Tema 18 - Geometría del espacio I

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69UNI SEMESTRAL 2013 - III GEOMETRÍA TEMA 19
GEOMETRÍA DEL ESPACIO I
GEOMETRÍA
I. DEFINICIÓN
Es la parte de la geometría que estudia a las figuras
geométricas cuyos puntos se encuentran en diferentes
planos.
En el espacio las figuras fundamentales son el punto, la
recta y el plano para establecer propiedades y teoremas
relacionados con el plano indicamos los axiomas siguientes:
• Cualquiera que sea el plano existen puntos que
pertenecen al plano puntos que no le pertenecen.
• Si dos planos diferentes tienen un punto en común,
entonces se intersecan en una recta.
• Si dos rectas distintas tienen un punto en común,
se pueden trazar por éstas un plano y sólo uno.
Postulado
Por tres puntos no colineales se puede trazar un plano,
y solo uno.
Teorema
Por una recta y un punto que no le pertenece se puede
trazar un plano, y solo uno.
 M L


Definición:
Si dos rectas son paralelas siempre están incluidas en
un plano.
II. POSICIONES RELATIVAS EN EL ESPACIO
A. Entre planos
1. Planos secantes
Si R  Q= L

 R y Q son secantes
2. Planos paralelos
 
Si M  N = { }
 M es paralelo al N
II. ENTRE RECTA Y PLANO
A. Recta incluida en el plano
Q
A
B
L
Si A y B 

L
A y B  Q
 L

 Q
B. Recta secante a un plano
V
Q
L
Si L

  V = {Q}
 L

es secante al V
DESARROLLO DEL TEMA
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GEOMETRÍA DEL ESPACIO I
TEMA 19
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C. Recta paralela a un plano
R
L
Si L

 R = { }
 L

es paralela al R
Observación:
Toda recta exterior al plano es paralela a dicho plano
III. ENTRE RECTAS
A. Rectas secantes
L1 L2
V
Si: 1L

  2L

 = {V}
 1L

 y 2L

 son rectas secantes
B. Rectas paralelas
a
b
V
C. Rectas alabeadas
 
a
V
b
Si: a b
 
 = { }
 a y b

 no determinan plano
 a

 y b

 son rectas alabeadas
IV. ÁNGULOS ENTRE RECTAS ALABEDAS
Si: Q a

Q b

a '/ / a
 
b '/ / b
 
 x: medida del ángulo entre a

 y b

.
Además:
Si: E  a

1b / / b
 
 x: medida del ángulo entre a

 y b

.
Definición:
Si una recta es perpendicular a dos rectas secantes es
perpendicular al plano determinado por las secantes.
 
a
b
Q
v
L
Si: a

  b

 = {V}
 L a
 

 L b
 

 L

es perpendicular al Q
Teorema 1
Toda recta perpendicular a un plano es perpendicular
a todas las rectas incluidas en el plano.
V
a
b c
d
e
L
Si: L

 es perpendicular al V y ( a

, b

, c

, d

,
e

 V)
 L

 ( a

, b

, c

, d

, e

)
Teorema 2
Teorema de las tres rectas perpendiculares.
Si :L Q

 
Q
a
b m
L
w
Mm Q


a m
 
b m 
 
 M L

w 90 
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GEOMETRÍA DEL ESPACIO I
A. Ángulo diedro
Es aquella figura geométricas formada por dos semi-
planos que tienen una recta en común y no están
contenidos en un mismo plano.
L

: arista
x : medida del ángulo diedro
B. Planos perpendiculares
Si: w = 90°
 A es perpendicular al B
 
A
B
Teorema
Si: R es perpendicular al S
a L
 

 a

es perpendicular al S
V. DISTANCIA ENTRE RECTAS ALABAEDAS
Si: a

 y b

 son rectas alabeadas
MN a


MN b


d: distancia entre a

 y b

Del gráfico:
m: distancia entre EH

 y DC

 
a

 y b

 son rectas alabeadas
• Trazar el V perpendicular a a

.
• Proyectar a

 y b

 sobre V
Luego:
P: Proyección ortogonal de a

 sobre V

1b : Proyección ortogonal de b

 sobre e V..
La distancia de p a b1 es la distancia de a

 y b

 del
gráfico es x.
Problema 1
Sobre un rectángulo ABCD, desde un
punto exterior P, se traza el segmento
PB perpendicular al plano ABC, M y N
son los puntos medios de los segmentos
AD y DC respectivamente. Si AB = PB,
BC = 2 y AB = 4, entonces la medida
del diedro P – MN – B es:
UNI 2010 - I
A)  arc tan 5 B) 5arc tan
2
 
 
 
C) 5arc tan 3
 
 
 
D) 5arc tan
4
 
 
 
E) 5arc tan 5
 
 
 
Resolución:
Piden: 
: medida del diedro
P MN B 
Analizando: ABCD: Rectángulo
BP perpendicular al plano de ABCD
problemas resueltos
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Se traza:
BH MN


entonces:
PH MN


Resolviendo en el plano del rectángulo
ABCD:
6BH
5

En PBH:
2 5Tg Tg
6 3
5
    
P MN B 
Observación:
BH RS
BH 3a
2BH 3
5


   
 
Respuesta: C) 5Arctg
3
 
 
 
Problema 2
Señale la alternativa que presenta la
secuencia correcta después de deter-
minar si la proposición es verdadera (V)
o falsa (F):
I. Si una recta AB

 y un plano P son
perpendiculares a una recta CD

,
entonces la recta AB

 y el plano P
son paralelas entre si.
II. La intersección de cuatro planos
no paralelos entre sí, siempre es
un punto.
III. Si en todo plano P determinado
por dos rectas paralelas disjuntas,
se cumple que dichas rectas son
paralelas a un segundo plano P1,
entonces P es paralelo a P1.
UNI 2009 - II
A) VFV
B) VFF
C) FFF
D) FFV
E) VVF
Resolución:
I. (F) y 

AB son perpendiculares
a 

CD pero 

AB no siempre es pa-
ralelo al .
D
C
II. (F) La intersección de cuatro planos
puede ser una recta.
III. (F) No siempre el .
P
Respuesta: C) FFF
Problema 3
Un plano H contiene un segmento AB
de longitud 16 m y P es un punto que
dista de H 8 m. Si AP BP 2 41 m  ,
entonces la medida del diedro AB es:
UNI 2008 - II
A) 37
B) 50
C) 53
D) 55
E) 60
Resolución:
Piden:
La medida del diedro:
AB x
Analizando:
PP' = 8; AB =16 y
AP = BP = 2 41
Por teorema de las tres perpendiculares:
P 'M AB y PM AB 
en PAM por Pitágoras:
 2 2 2a (2 41) 8
a = 10
En el PP'M notable.
(37° y 53°)
x = 53°
Respuesta: C) 53°