Tema_29_Introducción_a_la_potenciación_Potenciación_de_un_polinomio

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89UNI SEMESTRAL 2013 - III ÁLGEBRA TEMA 33 - 34
INTRODUCCIÓN A LA POTENCIACIÓN
- POTENCIACIÓN DE UN POLINOMIO
I. FACTORIAL DE UN NÚMERO Z+
Llamamos así al producto que resulta de multiplicar
todos los números enteros y positivos de manera
consecutiva desde la unidad hasta el número indicado.
Notación: n! ó n
Se lee: Factorial de "n".
Así: 2 ! 1 2 2 
3! 1 2 3 6  
4 ! 1 2 3 4 24   
5! 1 2 3 4 5 120    
6 ! 1 2 3 4 5 6 720     
En general:
n! 1 2 3... (n – 2)(n –1)n  
o también: n! n(n – 1)(n – 2)...3 2 1  
Observaciones:
1. (a b) ! a! b!  
2. (ab) ! (a!) (b !) 
3. a a!!
b b!
    
Propiedades
1. on! existe n z
 
Luego:
• (–5)! No existe
• –5! Si existe
• (2/3)! No existe
• 7! Si existe
2. Por definición 1! = 1.
Por acuerdo 0! = 1.
Ejemplo: Hallar "x" en: (x – 4)! = 1
Luego: x – 4 0 x –1 1
x 4 x 5
  
 
3. Si: a! = b!  a = b * a; b  0; 1
Ejemplo: (x – 5)! = 6
  (x – 5)! = 3!
  x – 5 = 3
 x = 8
4. Todo factorial contiene en su desarrollo a otro
factorial menor.
(n 2)!
(n 1)!
n! n (n 1) (n 2)...3 2 1


  

 
n! = n(n – 1)!
n! = n(n – 1) (n – 2)!
II. NÚMERO COMBINATORIO
Representa el número de combinaciones de "n" ele-
mentos tomados de "k" en "k".
Notación: n nk k n kC C C 
Definición: nk
n!C ; n k
k !(n k) !
 

Donde: on k
    
Ejemplo:
5
2
5 ! 120C 10
2!(5 2) ! 2 6
  
 
Regla práctica:
" k " factores
n
k
n(n – 1)(n – 2)...(n – k 1) (n – k)n!C
k !(n – k) !

 

" k " factores
!
1 2 3...k (n – k)  !
ÁLGEBRA
DESARROLLO DEL TEMA
90UNI SEMESTRAL 2013 - III ÁLGEBRA
INTRODUCCIÓN A LA POTENCIACIÓN - POTENCIACIÓN DE UN POLINOMIO
TEMA 33 - 34
Exigimos más!
Propiedades
1. nk
o
C Existe n z
k z
k n


 


2. Propiedad complementaria
n n
k n–kC C
Ejemplo:
50 50
48 2
50 49C C 1225
2 1
  

3. Propiedad de igualdad
n n
p qC C
1.a Posibilidad: p = q
2.a Posiblidad: p + q = n
Ejemplo:
Hallar la suma de valores de "n" en:
10 10
n 6C C .
1.a Posibilidad: n1 = 6.
2.a Posibilidad: n + 6 = 10  n2 = 4.
Luego n1 + n2 = 10.
4. Suma de combinatorios
n n n 1
k k 1 k 1C C C

  
Ejemplo:
Hallar: 4 5 6 70 1 2 3S C C C C

   
Luego: 5 5 6 70 1 2 3S C C C C   
 
6 6 7
1 2 3S C C C  
 
7 7
2 3S C C 
 83S C
 
8 7 6S   
3 2
56
1


5. Reglas de degradación
• n n 1k k 1
nC C
k


Ejemplo: 10 93 2
10C C
3

• n nk k–1
n – k 1C C
k
 
Ejemplo: 8 8 8 85 4 5 4
8 5 1 4C C C C
5 5
   
• n n–1k k
nC C
n – k

Ejemplo: 9 84 4
9 8
4 4
9C C
9 – 4
9C C
5


III. BINOMIO DE NEWTON
(Para exponente entero y positivo)
Definición: 
n
n n n–k k
k
k 0
(x a) C x a

  
Donde: x; a 0 n  
Así: (x + a)2 = x2 + 2 x a + a2
(x + a)3 = x3 + 3x2a + 3xa2 + a3
(x + a)4 = x4 + 4x3a + 6x2a2 + 4xa3 + a4
(x + a)5 = x5 + 5x4a + 10x3a2 + 10x2a3 + 5xa4 + a5
Nos damos cuenta:
 5 5 5 5 4 5 3 2 5 2 3 5 4 5 50 1 2 3 4 5(x a) c x c x a c x a c x a c xa c a      
Luego:
 
n n n n n 1 n n 2 2 n n 3 3 n n
0 1 2 3 n
Desarrollo o expansión delbinomio
(x a) c x c x a c x a c x a ... C a        
Propiedades
1.
n
N. de términos Exponente " n" 1
de (x a)
  

Hallar el nº de términos en el desarrollo de: (x + 3y)7.
 N.º de términos = 7 + 1 = 8.
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Exigimos más!
INTRODUCCIÓN A LA POTENCIACIÓN - POTENCIACIÓN DE UN POLINOMIO
Problema 1
Si "x" es un número real tal que el
término central en el desarrollo de:
122 3x–
3 2
 
  
Es 924, hallar el valor de:
1 + x2 + x4 + x6
Nivel intermedio
A) 4
B) 8
C) 6
D) 16
E) 2
Resolución:
Sabemos que:
n n–k k
K 1 kT C x a 
C 12 71
2
T T T

 
12 12–6 6
7 6T C (2 3) (–3x 2) 924 
6 6 6
6 6
12.11.10.9.8.7 2 3 x 924
6.5.4.3.2.1 3 2
 
 x = 1
Entonces:
1 + 12 + 14 + 16 = 4
Respuesta: A) 4
Problema 2
Hallar el valor de "n" de modo que:
n
n 4
r 0
n
(2r 1) 2
r


 
   
 
Nivel difícil
A) 18
B) 16
C) 17
D) 15
E) 20
Resolución:
Sabemos:
n n
n n–1
r 0 r 0
n n
2 r n 2
r r 
   
      
   

2. Si: x = a = 1; se obtiene la sumatoria de coeficien-
tes:
n n n n n n
0 1 2 3 nc c c c ... c 2     
5 5 5 5 5 5 5
0 1 2 3 4 5c c c c c c 2 32      
n–2 n–2 n–2 n–2 n–2
0 1 2 n–2c c c ... c 2    
Hallar la suma de coeficientes en el desarrollo de:
(5x2 + y4)40
Luego: x = y = 1  (5(1)2 + (1)4)60  660
3. Término de lugar general:
Siendo: (x + a)n.
En su desarrollo: n n–k kk 1 kT c x a 
Donde: "k + 1" es el lugar.
Ejemplo:
Hallar el T61 en el desarrollo de:
B(x; y) = (3x
2 + 2y3)90
90 2 30 3 60
61 60T c (3x ) (2y )
90 30 60 60 180
61 60T c 3 x 2 y 
90 30 60 60 180
61 60T c 3 2 x y 
4. Término central ("n" exponente del binomio)
Si "n" par existe un sólo T central:
c n 1
2
T T


Si "n" impar existen 2 términos centrales:
1.er c n 1
2
T T 
 2.do c n 1 1
2
T T  

5. Suma de exponentes
Siendo B(x,a) = (x
p + aq)n
(p q)n(n 1)Exponentes
2
  
Ejemplo:
Hallar la suma de exponentes en el desarrollo de:
 393 x 4
Luego: p = 1/3; q = 1/2; n = 39.
 
1 1 39(39 1)
3 2exponentes Exp 650
2
   
     

problemas resueltos
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INTRODUCCIÓN A LA POTENCIACIÓN - POTENCIACIÓN DE UN POLINOMIO
TEMA 33 - 34
Exigimos más!
Entonces:
n n
n–4
r 0 r 0
n n
2r 2
r r 
   
      
   
n 1 n n 42 n 2 2 2   
n n 4(n 1) 2 2 2  
 n = 15
Respuesta: D) 15
Problema 3
Si: n! (n! 3) 18
n! 4


 .
Determinar el valor de:
2K n 3n 7  
Nivel intermedio
A) 47
B) 17
C) 3 3
D) 35
E) 61
Resolución:
Tenemos:
(n!)2 – 3(n!) = 18(n!) + 18 4
(n!)2 – 21(n!) – 72 = 0
(n! – 24 )(n! + 3) = 0
n! = 24 ; n! = -3
n = 4
Entonces:
2K 4 4 3 7  
K 35
Respuesta: D) 35