Tema 19 - Geometría del espacio II

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73UNI SEMESTRAL 2013 - III GEOMETRÍA TEMA 20
GEOMETRÍA DEL ESPACIO II
GEOMETRÍA
I. DEFINICIÓN
Es la figura geométrica formada por la unión de dos
semiplanos que tienen en común su recta de origen a
la cual se le denomina arista del ángulo diedro (Los
semiplanos deben estar en distintos planos).
Notación:
– Ángulo diedro AB

, ángulo diedro H – AB

 – F
– xoy : ángulo plano o rectilíneo del ángulo diedro.
–  : medida del ángulo diedro.
II. PLANOS PERPENDICULARES
Dos planos son perpendiculares, cuando determinan
un diedro que mide 90°.
: medida del diedro.
Si:   90
III. PLANO BISECTOR DE UN ÁNGULO
DIEDRO
Es aquel plano que contiene a la arista del ángulo diedro
y que determina con las caras otros dos ángulos diedros
de igual medida.
Todo punto del plano bisector está a igual distancia
de las caras de dicho ángulo diedro.
 
P: plano bisector del ángulo diedro
Q AB H 

Se cumple: MN MT
IV. ÁREA DE LA PROYECCIÓN ORTOGO-
NAL DE UNA FIGURA PLANA SOBRE
UN PLANO DADO
El área de la proyección ortogonal de una región plana
sobre un plano dado, es igual al producto del área de
dicha región con el coseno del ángulo diedro deter-
minado por el plano de la región y el plano dado.
DESARROLLO DEL TEMA
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GEOMETRÍA DEL ESPACIO I
TEMA 20
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Si:
A : área de la región plana
Ap : área de la proyección ortogonal de la región sobre
el plano H.
 : Medida del ángulo diedro determinado por los
planos Q y H.
Ap A cos 
V. ÁNGULO POLIEDRO
A. Definición
Es la figura geométrica formada por tres o más
regiones angulares que tiene el mismo vértice y que
dos a dos comparten un lado.
 
Polígono plano
Plano Secante
al ángulo poliedro
a
E
D
CB
A
0
b
B. Elementos
Vértice: 0
Arista: ...
Caras: AOB, BOC, ... (medidas: a, b ...)
Diedros: OE, OD, .... (medidas: , )
Notación
Ángulo poliedro O–ABCDE
Los ángulos poliedros se nombran de acuerdo a su
número de caras y pueden ser: ángulo triedro, án-
gulo tetraedro, ángulo pentaedro .................. si
tienen 3, 4, 5 caras respectivamente.
C. Propiedad
En todo ángulo poliedro la suma de las medidas de
sus caras es mayor de 0° y menor de 360°.
VI. ÁNGULO TRIEDRO
A. Definición
Es aquel ángulo poliedro de tres caras.
 
Notación:
Ángulo triedro O–ABC
Triedro O–ABC
– Medidas de las caras: a, b, c
– Medidas de los diedros: , ,  
B. Teoremas
1. En todo ángulo triedro la suma de las medidas
de las caras es mayor de 0° y menor de 360°.
0 a b c 360     
2. En todo ángulo triedro la suma de las medidas
de los ángulos diedros es mayor de 180° y menor
de 540°.
180 540        
3. En todo ángulo triedro la medida de cualquiera de
las tres caras es menor que la suma y mayor que la
diferencia de las medidas de las otras dos caras.
a c b a c   
4. En todo ángulo triedro a cara de mayor medida
se opone diedro de mayor medida y viceversa.
Si : a c    
C. Clasificación
Los ángulos triedros se clasifican según los siguientes
criterios:
1. Por la comparación de las medidas de sus
caras
– Triedro escaleno
Es aquel que tiene sus tres caras de diferentes
medidas.
Del gráfico.
Si:   a b , b c y a c
 Triedro: O-ABC: escaleno
además:         , y
– Triedro isósceles
Es aquel que tiene dos caras de igual medida
a los cuales se oponen diedros congruentes.
Del gráfico:
Si: a c
 Triedro: O–ABC: isósceles
Además:   
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GEOMETRÍA DEL ESPACIO I
Teorema
En todo triedro isósceles:
Si: m AOB m AOC   ; y
PH perpendicular a la cara BOC
OM

: bisectriz del BOC
– Triedro equilátero
Es aquel que tiene sus tres caras de igual
medida y sus tres ángulos diedros con-
gruentes.
Del gráfico:
Si: a = b = c
 Triedro: O–ABC: equilátero,,
además:
    
2. Por el número de caras rectas (de medida
igual a 90°)
– Triedro rectángulo
Es aquel que tiene una cara que mide 90°.
– Triedro bi-rectángulo
Es aquel que tiene dos caras que miden 90°.
A los cuales se oponen diedros que miden 90°.
– Triedro trirectángulo
Es aquel que tiene sus tres caras que miden
90°, entonces sus tres diedros miden 90°.
 
Problema 1
En la figura mostrada se tiene un he-
xaedro regular en el que se han tra-
zado los segmentos AG , BD y MN , tal
que M y N son puntos medios de AB y
EF respectivamente. Entonces pode-
mos afirmar que la suma de los ángulos
que forman al cruzarse en el espacio AG ,
BD y MN tomados dos a dos, es igual a:
 UNI 2003 - II
Nivel fácil
A) 120° B) 150°
C) 220° D) 180°
E) 135°
Resolución:
problemas resueltos
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GEOMETRÍA DEL ESPACIO I
TEMA 20
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• Trasladamos AG A 'B
• Trasladamos MN A 'D
Luego la intersección 2 a 2 forma un
triángulo.
  S =180°
Respuesta: D) 180º
Problema 2
En un ángulo diedro, las distancias de un
punto interior a las caras y a la arista miden
4 2 u, 4 u y 8 u respectivamente. Cal-
cule la medida del ángulo diedro.
UNI 2004 - I
Nivel intermedio
A) 65º B) 70º
C) 75º D) 80º
E) 85º
Resolución:
Trabajamos en posición de canto.
 
30º
45º
Arista 8
4 2
4
P1
P2
Respuesta: C) 75º
Problema 3
El área proyectada de un cuadrado
sobre un plano que pasa por una de
sus diagonales es de 18,6 cm2, si el
ángulo formado por dichas superficies
es de 53°. Halle el área (en cm2) del
cuadrado.
UNI 2004 - II
Nivel difícil
A) 30,0 B) 30,5
C) 30,75 D) 31
E) 31,5
Resolución:
  AHC
ABC
A
Cos53
A

ABC
3 9,3
5 A
ABCA 15,5
  ABCDA 2(15,5) 31
Respuesta: D) 30°
sus diagonales es de 18,6 cm2, si el