Tema 21 - Sucesiones

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59UNI SEMESTRAL 2013 - III ÁLGEBRA TEMA 21
SUCESIONES
ÁLGEBRA
I. DEFINICIÓN
Una sucesión es una función cuyo dominio es  y
rango un subconjunto de .
Notación:
x :
n X(n)
 

 
También:
   n nx x n x 
   n 1 2 nx : x ; x ,..., x ,...
nx es el elemento n-ésimo de  nx
Ejemplos:
1.      n nx : 2, 4, 6,...,2n,... ó x 2n
2.      n nx : 1, 3, 5,...,2n –1,... ó x 2n –1
3.      n n1 1 1 1x : 1, , ,..., ,... ó x2 3 n n
4.    
1 2 3 n n
n n
2 2 2 2 2x : , , ,..., ,... ó x
1! 2! 3! n! n!
    
  
5.    n
1 1 1 1x : , , ,..., ,...
1 2 2 3 3 4 n n 1
  
      
II. LÍMITE DE UNA SUCESIÓN
Sea {xn} una sucesión y sea L , decimos que L es el
límite de {xn} si los términos  n 0x n n  de la sucesión
se aproximan a L. Es decir:
Lim nX L 0,     un entero 0n 0, tal n   que
 entero o nn n : x L   .
Observación:
• El entero n0 depende de 0. 
• n nLim x L ó Lim x L. 
n  
Ejemplo:
Si    n 2n 1x 3n 2  , calcular Lim xn.
Resolución:

n
2n 1x
3n 2
n
n
122n 1 2nLimx Lim Lim
3n 2 2 33
n

           
 
A. Teorema
n
n
Si r 1 Lim r 0

  
Por ejemplo: 
n
Lim 0
4
   
 
B. Definiciones
Sea {xn} una sucesión:
1. {xn} es acotada superiormente, si existe 1k ,
tal que n n 1: x k   .
2. {xn} es acotada inferiormente, si existe 2k  ,
tal que n n 2: x k .  
3. {xn} es acotada si existe k > 0, tal que n :  
nx k.
DESARROLLO DEL TEMA
60UNI SEMESTRAL 2013 - III ÁLGEBRA
SUCESIONES
TEMA 21
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Ejemplo:
1. La sucesión {xn}, tal que n
1x
n
 es acotada supe-
riormente e inferiormente: n0 x 1  , luego es
acotada.
III. SUCESIONES MONÓTONAS
Sea {xn} una sucesión, diremos que {xn} es monótona
si es uno de los 4 tipos de sucesiones siguientes:
1. Sucesión creciente
Si: n n 1x x ; n   
2. Sucesión decreciente
Si: n n 1x x ; n  
3. Sucesión no decreciente
Si: n n 1x x ; n   
4. Sucesión no creciente
Si: n n 1x x ; n  
Ejemplo:
1. La sucesión n
1x
n
 es decreciente.
En efecto,   

 1 1n :
n n 1
2. La sucesión xn = n
2 es creciente.
En efecto, 2 2n : n (n 1)   
IV. CONVERGENCIA DE UNA SUCESIÓN
La sucesión {xn} es convergente si existe un único
nL / Limx L  .
Observación:
Si Limxn no existe ó es ó   , entonces de-
cimos que {xn} es divergente.
Ejemplos:
1. La sucesión    n 1x n es convergente.
En efecto: 1Lim 0.
n

2. La sucesión  
n 1
n
1x 2
3
         
 es convergente, en
efecto: 
n 1 n1 2 1 2Lim2 Lim 0 0
n 3 3 3

         
   
3. La sucesión {xn} = {(–1)n} no es convergente, en
efecto:  n 1 ; n es parLim 1
1 ; n es impar

  
el límite no es único, entonces Limxn no existe.
Teoremas
1. Toda sucesión monótona y acotada es convergente.
2. Toda sucesión convergente es acotada. Lo contrario
no necesariamente se cumple.
3. Toda sucesión monótona no acotada es divergente
a ( o  ).
V. CRITERIOS DE CONVERGENCIA
A. Criterio de la razón
Sea {xn} una sucesión en  , tal que si:


  n 1 n
nn
x
Lim 1 lim x 0
x
i.e. la sucesión converge a cero.
Observación:
Si 

n 1
n n
x
lim 1
x
, no se puede decidir nada acerca
de la convergencia.
Si 

n 1
n n
x
lim 1
x
, entonces la suceción diverge.
Ejemplos:
1. Calcular: n
n
lim x

, siendo 
n
n
ax
n!
 y  a 0 
Resolución:
 

   

n n 1
n n
a aa 0; x ; x 1
n! n 1 !
Apliquemos el criterio de la razón:
n 1 n 1
n
n
ax a n!
x n 1! n 1a
   
 
nn
a
lim 0 1 lim x 0
n 1
    

n
1lim 1 x 2,7182818...
x
    
 
e e
3. La sucesión {xn} = {(–1)
n} no es convergente, en
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SUCESIONES
Problema 1
Sea la sucesión:
1 2 3 4 5
1 3 5a 0,a 1, a , a , a ,
2 4 8
    
6 7 8
11 21 43a ,a , a ,...
16 32 64
  
entonces la sucesión {an} converge a:
UNI 2010 - I
A)
7
12
B)
5
8
C) 
2
3
D) 1
E) 
Resolución:
1 2 3 4 5 6
7 8
1 3 5 11a 0; a 1; a ; a ; a ; a ;
2 4 8 16
21 43a ; a
32 64
     
 
De donde: n 1 nn 2
a a
a ; n IN
2



  
De la sucesión recurrente:
2an+2 – an+1 – an = 0
Tenemos:
   
22x x 1 0
2x 1 x 1 0
  
  
1 2
1x x 1
2
   
Llevamos a la sucesión correspondiente:
   n nn 1a 12    
Para
1n 1 a 02
      
2n 2 a 14
     
Entonces: 4 2
3 3
    
Luego:  nn 2 4 1a 3 3 2  
Nos piden: convergencia {an}
Calculamos:
 nn
n n
2 4 1 2Lim a Lim
3 3 2 3 
 
    
 
 La sucesión converge a 
2
3
Respuesta: C) 2/3
Problema 2
Dada la sucesión 2, 6, 12, 20, 30, 42, ...
determine la suma de los 100 primeros
términos de la sucesión anterior.
UNI 2009 - I
A) 10100
B) 294880
C) 323400
D) 333300
E) 343400
Resolución:
La sucesión:
1 x 2; 2 x 3; 3 x 4; ... ; 100 x 101
 
 t100
 
1
x
n
lim 1 x

  e
 
n
n
1lim 1
n
   
 
e
2. Analizar la convergencia de:  n n
n!x
n
 
  
 
Resolución:
 
 
 

  

n n 1n n 1
n 1 !n!x x
n n 1
 
   
n n
n 1
n 1n
n 1 !x n n
x n! n 1 nn 1



   

 
  
  
 
n
1 1 1
11
n
e
n n
n!lim x lim 0
n
  
 nx es convergente.
VI. TEOREMA DEL ENCAJE
Sean las sucesiones {an}, {bn} y {cn},
tales que  n n na b c para todo  n .
n n
n n
Lim a Lim C L
 
  , entonces 

n
n
Lim b L
VII.TEOREMA DE LA MEDIA ARITMÉTICA
Sea la sucesión convergente n n 1{a } ,
si:
 
   
    
 
1 2 n
nn n
a a ... aLim{a } a Lim a; a
n

VIII.TEOREMA DE LA MEDIA GEOMÉTRICA
Sea la sucesión convergente n n 1{a } ;
si:
 
 
   nn 1 2 3 n
n n
Lim{a } a Lim a .a .a ...a a; a 
problemas resueltos
62UNI SEMESTRAL 2013 - III ÁLGEBRA
SUCESIONES
TEMA 21
Exigimos más!
Recordar:
n(n 1)(n 2)1 2 2 3 3 4 ... n (n 1)
3
             
 
100S 1 2 2 3 3 4 ...
n(n 1)(n 2)n (n 1)
3
      
       
 
= 343400
Respuesta: E) 343400
Problema 3
Tres números positivos forman una pro-
gresión aritmética y además su suma
es 21. Si a esos números añadimos 2, 3
y 9 respectivamente, obtenemos una
progresión geométrica. Hallar el produc-
to de esos números.
UNI 2008 - III
A) 231
B) 264
C) 273
D) 308
E) 420
Resolución:
Sean los 3 términos de la P.A.: a – r, a,
a + r. Piden: (a – r) a(a + r)
Dato: (a – r) + (a) + (a + r) = 21
a = 7
Dato:
(7 – r + 2); (7 + 3); (7 + r + 9)
9 – r; 10; 16 + r P.G.
2(9 r)(16 r) 10   
Conclusiones
r = 4
 los 3 términos son: 3; 7 y 11
el producto 3 7 11 231 
Respuesta: A) 231