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ECUACIONES TRIGONOMETRICAS 
Docente: Jhon Didier Reyes molina 
Tema: Ecuaciones trigonométricas 
Objetivo: Solucionar ecuaciones trigonométricas lineales y cuadráticas. 
Fecha: noviembre 2 al 10 
 
Una cuerda de dos metros de longitud se ata de un extremo a un poste, y del otro al 
piso, a 1 m del pie del poste, de manera que queda tensionada. La longitud de la cuerda 
se mide sin contar la parte que se usa en los nudos. ¿Cuál es el ángulo que se forma 
entre la cuerda y el piso? 
 
Una ecuación es una igualdad donde interviene un valor desconocido, por ejemplo 3𝑥 + 2 = 17, 
𝑥2 + 3 = 12. 
Las ecuaciones trigonométricas son aquellas que contienen funciones trigonométricas de un 
ángulo dado (α, β, Ɵ, entre otros), las cuales son verdaderas solo para ciertos valores del ángulo 
dado. Por ejemplo 𝑐𝑜𝑠𝑥 =
√3
2
, 2𝑐𝑜𝑠𝑥 + 1 = 1, 2𝑠𝑒𝑛2𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑥 − 3 = 0. 
Las ecuaciones trigonométricas pueden ser lineales o cuadráticas, esto depende del grado que 
presente la función, la ecuación 2𝑐𝑜𝑠𝑥 + 1 = 1, es una ecuación lineal porque coseno tiene grado 
1. En cambio, la ecuación 2𝑠𝑒𝑛2𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑥 − 3 = 0 es una ecuación cuadrática ya que el mayor 
grado de la función seno en la ecuación es 2. 
Resolver una ecuación trigonométrica es determinar todos los posibles valores de la variable para 
los cuales se cumple la igualdad. 
SOLUCIÓN DE ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS LINEALES 
Estas ecuaciones se resuelven despejando la función trigonométrica hasta obtener una expresión 
de la forma 𝑓(𝑥) = 𝑘. Ejemplos, resolver las siguientes ecuaciones. 
1. √2. 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 1⇾𝑐𝑜𝑠𝑥 =
1
√2
⇾𝑥 = 𝑐𝑜𝑠−1 (
√2
2
)⇾𝑥 = 45° y 𝑥 = −315° 
2. 2. 𝑠𝑒𝑛𝑥 = −√2⇾𝑠𝑒𝑛𝑥 =
−√2
2
⇾𝑥 = 𝑠𝑒𝑛−1 (
−√2
2
)⇾𝑥 = −45° y 𝑥 = 315° 
3. 3. 𝑡𝑎𝑛𝑥 + 2 = 𝑡𝑎𝑛𝑥 
4. 2. 𝑐𝑜𝑡𝑥 − 3 = 5 
5. 3. 𝑠𝑒𝑐𝑥 = 6 
 
SOLUCIÓN DE ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS CUADRÁTICAS 
Estas ecuaciones se pueden resolver utilizando factorización, expresando la función de la forma 
𝑦2 = 𝑘, donde 𝑦 es una función trigonométrica y 𝑘 es la constante, también podemos utilizar la 
formula general 𝑥 =
−𝑏±√𝑏2−4𝑎.𝑐
2.𝑎
, cuando la ecuación cuadrática tenga la forma 𝑎𝑥2 + 𝑏. 𝑥 + 𝑐 = 0. 
Por ejemplo. 
1. 𝑠𝑒𝑛2𝑥 − 1 = 0⇾𝑠𝑒𝑛2𝑥 = 1⇾𝑠𝑒𝑛𝑥 = ±√1⇾𝑠𝑒𝑛𝑥 = 1 ⇾𝑥 = 𝑠𝑒𝑛−11⇾𝑥 = 90° y 𝑥 = −270° y 
𝑠𝑒𝑛𝑥 = −1 ⇾𝑥 = 𝑠𝑒𝑛−1(−1)⇾𝑥 = −90° y 𝑥 = 270° 
 
 
 
 
 
 
Gráficamente, la solución es 
 
 
 
 
 
2. 2𝑐𝑜𝑠2𝑥 − 1 = 0 
2𝑐𝑜𝑠2𝑥 − 1 = 0 → 2𝑐𝑜𝑠2𝑥 = 1 → 𝑐𝑜𝑠2𝑥 =
1
2
 → 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠−1 (
1
2
) → 𝑥 = 60° 𝑦 𝑥 = − 300 
3. 𝑡𝑎𝑛2𝑥 − 2𝑡𝑎𝑛𝑥 − 3 = 0 
Todas las ecuaciones cuadráticas se pueden solucionar utilizando la formula 𝑥 =
−𝑏±√𝑏2−4𝑎.𝑐
2.𝑎
 , para 
esto tendremos en cuenta lo siguiente: 
• La ecuación debe quedar escrita de la forma 𝑎𝑥2 + 𝑏. 𝑥 + 𝑐 = 0 
• Sacamos el valor de a el valor de b y el valor de c 
• Reemplazamos estos valores en la formula 𝑥 =
−𝑏±√𝑏2−4𝑎.𝑐
2.𝑎
 
• Encontramos los valores correspondientes 
𝑡𝑎𝑛2𝑥 − 2𝑡𝑎𝑛𝑥 − 3 = 0 
𝑎 = 1, 𝑏 = −2, 𝑐 = −3 
𝑡𝑎𝑛𝑥 =
−(−2) ± √(−2)2 − 4(1)(−3)
2(1)
=
2 ± √4 + 12
2
=
2 ± √16
2
=
2 ± 4
2
 
𝑡𝑎𝑛𝑥 =
2 + 4
2
=
6
2
= 3 → 𝑡𝑎𝑛𝑥 = 3 → 𝑥 = 𝑡𝑎𝑛𝑥−1(3) → 𝑥 = 71.56° ≈ 72°𝑦 𝑥 = −288° 
𝑡𝑎𝑛𝑥 =
2 − 4
2
=
−2
2
= −1 → 𝑡𝑎𝑛𝑥 = −1 → 𝑥 = 𝑡𝑎𝑛𝑥−1(−1) → 𝑥 = −45° 𝑦 𝑥 = 315° 
TALLER 
Resolver las siguientes ecuaciones trigonométricas 
1. 2𝑐𝑜𝑠𝑥 + √3 = 0 
2. 𝑐𝑜𝑡𝑥 − 5 = 3𝑐𝑜𝑡𝑥 
3. 4𝑠𝑒𝑐𝑥 − 2 = 6𝑠𝑒𝑐𝑥 
4. 2𝑐𝑜𝑡𝑥 − 3 = 5 
5. 3𝑠𝑒𝑐𝑥 = 6 
6. 1 − 𝑠𝑒𝑛2𝑥 − 3𝑠𝑒𝑛2𝑥 = 0 
7. 𝑡𝑎𝑛2𝑥 + 7𝑡𝑎𝑛𝑥 + 10 = 0 
8. 2𝑐𝑜𝑠2𝑥 − 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 1 
9. 2𝑠𝑒𝑛2𝑥 − 𝑠𝑒𝑛𝑥 + 1 = 1 
10. 𝑠𝑒𝑛2𝑥 = 2𝑐𝑜𝑠𝑥 + 2 
11. 2𝑠𝑒𝑛2𝑥 − 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 1 
12. 𝑐𝑜𝑠𝑥. 𝑡𝑎𝑛𝑥 − 𝑠𝑒𝑛2𝑥 = 0 
13. (𝑠𝑒𝑛𝑥 − 1). (3𝑐𝑜𝑠𝑥 − 4) = 0 
14. √3𝑠𝑒𝑛𝑥 − 2𝑠𝑒𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 = 0 
15. 𝑡𝑎𝑛2𝑥 − √3𝑡𝑎𝑛𝑥 = 0