Tema 27 - Estudio de la parábola

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91UNI SEMESTRAL 2013 - III TRIGONOMETRÍA TEMA 91
ESTUDIO DE LA PARÁBOLA
TRIGONOMETRÍA
I. LA PARÁBOLA
La parábola, como el círculo, es una de las curvas cono-
cidas como secciones cónicas, las cuales se describen
por medio de ecuaciones de segundo grado (cuadráticas)
en dos variables.
Una parábola es el lugar geométrico de un punto que se
mueve en un plano de tal forma que su distancia a un
punto fijo es siempre igual a su distancia a una recta fija.
El punto fijo de la parábola se denomina foco y la recta
fija directriz de la parábola.
 2P P(x; y) / d(P,L) d(P,F)  
A. Elementos de la parábola
1. Foco "F"
Es el punto fijo de la parábola.
2. Vértice "V"
Es el punto medio del segmento que une la di-
rectriz y el foco.
3. Eje local L1
Es la perpendicular a la directriz L.
4. Cuerda focal MN
Es el segmento que une dos puntos de la
parábola y que pasa por el foco.
5. Radio vector EF
Es el segmento que une un punto de la parábola
E y el foco F.
6. Lado recto LR
Es la cuerda focal perpendicular al eje focal.
7. Excentricidad: e
Es la razón constante entre la distancia de un
punto al foco hasta la distancia de ese punto
desde la directriz (una línea fija).
B. Ecuación de la parábola
1. Eje focal paralelo al eje "x"
• Forma canónica: V(0; 0)
Si p > 0, la parábola se abre hacia la derecha.
DESARROLLO DEL TEMA
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ESTUDIO DE LA PARÁBOLA
TEMA 28
Exigimos más!
Si p < 0, la parábola se abre hacia la izquierda.
• Forma ordinaria: V(h; k)
Si p > 0, la parábola se abre hacia la derecha.
Si p < 0, la parábola se abre hacia la izquierda.
3. Eje focal paralelo al eje "y"
• Forma canónica: V(0; 0)
Si p > 0, la parábola se abre hacia arriba.
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ESTUDIO DE LA PARÁBOLA
Exigimos más!
Si p < 0, la parábola se abre hacia abajo.
• Forma ordinaria: V(h; k)
Si p > 0, la parábola se abre hacia arriba.
Si p < 0, la parábola se abre hacia abajo.
3. Ecuación general de la parábola
2 2Ax By Cx Dy E 0    
La ecuación representa a una parábola si cumple las siguientes condiciones:
• Si el eje de la parábola es paralelo ó coinci-dente al eje x, si solo si A = 0, B 0 ; C 0 .
Entonces la ecuación se puede:
2y ay bx c 0   
• Si el eje de la parábola es paralelo ó coinci-dente al eje y si solo si A 0 ; B = 0; D 0 . Entonces la ecuación
se puede expresar en la forma:
2x ax by c 0   
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ESTUDIO DE LA PARÁBOLA
TEMA 28
Exigimos más!
Problema 1
El cable del puente colgante de la
figura tiene la forma de una parábola.
Las dos torres se encuentran a una
distancia de 150 m entre sí y los puntos
de soporte del cable en la torres se
hallan a 22 m sobre la calzada, además,
el punto más bajo de del cable se
encuentra a 7 m sobre dicha calzada.
Halle, sobre la calzada, la distancia de
un punto del cable que se encuentra
a 15 m de una de las torres.
puente
cable
15 m
torre
22 m
calzada
A) 16 m B) 15,6 m
C) 16,6 m D) 14 m
E) 14,6 m
UNI
Resolución:
Se pide y'.
22 m
calzada
Eje focal
(75, 15)
Y
15Torre
75 75
60 Rx
2 = 4py
X
Ubicando convenientemente los ejes
coordenados, X e Y se tiene que:
R (60; y' – 7)
Luego la ecuación de la parábola con
vértice en el origen.
x2 = 4 py
El extremo superior de la torre (75;15)
pertenece a la parábola, entonces
debe vericar la ecuación:
2(75) = 4p(15) 4p=375
El punto R pertenece a la parábola,
entonces (60) 2 = 375(y ' – 7) ,
operando y' = 16,6 m.
Respuesta: C) 16,6 m
Problema 2
El foco de una parábola es el punto
A(4, 0) y un punto sobre la parábola
es el punto P(2; 2), entonces, la
distancia del punto P a la recta directriz
de la parábola es:
UNI
A) 2 B) 3 C) 2 2
D) 2 3 E) 2
Resolución:
Por definición de parábola, es el lugar
geométrico de todos los puntos que
están a igual distancia de un punto fijo,
llamado foco, y de una recta, llamada
recta directriz:
2 2d (2 – 4) (2 – 0) 2 2   
Y
Recta
directriz
P(2; 2)
d
A(4; 0) X
d
Respuesta: C) 2 2
Problema 3
La gráfica adjunta corresponde a y =
x2 + 6x – 5. Se inscribe un rectángulo
con los lados paralelos a los ejes
coordenados. Entonces la expresión
para el área de rectángulo es:
Y
X3
UNI
A) 22(3 – x) 4 – (x – 3)  
B) 2(3 – x) 2 – (x – 3)  
C) 2(3 – x) 4 – (x – 3)  
D)  2x – 3(3 – x) 2 – 2
 
 
 
E)  2x – 3(3 – x) 4 – 2
 
 
 
Resolución:
La ecuación dada es:
y = –x2 + 6x – 5 = –x(x – 3)2 + 4
y su gráfico viene dado por:
Y
X3x
3 – x3 – x
2(3 – x)
(6 – x; – (x – 32) + 4)–(x – 32) + 4
4
Luego la expresión para el área del
rectángulo es:
2 22(3 – x). x(x – 3) 4 2(3 – x). 4 – (x – 3)       
 
Respuesta: A) 22(3 – x) 4 – (x – 3)  
problemas resueltos