4
⟹ L = 2(4) ∴ L = 8u CLAVE: B
𝐒
𝟑𝐒
𝟓𝐒
𝟕𝐒
L
2L
3L
4L
RESOLUCIÓN:
𝛉
𝛂
=
𝐒𝟏
𝐒𝟐
=
𝐒𝟑
𝐒𝟒
En el gráfico se verifica:
Caso particular 
2
S1
S3
α rad
S2
S4
Demostración
Notamos que:
𝛉
𝛂
=
S1
S2
=
S1 + S3
S2 + S4
Por proporciones:
S1
S2
=
S1 + S3 − 𝐒𝟏
S2 + S4 − 𝐒𝟐
∴
S1
S2
=
S3
S4
APLICACIÓN 08:
En la figura se muestran sectores
circulares concéntricos.
Se sabe que SEOF = 7 u
2, SABED = 20 u
2 y
la suma de áreas de las regiones
sombreadas es 24 u2.
Calcule el área (en u2) del sector circular
DOE sabiendo que es menor que el área
de la otra región sombreada.
A) 5 C) 14B) 10
D) 15 E) 20
E
F
A
C
B
D
O
RESOLUCIÓN:
∴ SDOE = 10 u
2 CLAVE: B
Indicamos los datos en la figura
E
F
A
C
B
D
O
S1u
2
20u2
7u2
S2u
2
Dato: S1 + S2 = 24
Por propiedad
⟹ S2 = 24 − S1… 1
S1S2 = 7 20 … 2
(1) En (2): S1 24 − S1 = 140
S1
2 − 24S1 + 140 = 0
S1 − 14 S1 − 10 = 0
S1 = 14 ∧ S2 = 10 S1 > S2
S1 = 10 ∧ S2 = 14 S1 < S2
Área de un trapecio circular
𝐒 =
𝐋𝟏 + 𝐋𝟐
𝟐
𝐡
Demostració
n S =
L2
2
2θ
−
L1
2
2θ
⟹ S =
L2 + L1
2
h
⟹ S =
L1 + L2
2
h
L2 − L1
θh
h
L1
L2
𝐒
1
hh
L1
L2
𝐒
θrad
APLICACIÓN 09:
En la figura mostrada, AOB y COD son sectores circulares y se sabe
que LAB = 2x − 3 u, LCD = x + 1 u y AC = BD = x u y el área de la
región sombreada es 4u2, calcule x.
A) 2
C) 4
B) 3
D) 5
E) 6
A
C
B
D
O
RESOLUCIÓN:
∴ 𝑥 = 2 CLAVE: A
Indicamos los datos en la figura
A
C
B
D
O 2x − 3 x + 1
𝑥
𝑥
Además: SABDC = 4u
2
⟹
2𝑥 − 3 + 𝑥 + 1
2
∙ 𝑥 = 4
⟹ 3𝑥2 − 2𝑥 − 8 = 0
⟹ 3𝑥 + 4 𝑥 − 2 = 0
⟹ 𝑥 = −
4
3
∨ 𝑥 = 2
Pero 𝑥 > 0
h
θrad.
𝐒
Área de un trapecio circular
𝐒 =
𝛉𝐡𝟐
𝟐
Demostració
n
R
r
S =
θR2
2
⟹ S =
θ(R2 − r2)
2
⟹ S =
θh2
2
−
θr2
2
h
θrad.
𝐒
2
Del teorema de Pitágoras:
R2 − r2 = h2
APLICACIÓN 10:
En la figura, AOC y DOF son sectores circulares cuyo centro es O,
AE ⊥ OB, además LBC = 2LEF = 2πu.
Calcule el área del trapecio circular DABE en u2.
A) 16π
C) 20π
B) 18π
D) 24π
E) 30π
A
C
BD
O
E
F
RESOLUCIÓN:
∴ SABED = 18π u
2
CLAVE: B
r r
⟹ r = 6
En el trapecio: SABED =
1
2
π
3
6 3
2
A
C
B
D
O
E
F
Indicamos los datos en la figura
2π
π
r
30°
2r
r 3
60°
En el sector circular EOF30°
LBC = 2LEF = 2πu
LEF = π =
π
6
r
APLICACIÓN 11:
Se dispone de un alambre
de 12 cm de longitud y se
desea construir un sector
circular que encierre una
región de área máxima.
Calcule dicha área en cm2.
A) 7 C) 11B) 9
D) 13 E) 15
RESOLUCIÓN:
A
O BR
R
L
Por condición:
L + 2R = 12
⟹ L = 12 − 2R … 1
SAOB =
L ∙ R
2
… 2
1 en 2 : SAOB =
12 − 2R ∙ R
2
SAOB = 6R − R
2 = − R2 − 6R + 𝟗 +9
SAOB = 9 − R − 3
2
Máx. 0 ∴ SMáx. = 9 cm
2
CLAVE: B
Propiedad
Si el perímetro de un sector circular es constante, su área es
máxima cuando la longitud del arco de circunferencia es doble de
la longitud de su radio.
Si: 2R + L = k (constante)
R
A
L
B
R
𝐒O
⟹ (S)Máxima cuandoL = 2R
Además: SMáx =
k2
16
Demostración
:
SAOB =
L ∙ R
2
=
L ∙ 𝟐R
2 ∙ 𝟐
Como: L + 2R = 𝐤
El producto es máximo cuando: L = 2R =
k
2
⟹ R =
k
4
∧ L =
k
2
⟹ SMáx =
𝑘
2
𝑘
4
2
=
𝑘2
16
Además: θ =
L
R
= 2
A
O BR
R
L
𝐒
θrad
PROBLEMA 01 :
El ángulo central de un
sector circular mide 16º y
se desea disminuirlo en 7º.
Si el radio mide 27 cm, ¿en
cuánto se debe aumentar
la longitud del radio, en cm,
para que el área de dicho
sector circular no varíe?
A) 5 C) 9B) 7
D) 10 E) 12
1PC – CEPRE UNI 2015 - 2
RESOLUCIÓN:
A
B
O
16°
C
D
O
9°
Por condición: SAOB = SCOD
1
2
16°
𝜋
180°
27 2=
1
2
9°
𝜋
180°
27 + 𝑥 2
⟹ 4 27 = 3 27 + 𝑥
∴ 𝑥 = 9 CLAVE: C
PROBLEMA 02 :
En la figura, la longitud de la cuerda PA es igual a 12 m, y ABCD es
un cuadrado cuyo lado mide 3 m. Si se gira en el sentido indicado
hasta envolver toda la cuerda en el cuadrado y manteniendo la
cuerda estirada, calcule la longitud recorrida por el extremo P.
A) 6π m
C) 12π m
B) 9π m
D) 15π m
E) 30π m
C
A
D
B
P
∴ L = 15π m CLAVE: D
Esbozamos el recorrido realizado 
por el punto P.
C
A
D
B
P
Q
R
S
Completamos longitudes.
3
3
3
π
2
3
6
6
π
2
3
9
π
2
9
3
12
12
π
2
Sea L, la longitud recorrida por P
L = LPQ + LQR + LRS + LSA
L = 12
π
2
+ 9
π
2
+ 6
π
2
+ 3
π
2
RESOLUCIÓN:
⟹ L = 30
π
2
PROBLEMA 03:
Si S1 es el área del sector circular COD y S2 es el área del trapecio
circular ABCD; además, se cumple que S2 = 2S1 + 8, calcule S1 en
unidades cuadradas, sabiendo que LAB = 3LCD.
A)
2
3
C)
4
3
B) 1
D)
5
3
E) 2 D
A
C
B
O
𝐒𝟏
𝐒𝟐
D
A
C
B
O
𝐒𝟏
𝐒𝟐
RESOLUCIÓN:
De la figura, piden: S1
⟹ 3S1 + 8 = 9S1
Sea: m<COD = θrad
Sabemos:
S1 + S2
S1
=
3L
L
2
⟹
S1 + 𝐒𝟐
S1
= 9
⟹
S1 + 2S1 + 8
S1
= 9
θrad
Por dato: ⟹ 𝐒𝟐 = 2S1 + 8
∴ S1 =
4
3
CLAVE: C
PROBLEMA 04 :
En la figura, 2a = 3b y el área de la
región sombreada es cinco veces
el área del sector circular OPQ.
Determine la relación LSR/LBA.
A) 2/3
C) 3/2
B) 16/27
D) 45/16
E) 10/3
C
A
D
B
O
Q
P
R
S
a
b
1PC – ADMISIÓN UNI 2009 - 1
C
A
D
B
O
Q
P
R
S
a
b
RESOLUCIÓN:
CLAVE:B
Por condición: 2a = 3b ⟹
a
b
=
3k
2k
Sea: m∠AOB = α rad ∧ m∠POQ = θ rad
αrad θrad
Además: SABDC = 5SPOQ
2k
3k
⟹
1
2
α 5k 2 − 3k 2 = 5 ∙
1
2
θ 3k 2
⟹
α
2
16k2 =
5θ
2
9k2 ⟹
α
θ
=
45
16
… 1
Se pide: =
5
3
16
45
LSR
LBA
=
5k θ
3k α
∴
LSR
LBA
=
16
27
PROBLEMA 05 :
En la figura mostrada AOB, COD y EOF son sectores circulares
tales que S1/2 = S2/3 = S3/4 donde S1, S2 y S3 representan la áreas
de la regiones AOB, ABDC y CDFE respectivamente.
Calcule el valor de
A)
7
9
C)
1
8
B)
5
4
D)
2
3
E) 7
9
L1
2 + L2
2
L3
2
E
C
F
D
O
A
B
L1 L2 L3
1PC – CEPRE UNI 2013 - 2
E
C
F
D
O
A
B
L1 L2 L3
RESOLUCIÓN:
∴ M = 7 CLAVE: E
Por condición:
S1
2
=
S2
3
=
S3
4
= 𝔸
⟹ S1 = 2𝔸 ∧ S2 = 3𝔸 ∧ S3 = 4𝔸
𝟐𝔸 𝟑𝔸 𝟒𝔸
Por proporcionalidad de áreas:
SAOB
L1
2 =
SCOD
L2
2 =
SEOF
L3
2 =
1
k
⟹
2𝔸
L1
2 =
2𝔸 + 3𝔸
L2
2 =
2𝔸 + 3𝔸 + 4𝔸
L3
2 =
1
k
⟹ L1
2 = 2𝔸k
Se pide: M = 9
L1
2 + L2
2
L3
2
⟹M = 9
2𝔸k + 5𝔸k
9𝔸k
∧ L2
2 = 5𝔸k ∧ L3
2 = 9𝔸k
PROBLEMA 06 :
En la figura mostrada AOB, COD y EOF son sectores circulares,
donde OA = BC = DE, se sabe además que las áreas de la regiones
AOB, BCDI y DEFG son proporcionales a 3, 6 y 20.
Calcule la medida del ángulo COD.
A) 20g
C) 30g
B) 20°
D) 30°
E) 40g
O
A
H
I
C
D
G
E
F
B
O
A
H
I
C
D
G
E
F
B
De la condición: OA = BC = DE = a
SAOB
3
=
SBCDI
6
=
SDEFG
20
= 𝐒 → ቐ
SAOB = 3𝐒
SBCDI = 6𝐒
SDEFG = 20𝐒
Luego, observa que:
m∢BOI
2S
=
m∢AOH
9S
Es decir:
m∢COD
2S
=
90°
9S
Despejando:
Completamos las áreas que 
se muestran a continuación:
RESOLUCIÓN:
𝐚𝐚
𝐚
𝐚
𝐚
𝐚
𝟐𝟎𝐒
6𝐒
3𝐒
2𝐒
4𝐒
12𝐒
∴ m<COD = 20°
CLAVE: B
PROBLEMA 07 :
En la figura mostrada la longitud del radio del sector circular es
tres veces la longitud del radio de los círculos, además r = 1u,
calcule el perímetro de la región sombreada en u.
A)
4π
3
C) 2πB)
5π
3
D)
7π
3
E)
8π
3
A
BO
r
r
C
D
TP
Q
A
BO
P
Q
T
RESOLUCIÓN:
Vemos que el △ O O1O2 es equilátero
∴ 2p =
7π
3
u
CLAVE: D
1
1
1
D
1
1
1
C
1
1
O1
O2
60°
120°
120°
Completamos datos en la figura 
recordado que r = 1u y OA = 3u
2p =
π
3
3 +
2π
3
1 +
2π
3
1
Se pide: 2p = LCD + LCT + LTD
PROBLEMA 08 :
En la figura mostrada AOB y COD son sectores circulares.
Si LAF = 3x cm, LFB = 5x − 4 cm, LCE = x − 1 cm y LED = x cm,
calcule la longitud del arco AB (en cm).
A) 32
C) 26
B) 28
D) 22
E) 20
C
A
D
B
O
F
E
RESOLUCIÓN:
CLAVE: B
Completamos datos en la figura
C
A
D
B
O
F
E
3x
5x − 4
x − 1
x
α
θ
⟹
α
θ
=
x − 1
x
=
3x
5x − 4
⟹ 5x2 − 9x + 4 = 3x2
⟹ 2x2 − 9x + 4 = 0
⟹ 2𝑥 − 1 𝑥 − 4 = 0
⟹ 𝑥 = 1/2 ∨ 𝑥 = 4
⟹ 𝑥 = 4Se descarta
Se pide: LAB = 3𝑥 + 5𝑥 − 4 cm
∴ LAB = 28 cm
PROBLEMA 09 :
En la figura mostrada, AOB y PAQ
son sectores circulares, tal que la
medida de los ángulos AOB y PAQ
son: 30° y 90° respectivamente,
además OP = PA.
Calcule S2/S1.
A) 1 C) 𝜋/3B) 2
D) 3 E) 1
O
P
Q
A
B
S2
S1
O
P
Q
A
B
S2
S1
RESOLUCIÓN:
∴
S1
S2
= 1
CLAVE: A
Según el enunciado:
2k
2k
3k
3k
S3 S1 + S3 =
1
2
π
6
2 3k
2
= πk2
S2 + S3 =
1
2
π
2
2k 2 = πk
2
⟹ S1 + S3 = S2 + S330°
m∢AOB = 30° y m∢PAQ = 90°
Además OP=PA
30°
Sea S3 el área de la región APB
⟹ S1 = S2
PROBLEMA 10 :
En la figura mostrada, la medida
del ángulo AOB es de 60°, P, Q y T
son puntos de tangencia; el radio
del círculo inscrito es de 2u.
Si S1 y S2 representan las áreas de
la regiones sombreadas y en u2.
Calcule S2 − S1 (en u
2).
A) π C) 3πB) 2π
D) 4π E) 5π
P
A
Q
B
O T60° S1 S2
O1
P
A
Q
B
O T60° S1
S2
O1
2
RESOLUCIÓN:
∴ S2 − S1 = 2π CLAVE: B
Sea S, el área de la región no sombreada
Trazamos OT, bisectriz del ángulo AOB.
Trazamos O1P ⊥ OA
En el ⊿OPO1: O1P = 2 ⟹ O1P = 2 3 𝐒
𝟐𝟐 𝟑
S2 + S = π 2
2 ⟹ S2 + S = 4π… 1
S1 + S =
1
2
π
3
2 3
2
⟹ S1 + S = 2π… 2
1 − 2 : S2 − S1 = 4π − 2π
PROBLEMA 11 :
Según la figura, con el trapecio circular ABCD se forma un tronco
de cono cuyas áreas de sus bases son 4πm2 y 9πm2.
Calcule la medida del ángulo central.
A) π/4
C) π/6
B) π/5
D) π/8
E) π/9
A
C
B
D
O
12
12
A
C
B
D
O
12
12
L1L2
Sean L1 y L2 las longitudes de los arcos 
BC y AD respectivamente: 
Nos piden m< AOD: θrad θrad
θ =
L1 − L2
12
… 1
Con el trapecio circular se forma el tronco de cono 
mostrado, donde las áreas de sus base son: 
4πm2 = πa2 ⟹ a = 2 ⟹ L2 = 2π 2 = 4π
En (1):
RESOLUCIÓN:
Pero:
9πm2 = πb2 ⟹ b = 3⟹ L1 = 2π 3 = 6π
a
b θ =
6π − 4π
12
∴ θ =
π
6
CLAVE: C
PROBLEMA 12 :
Si AOB y COD son sectores circulares, tales que el área de la región
sombreada es R2, calcule el valor de: θ6 − θ2 − 4θ.
A) 5 C) 3B) 4
D) 3 E) 1
C
A
D
B
O
R
θ2Rθ rad
RESOLUCIÓN:
∴ θ6 − θ2 − 4θ = 4
CLAVE: B
En la figura vemos que 
C
A
D
B
O
R
θ2Rθ rad
LCD = θR
θR
Según dato: S = R2
Sabemos:
S
S =
L2AB − L
2
CD
2θ
= R2
θ2R 2 − θR 2
2θ
= R2 ⟹ θ3 − θ = 2… 1
⟹ θ3 − θ 2 = 4 ⟹ θ6 − 2θ4 + θ2 = 4
⟹ θ6 − 2θ 𝛉𝟑 + θ2 = 4… 2
(1) en (2): θ6 − 2θ 𝛉 + 𝟐 + θ2 = 4
θ6 − 2θ2 − 4θ + θ2 = 4
PROBLEMA 13 :
Si el perímetro de un
trapecio circular es
constante e igual a K,
calcule el máximo valor
del área de la región
limitada por dicho
trapecio circular.
A)
k2
4
C)
k2
12
B)
k2
8
D)
k2
16
E)
k2
32
RESOLUCIÓN:
C
A
D
B
O
d
L2L1
d
Sea S área de la región 
sombreada
S =
L1 + L2
2
∙ d
S
⟹ S =
L1 + L2 ∙ 𝟐d
2 ∙ 𝟐
… 1
Por condición:
L1 + L2 + 2d = k
Para que S 
sea máximo:
L1 + L2 = 2d = k/2
En (1): ∴ S =
K2
16
CLAVE: D
⟹ S =
k/2 ∙ k/2
2 ∙ 𝟐
PROBLEMA 14 :
En la figura, AOD, BOE Y COF
son sectores circulares. Si S1 y
S2 son las áreas de las regiones
ABED y BCFE respectivamente.
A)
S1
S2
C)
S1S2
2
B)
S2
S1
D) S1S2 E) S1 + S2
EF
DE
Calcule:
E
C
F
D
O A B
S1
S2
∴
EF
DE
=
S2
S1 CLAVE: B
Sean EA = h1, FB = h2, DE = m y EF = n
⟹ S2 =θ h2
2
2
E
C
F
D
O A B
S1
S2
Trazamos: CE y EP
𝐡𝟏
𝐡𝟐
θ rad
⟹ S1 =
θ h1
2
2
S2
S1
=
h2
2
h1 2
⟹
S2
S1
=
h2
h1
RESOLUCIÓN:
𝐦
𝐧
𝐡𝟐
𝐦 𝐧
𝐦
P
y vemos que:
⊿AEC ∼ ⊿EFPα
α
E
CA
α
𝐡𝟏
𝐡𝟐
F
PE
α𝐧
𝐦
⟹
EF
DE
=
n
m
=
h2
h1
=
S2
S1
PROBLEMA 15 :
Sobre una circunferencia de centro O, se tienen 3 puntos A, B y C (B
entre A y C), si el punto B divide a la longitud del arco AC de modo
que la longitud del arco AB es media proporcional entre la longitud
del arco AC y el arco BC. Se pide hallar la relación existente entre
las medidas de los ángulos AOB y BOC.
Si m∠AOB = θ y m∠BOC = α.
A) θ2 + α = θα C) θ2 + α2 = 2θαB) θ2 − α2 = θα
D) θ2 − α = 2θα E) α2 − θ2 = 2θα
RESOLUCIÓN:
∴ θ2 − α2 = θα
CLAVE: B
Condición:
⟹ (L෢AC)(L෢BC)= (L෢AB)
2
= θR 2
θ + α α = θ2
θα = θ2 − α2
L෢AC
L෢AB
=
L෢AB
L෢BC
(R(θ + α))(Rα)
A
R
O
θrad
B
αrad
C
PROBLEMA 16 :
Dos ciudades A y B se encuentran situadas sobre la línea
ecuatorial, cuando en A son las 10:00am, en la ciudad B son las
11:12am. Calcule la distancia entre A y B (en km) sobre la
superficie terrestre, asumiendo que la medida de la tierra es de
6400km.
A) 320𝜋 C) 340𝜋B) 330𝜋
D) 440𝜋 E) 640𝜋
A
B
O
6400km
RESOLUCIÓN:
Diferencia horaria entre A y B: 1h +
1
5
h =
6
5
h
L − − − −
6
5
hora
2π(6400km) − − − −24horas
24L = (
6
5
)(6400)(2π)
∴ L = 640πkm
CLAVE: E
PROBLEMA 17:
Si a un sector circular le duplicamos la longitud de su radio y
aumentamos en 20° la medida de su ángulo central, se obtiene un
arco cuya longitud es seis veces la longitud del arco inicial.
Calcule la medida del nuevo ángulo central (en radianes).
A) π/2 C) π/3B) π/3
D) π/5 E) π/6
αrad
r L
2r
α + θ rad
6L
S. circular inicial
S. circular final
A partir del gráfico
6L = (α + θ)(2r) ⟹ 6(𝛂𝐫) = (α + θ)(2r)
3α = α + θ ⟹ 2α = θ
Dato: θrad = 20° ⟹ αrad = 10°
⟹ α+ θ rad = 30°
RESOLUCIÓN:
∴
π
6
rad
CLAVE: E
PROBLEMA 18:
El la figura mostrada, el área del sector circular COD es S1 y el área
del trapecio circular ABCD es S2, además se verifica que:
4L෢DC = 3L෢AB y 3S2 = 2S1 + 12u
2
Calcule S1 en unidades cuadradas.
D
A
C
B
O
A) 18 C) 24B) 21
D) 28 E) 36
D
A
C
B
O 𝟒𝐋𝟑𝐋𝐒𝟏
De:
L෢DC
L෢AB
=
3
4 ⟹ L෢DC = 𝟑𝐋 y L෢AB = 𝟒𝐋
𝐒𝟐
32S
42S
En la condición: 3S2 = 2S1 + 12u
2
9S7S
⟹ 21S = 18S + 12u2 ⟹S = 4u2
S1 = 9S = 9(4u
2)
RESOLUCIÓN:
∴ S1= 36u
2
CLAVE: E
PROBLEMA 19:
En la figura O es el centro del arco de circunferencia ABC, donde
mAB = mBC = 60° y R = 3u.
Calcule el área de la región sombreada en u2.
A) π/2 C) 3πB) 2π
D) 4π E) 5π
M
A
C
B
O
R
N
M
A
C
B
O3
N
3
60° 60°
Del gráfico: S = SBOC ⟹ S =
1
2
π
3
3
2
60°
60°
RESOLUCIÓN:
M
A
C
B
O3
N
3
60°
𝐒
∴ S =
π
2 CLAVE: A
PROBLEMA 20:
En la figura mostrada O es el centro de los arcos de circunferencia
AB, CD y EF ; CA=2(EC), además:
L෢EF = a − b, L෢CD = a + b yL෢AB = 3a + b
Calcule S2/S1
A) 27
C) 32
B) 28
D) 36
E) 40
A
C
B
D
O
E
F
S1 S2
A
C
B
D
O
E
F
S1 S2
θ =
a + b − (a − b)
n
θ =
3a + b − (a + b)
2n
2b
n
=
2a
2n
n
2n
a + b 3a + ba − b
θrad
⟹ 2b = a
⟹
𝐒𝟏
b2
=
𝐒𝟐
7b 2 − 3b 2
RESOLUCIÓN:
∴
S2
S1
= 40
CLAVE: E
=
2b
n
=
2a
2n
PROBLEMA 21:
En la figura mostrada ABCD es un paralelogramo, B es el centro
de los arcos de circunferencia FG y DC, asimismo, D es el centro
de los arcos de circunferencia EF y AB. Si 5S1 = 4S2, calcule
S4/S3
A) 12
C) 9
B) 10
D) 8
E) 6
A
B C
DE
F
G
𝐒𝟏
𝐒𝟐
𝐒𝟑
𝐒𝟒
PROBLEMA 22:
En la figura mostrada O es el centro de los arcos de circunferencia
AC y DF ; F es punto medio de OC ; las áreas del sector circular
DOE y del trapecio circular EFCB son iguales.
Calcule L෢DE/L෢BC.
E
D
C
A
B
F
O
A) 3/4
C) 3/2
B) 1
D) 5/4
E) 5/3
PROBLEMA 23:
En la figura mostrada, O es
centro de los arcos de
circunferencia FA, EB y DC ;
OA=AB=BC.
Calcule
2L1 + 3L2
L3 − 3L1
A) 6 C) 8B) 7
D) 10 E) 12
O
F
A
B
C
E
D
L1
L2
L3
𝟐𝐒 𝟏𝟎𝐒
𝟏𝟓𝐒
PROBLEMA 24:
Un terreno tiene la forma de un sector circular y su perímetro
mide 1500m. ¿Cuál es la medida del radio (en m) del sector
circular, sabiendo que el área de este es la mayor posible?.
A) 175 C) 275B) 225
D) 375 E) 475
1PC – ADMISIÓN UNI 2009 - 2
PROBLEMA 25:
En la figura O1 y O2 son centros de la circunferencia y del arco AB; T
es punto de tangencia entre la circunferencia y dicho arco.
Si el perímetro del sector circular AO2B es 16u.
A) 1,29 C) 1,72B) 1,44
D) 1,92E) 2,24
O1
O2
A B
T
S2 S2
S1 S1
Calcule S2 − S1 en u
2 si se
conoce que el área del sector
circular AO2B es máxima.