ALGEBRAANUALUNI2016CESARVALLEJOred

Vista previa del material en texto

11
2
Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. 
Derechos reservados D. LEG N.º 822
Álgebra
Operaciones básicas y Potenciación
NIVEL BÁSICO
1. Calcule M.
 M = − −( )( ) + − + −( )( ) ⋅ − − − − −( )( )[ ]4 2 2 2 7 3 3 1 4· ·
A) 5 B) 4 C) 3
D) 2 E) 1
2. Sean los elementos
 A = + +1
2
1
3
1
6
 B = −2 1
5
 C = 






3
7
14
9
 D = − ÷
1
2
3
5
 Determine el valor de A · B · C · D.
A) 5 B) – 5 C) 1
D) – 1 E) 2
3. Si se sabe que
 
1 2 3
1 3 5 2 1
51
100
+ + + +
+ + + + −
=...
... ( )
n
n
 calcule n/2.
A) 50 B) 100 C) 51
D) 51/2 E) 25
4. Calcule el valor de A.
 A = + − + 

 + −



 +



 − −



2 2
1
5
1
5
3
2
3
2
4 4
3 3 10 10
( )
A) 0 B) 1 C) 16
D) 1/2 E) 32
5. Indique el valor de verdad (V) o falsedad (F) 
según las siguientes proposiciones.
 I. 
123
456
1
0


 =
 II. 
1
2
1
3
1
4
1
5
4
0
+ + +

 =
 III. 15 15 115 15
0
+ −( )( ) =
A) VVV
B) VFV
C) VFF
D) FFF
E) VVF
6. Si N = + + + 

 +



 +




− − −
− − −
2 3 6
2
3
2
7
2
5
1 1 1
3 2 1
 
 calcule el valor de 
N
153
1



−
.
A) 153/8
B) 1/8
C) 1
D) 8
E) 153
7. Calcule n si 2 1
256
2 5 30n( )( ) =  
A) 24 B) 10 C) – 24
D) – 10 E) 30
NIVEL INTERMEDIO
8. Reduzca
 
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( ) ( )( )
− − + − − + − − + − −
− + − + −
1 2 3 4 5 6 7 8
1 2 3 4 5 6 ++ −( )( )7 8
A) 1 B) –1 C) 0
D) 2 E) – 2
9. Simplifique la siguiente expresión.
 
1
2
1
3
2
2
5
2
30
30
89
3
88
3
29
1
3
+ + + + + +
+ + + + +
...
...
A) 61/91 B) 2/3 C) 1
D) 3/2 E) 30
10. Dada la igualdad
 
1
2 4
1
4 6
1
6 8
1
8 10
1
20 22
1
5 2· · · ·
...
·
+ + + + + = +
+
n
n
 calcule n+3.
A) 4 B) 7 C) 5
D) 8 E) 6
Álgebra
 
3
Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. 
Derechos reservados D. LEG N.º 822
11. Halle 6x en la siguiente ecuación.
 
1
2
1
3
1
4
24 1 1 1 2
1
24
( )x x+ +





 + = +
A) 7 B) 7/6 C) 1
D) 1/24 E) 1/6
12. Reduzca K.
 K
x x x
x x x=
+ +
+ +− − −
5 5 5
5 5 5
3 2
2 3
A) 5 B) 5x C) 52x
D) 53x E) 54x
13. Sea mn=2 y nm=3. Determine el valor de 
 m nn
m mn1 1+ ++ .
A) 17 B) 5 C) 6
D) 10 E) 20
14. Dada la siguiente igualdad
 x y z
x y
z
m n
p
3 2 5
4
1
3
1
2
( ) { } =− ++· · ·
 indique m+n+p.
A) 3 B) 100 C) 132
D) 150 E) 144
NIVEL AVANZADO
15. Indique la suma de cifras de M.
 M=3+2(7)+3(13)+4(21)+...+10(111)
A) 18 B) 3465 C) 16
D) 10 E) 20
16. Halle el equivalente de
 
11 12 13 20
1 4 9 100
2 2 2 2+ + + +
+ + + +
...
...
A) 2 B) 4 C) 72/11
D) 71/11 E) 71
17. Si
 P = +
( ) −  −
−( ) −{ }
2 2 2 2 2 2
3 2 2 5 2 2 3
2 3 3 4 7
2 4 4 4· ·
 calcule 3P.
A) 1 B) 2 C) 3
D) 1/3 E) – 1
18. Luego de reducir la expresión
 
3 3
3 3
4 4
3 3
x y y y x x
y x x y
− −
− −
( ) + ( )
( ) + ( )
 indique el exponente final de 9 si se sabe que 
x
y
= 1 .
A) 4 B) 2 C) 1
D) 3 E) 0
19. Halle 1
9




x
 si 32
1
1024
53
2 5 5x
= 








− ,
.
A) 2 B) 9 C) 1/4
D) 4 E) 3
20. En la siguiente ecuación exponencial
 x xx x
3 2 55+ =
 calcule x4.
A) 5 B) 5 C) 25
D) 4 E) 16
4
Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. 
Derechos reservados D. LEG N.º 822
Álgebra
Radicación en R
NIVEL BÁSICO
1. Calcule
 M = +243 625
256 1331
5
4 3·
A) 21/33 B) 7 C) 11
D) 1 E) 11/7
2. Halle m si
 3 9
3
4 4
1
5
m m+ −
=
A) 20 B) – 20 C) – 19
D) 19 E) 10
3. Calcule xx
24
 si x = 24 .
A) 26 B) 210 C) 46
D) 48 E) 215
4. Si se sabe que x x x x xnn n2 33 44 3 21· · ... = − 
 donde x > 0, calcule n.
A) 8 B) 9 C) 10
D) 11 E) 12
5. En la igualdad
 x x x x
n
2 353
8
60=
−
 calcule n3 .
A) 64 B) 16 C) 8
D) 6 E) 4
6. Si
 xx
x

3
3=
 calcule x3+x6+x9.
A) 9 B) 7 C) 27
D) 39 E) 45
7. Determine el valor aproximado de R2 si
 R = 3 3 3 3· · · ...
A) 9 B) 3 C) 1
D) 27 E) 1/3
NIVEL INTERMEDIO
8. Reduzca la expresión
 F x x x x xn n n n nnnnnn
m
= − − − −1 1 1 1· · ... ·
radicales
� �������� ��������
;; x > 0
A) x B) x2 C) xm
D) m E) x
9. Simplifique
 
n n n
n n n
43 65 87
1 7 26 315
+ +
+ +/
; n > 0
A) n B) n2 C) n
D) n4 E) 1
10. Simplifique
 
x
y
y
x
x y
n n
n
n n n




+ 


+( )
− −
2 2 1/
; n ∈ N y n ≥ 2
A) xy B) 1 C) (xy) – 1
D) x E) y
11. Dadas las igualdades
 nn = 39 y mm = 24 , halle n – m.
A) 43 B) 27 C) 16
D) 0 E) 11
12. Si xx
6 21 2
2=
/
, determine x12.
A) 2 2 B) 8 C) 2
D) 4 2 E) 16
Álgebra
 
5
Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. 
Derechos reservados D. LEG N.º 822
13. Si x; y; z ∈ R+, además 
x y
z
x y zm n p
·
· ·/
6
2
3
2
9= 
calcule m+n+p.
A) 0 B) 1 C) 2
D) 3 E) 4
14. Si se sabe que m2+n2=p2, halle el equivalente de
 x xnm mn
p
·
2
.
A) xmn
B) x
C) xm
D) xn
E) xp
NIVEL AVANZADO
15. Luego de reducir
 x x x n... ( )− radicales
 determine el exponente final de x
n2 .
A) 
2 1
2
n
n
−
B) 2n
C) 2n+1
D) 2n – 1
E) 2
2n
16. Luego de reducir
 95 8
1
1
9
1
2
2
−
− 










 halle la suma de sus cifras.
A) 3 B) 9 C) 10
D) 6 E) 11
17. Si xx = 


1
2
1 2/
 y x ≠ 1
2
, indique el valor de x
1
2 .
A) 2 B) 1/4 C) 4
D) 1/8 E) 1/2
18. Si se sabe que
 2 2 2 2 2 06 12 90
10 2
· · ... ;  = >
x x
 determine x .
A) 9 B) 3 C) 3
D) 2 E) 2
19. Indique el equivalente de n3/n si m nm
mn
=
−
.
A) m B) n C) m3
D) mn E) n3
20. Se sabe que
 A3 2 5 2 5 2 5= + + + ...
 Calcule A3(A9 – 4).
A) 2 B) 5 C) 10
D) 20 E) 2 5
6
Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. 
Derechos reservados D. LEG N.º 822
Álgebra
Productos notables I
NIVEL BÁSICO
1. Si P x x x x
x
= + + − + −
+
( )( ) ( )( )7 2 4 1
3 9
 ¿qué se 
sabe puede afirmar de P?
A) P=2 B) P2=1 C) P4=4
D) P=4 E) P=1/2
2. Si se sabe que 
 a b2 2 21+ =
 ab=3
 calcule a4+b4.
A) 2 B) 3 C) 4
D) 5 E) 6
3. Dada la igualdad x − =2 5, calcule x2 – 10x+3.
A) 25 B) – 22 C) – 20
D) – 30 E) 22
4. Reduzca
 
m n m n
m n m n
2 3 2 2 3 2
4 2 4 2
+( ) − −( )
+( ) − −( )
A) 
n
m
 B) m C) n
D) mn E) 
n
m




−1
5. Simplifique
 M a b a b a b a b b= − + +( ) +( ) +( )( ) 2 2 4 4 8
A) a4
B) b4
C) a2
D) b2
E) a4+b4
6. Determine
 F =
+
+
−
−
1
7 5
1
5 3
3
2
A) 5 B) 3 C) 7
D) 
7
2
 E) 0
7. Se sabe que 
 
x y z
xy z x y
+ = −
+ + =




14
3( )
 calcule 3(x2+y2+z2).
A) 8 B) 16 C) 20
D) 24 E) 30
NIVEL INTERMEDIO
8. Según la igualdad (x+1)(x+4)=7, reduzca
 (x – 1)(x+2)(x+3)(x+6)
A) – 27 B) 27 C) 7
D) 14 E) 0
9. Si x
y
y
x2
3
5+ = , calcule x y
x y
4 4
2 2
36
4
+
.
A) 20 B) 22 C) 24
D) 26 E) 28
10. Si N=x8 – 6x4 – x2, además x4=3+x, entonces 
¿qué podemos afirmar?
A) N – 9=0
B) N2=81
C) N+8=0
D) 3N=– 9
E) N/3=1
11. Determine el menor valor que toma la diferen-
cia de dos números si la suma y el producto de 
estos números son 5 y – 11/4, respectivamente.
A) 6 B) – 6 C) 5
D) – 4 E) – 9
12. Calcule S4 si
 S = +( ) +( )( )( )5 13 97 3 256 48 8
A) 316 B) 38 C) 34
D) 9 E) 3
Álgebra
 
7
Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. 
Derechos reservados D. LEG N.º 822
13. Se define
 x y
x y
=
+
1
 Calcule A= 2 1 + 3 2 + 4 3 +...+ 16 15 .
A) 2 B) 3 C) 4
D) 5 E) 6
14. Según las igualdades.
 
a b c
ab ac bc
+ +
+ +
= 3
2
 
 además, a+ab+b+ac+c+bc=10.
 Determine el valor de a2+b2+c2.
A) 28 B) 18 C) 38
D) 20 E) 10
NIVEL AVANZADO
15. Reduzca
 T n n n n= + + + + +( )( )( )( )2 1 2 2 2 3 2 4 1 
 donde n ∈ R+.
A) 4n2+10n+4
B) 4n2+10n+5
C) n2+10n+4
D) 4n2+10n – 1
E) n2+n+1
16. Si x
x
4
4
1
47+ = , calcule x
x
x
x
2
2
1 1+ + + , 
 además x > 0.
A) 7
B) 3
C) 10
D) 49
E) 0
17. Si (a+b+c+d)2=(2a+2b)(2c+2d), 
 halle el valor de 
a c
d b
b c
a d
−
−
+ −
−
, donde d ≠ b y d ≠ a.A) – 1 B) 0 C) 1
D) 2 E) 4
18. Simplifique
 
( ) ( )a b a b
ab a b
+ − −
+( )




−4 4
2 2
1
16
A) 1/2 B) 2 C) 1
D) 4 E) 1/4
19. Según el gráfico
 
ac
bA C
B
 reduzca
 a b c a b c a
a b c
b
a b c
c
+ +



+ + −


+ + −


+ + −

2 2 2 2
A) 1 B) abc C) 
bc
4
D) 
bc
2
2


 E) 
1
4
20. Si
 a+b+c=5
 ab+ac+bc=10
 abc=9
 calcule a4+b4+c4.
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5
8
Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. 
Derechos reservados D. LEG N.º 822
Álgebra
Productos notables II
NIVEL BÁSICO
1. Si el desarrollo de (a+2)3 es 
 ( ) ( )n a ma q p a+ + + + +1 22 3
 calcule 
m n p
q
+ +
.
A) 4 B) 1/4 C) 8
D) 16 E) 1
2. Si la suma de 2 números es 5 y el quíntuplo 
del producto de ellos es 40, calcule la suma de 
sus cubos.
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5
3. Simplifique
 H
x x x x y x xy y
y y y
=
+ − +( ) − − + +( )
+ − +( )
( ) ( )
( )
4 4 16
4 4 16
2 2 2
2
A) 0 B) 1/2 C) – 1/2
D) 1 E) – 1
4. Si a+b+c=0, reduzca
 
3
2
3 3 3
2 2 2
a b c
abc
ab ac bc
a b c
+ +( ) + + +
+ +( )
A) 0 B) 5 C) 1
D) 35/4 E) 1/2
5. Sea x
y
y
z
z
x
+ + = 0; x; y; z ≠ 0.
 Reduzca 
x
y
y
z
z
x
3
3
3
3
3
3+ + .
A) 3
B) 1/3
C) xyz
D) 1/xyz
E) 3xyz
6. Según la igualdad, x2+(y – 3)2=– 8x – 16, calcu-
le xy.
A) 12 B) – 12 C) 7
D) 1 E) – 1
7. Si x2+y2+z2=xy+xz+yz; x; y; z ∈ R, reduzca
 M
x y z
x y z
= + +
+ +
3 3 3
3( )
A) 1/3 B) 3 C) 2
D) 1/2 E) 1
NIVEL INTERMEDIO
8. Si x − =7 13 y F=x3 – 3x2+3x+9, entonces ¿qué 
podemos afirmar?
A) F+1=19 
B) F + =2 3
C) F − =1 4
D) F2=100
E) 
2
3
10
F =
9. Se sabe que K x
x
= + 1 y x
x
3
3
1
52+ = . 
 Calcule el valor entero de K.
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5
10. Se define m m m
m
=
+
+
18 15
9 3
 Calcule x si x2+x+1=0 y x ≠ 1.
A) 1 B) – 1 C) 2
D) – 2 E) 1/2
11. Dada la igualdad
 
m
n
n
p
p
m
+ + = 0, tal que m · n · p ≠ 0
 simplifique 
m p n m p n
m n p
6 3 6 3 6 3
3 3 33
+ +
A) 1/9 B) 9 C) 1
D) 1/3 E) 3
Álgebra
 
9
Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. 
Derechos reservados D. LEG N.º 822
12. Sean las igualdades
 a b+ = −2 π
 a+c=p – d
 b c d+ = − 2
 Simplifique
 K
a b cb a c ba b c ac
ab ac bc
= + + + + +
+ +
( ) ( ) ( )
( )
2 2 2
2
A) 1 B) – 1 C) 0
D) abc E) ab+ac+bc
13. Según la igualdad
 
x
y y xy
2
2
2
1
2
+ + = − ,
 calcule x2+y2.
A) 0 B) 4 C) 2
D) 8 E) 18
14. Dadas las igualdades
 (a+b)2=4ac
 (a+c)2=4bc
 (b+c)2=4ab
 reduzca 
a b a c b c
ab c
3 2 2 3 4
4 5
+ +
+
.
A) 3 B) 2 C) 1
D) 3/2 E) 1/2
NIVEL AVANZADO
15. Dadas las igualdades a+b+c=2 y ab
c
= −2
 determine a3+b3+c3.
A) 2 B) 4 C) 6
D) 8 E) 10
16. Se sabe que x3=y3=z3, donde x; y; z son dife-
rentes entre sí. Reduzca la expresión 
 M
x
y
y
x
x
z
z
x
y
z
z
y
= + + + + +
A) 0
B) 1
C) – 1
D) 3
E) – 3
17. Determine el valor de x
x
12
12
1+ 
 si 3 3 32x x− = − .
A) 12 B) 6 C) 0
D) 2 E) 1
18. Si a
b
a
c
b
c
2
2
9 9
2
2
9 0+ + = donde abc ≠ 0, 
 calcule 
ac
b2
.
A) 1 B) 2 C) – 1
D) – 2 E) 3
19. Si m2+n2+p2+q2+1=m+n+p+q, donde m, n, 
p, q ∈ R, halle m+n+p+q.
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5
20. Dadas las siguientes igualdades a b c+ + = 3 5 
y a2+b2+c2=15, determine a3+b3+c3.
A) 3 B) 5 C) 15
D) 15 5 E) 5
10
Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. 
Derechos reservados D. LEG N.º 822
Álgebra
Polinomios I
NIVEL BÁSICO
1. Indique el valor de 5n si P es un polinomio, 
donde P x x x nx
n
n n
( ) = − + +
− −3
2 2 21 25 .
A) 9 B) 45 C) 5
D) 50 E) 60
2. Sea la expresión F(x)=x
2 – 12x+36. 
 Determine el valor de 
P
P
18 6
6 6
+( )
+( )
.
A) 1/3 B) 1 C) 3
D) 6 E) 1/6
3. Según la expresión matemática R
x xx( ) ( )
=
+
1
1
 
 calcule R(1)+R(2)+R(3)+...+R(20).
A) 21/20 B) 20 C) 1/20
D) 1/21 E) 20/21
4. Sea el polinomio F(x – 2)=x
2+x+1 y 
 F(x)=mx
2+nx+p. Halle 
ac
b
+ 3
.
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5
5. Sea el polinomio
 P(x)=3x
7+5x5–9x3+10x8+7
 Indique el valor de verdad (V) o falsedad (F) 
respecto a las siguientes proposiciones.
 I. 0[P]=7
 II. El coeficiente principal de P es 10.
 III. Uno de los términos del polinomio tiene 
coeficiente 9.
 IV. El término independiente de P es 7.
A) VVVV 
B) FVFV 
C) FVVV
D) VFVF 
E) FVFF
6. Determine un polinomio lineal P(x) si P(2)=4 y 
 P
1
3
1

 = −
A) 3x+2 B) 3x C) x – 2
D) 3x – 2 E) 3x+1
7. Sea F(x) un polinomio constante donde 
 
F F F F
F
n( ) ( ) ( ) ( )
( )
...1 2 3 10
+ + + +
=
π
 Determine el valor de n2.
A) 10 B) 100 C) 49
D) 144 E) 81
NIVEL INTERMEDIO
8. Sea el polinomio 
 P x y x y x yx y
a b a b m n
( ; ) = + −
− +3 5
2 6 4 4 2 9 . Si P(x; y) 
 se reduce a un monomio, calcule n
a b m+ +
.
A) 2 B) 1 C) 0
D) 4 E) 1/2
9. Sea P(x)=x(x – 3)+3(3 – x). Determine el valor 
 de F
P P
P
= +
( ) + +( )
+ +( )
5 3 5 3
5 5 3
8
4
A) 5 B) 4 C) –1
D) 0 E) 1
10. Sean los polinomios
 M(x)=ax
3+bx2+cx+d
 N( y)=ay
2+d
 P(z)=az+b
 Se sabe que M(0)=2 y N(1)=P(2)=1. Halle a si 
P(a)=0.
A) 1 B) 3 C) – 3
D) 5 E) – 5
Álgebra
 
11
Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. 
Derechos reservados D. LEG N.º 822
11. Si se sabe que
 F(x)=3x+1
 F(G(x)+2)=6x+7
 halle el polinomio G(x – 2).
A) 2x B) 2x – 4 C) x+1
D) x – 2 E) x
12. Sea P x
x
x
x
x
x
−

 =
+ + −1 1 1
4
2
6
3 . Indique P(x).
A) x3+3x2+3x+1
B) x3 – 1
C) x3+x2+3x+2
D) x3+3x+1
E) x3
13. Sea P(x) un polinomio de grado m y Q(x) de 
grado n.
 Si al multiplicar los polinomios P(x) y Q(x) su 
grado es 10, y P(x) · Q
2(x) es de grado 16, halle 
n/m.
A) 3/2 B) 5/3 C) 2/3
D) 1 E) 2
14. Se sabe que M(x) es un polinomio cuadrático, 
además, su coeficiente principal es el triple de 
su término independiente y el coeficiente del 
término lineal es la mitad del término inde-
pendiente. Calcule el coeficiente principal si la 
suma de coeficientes del polinomio es 9.
A) 3 B) 6 C) 9
D) 12 E) 15
NIVEL AVANZADO
15. Sea la expresión f, donde f x f
x
x( )+ 

 =2
2014
3 
Calcule el valor numérico de f(2).
A) 2009 B) 2010 C) 2011
D) 2012 E) 2013
16. Se define a a a a aK
k
n
n
=
∑ = + + + +
1
1 2 3 ... .
 Sea f
x yx y( ; )
.=
+
1
 Determine el valor de f k k
k
+( )
=
∑ 1
1
15
; .
A) 0 B) 1 C) 2
D) 3 E) 4
17. Dadas las expresiones P x
xx( )
= +
−
1
1
 y Q
xx( )
= 1 
determine PQ P x( )( )( ).
A) Q(x)
B) P(x)+1
C) Q – 1(x)
D) – Q – 1(x)
E) – Q(x)
18. Calcule el valor de g(3) · g(5) · g(7) · g(9) · g(11) si se 
sabe que g
x m n p
x m n p
x m
n p
+ + +
+ − −




= +
+
.
A) 6 B) 8 C) 10
D) 1 E) – 1
19. Según la igualdad
 ax bx cx d mx x3 2
2 7 616 25+ + +( ) = + + +...
 Calcule el menor valor de a+d+m.
A) 9 B) 0 C) – 6
D) 6 E) – 9
20. Se sabe que P(x) es un polinomio cuadrático 
mónico, además carece de término lineal.
 Halle P(x+2) si P x xP
P x( )( )( ) = + +
( ) +4 2 210 30 5.
A) x2+4x+9
B) x2+5
C) x2+10x+20
D) x2+2
E) x4+10x2+25
Anual UNI
OperaciOnes básicas y pOtenciación
01 - E
02 - D
03 - E
04 - E
05 - C
06 - D
07 - C
08 - B
09 - A
10 - B
11 - A
12 - E
13 - A
14 - C
15 - A
16 - D
17 - A
18 - B
19 - C
20 - C
pOlinOmiOs i
01 - B
02 - C
03 - E
04 - B
05 - B
06 - D
07 - B
08 - A
09 - E
10 - B
11 - B
12 - C
13 - A
14 - B
15 - D
16 - D
17 - D
18 - A
19 - E
20 - A
radicación en R
01 - A
02 - C
03 - D
04 - C
05 - E
06 - D
07 - A
08 - A
09 - C
10 - C
11 - E
12 - B
13 - A
14 - A
15 - D
16 - B
17 - E
18 - B
19 - C
20 - D
prOductOs nOtables i
01 - C
02 - B
03 - C
04 - E
05 - A
06 - D
07 - D
08 - A
09 - B
10 - B
11 - B
12 - D
13 - B
14 - A
15 - B
16 - C
17 - B
18 - B
19 - D
20 - E
prOductOs nOtables ii
01 - b
02 - e
03 - d
04 - d
05 - a
06 - b
07 - a
08 - c
09 - d
10 - e
11 - c
12 - b
13 - c
14 - d
15 - d
16 - e
17 - d
18 - a
19 - b
20 - d
22
2
Prohibida su reproducción total o parcial sin autorizaciónde los titulares de la obra. 
Derechos reservados D. LEG N.º 822
Álgebra
Polinomios II y División algebraica I
NIVEL BÁSICO
1. Calcule la suma de coeficientes de
 P x x x xx( ) = + +( ) + − +( )5 2
4 6 3 51 1
A) 65 B) 28 C) 5
D) 82 E) 101
2. Determine n si el término independiente de
 F(x – 2)=(x+3)
n+(x –14)n – 2x es 165.
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5
3. Se tienen los polinomios
 P(x)=(2a – 1)x
5+3x3 – bx+9
 Q x c x dx ex( ) = + −( ) + +7 55 3 3 2
 Calcule a+b+c+d+e si P(x) ≡ Q(x) y e > 0.
A) 9 B) 0 C) 6
D) 1 E) – 4
4. Si m x n x p2 4 2 2 21 25 16 0−( ) + −( ) + − ≡ ,
 calcule la suma del mayor y menor valor que 
toma m+n+p.
A) 1 B) – 1 C) 2
D) – 2 E) 0
5. Calcule a+b+c si al dividir
 
ax bx cx
x x
5 3
2
7
5 4
+ + −
− +
 genera un residuo igual 2x+3.
A) 12 B) 11 C) 10
D) 9 E) 8
6. Si la división
 
ax bx cx
x x
5 3 2
3
4 8 96
3 2
+ + −
− −
 es exacta, calcule a+b+c.
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5
7. La división
 
2 9 1
2 1
3 1 4 1 7
2 1
x x x
x x
n n
n
− +
−
+ − +
+ +
 genera un cociente de grado 16.
 Indique el máxº[R].
A) 12 
B) 13 
C) 14
D) 7 
E) 8
NIVEL INTERMEDIO
8. Se tiene el polinomio
 P x x x xx
n n
( )
+ +
= −( ) ⋅ + +( ) ⋅ +( )5 2 3 5 1 2 74 1 2 3 5 7
 cuyo grado es 61. Calcule la suma de coefi-
cientes de P(x).
A) 327 B) 318 C) 912
D) 914 E) 320
9. Dado el polinomio
 M x x xx3 1
2 4 3 29 3 27 2 6 1−( ) = −( ) + −( ) + +
 calcule 
coef
T.I.
M
M
( )
( )
∑ .
A) 
63
30
 B) 
42
5
 C) 2
D) 
1
2
 E) 42
10. Se sabe que
 P(x)=(a – 1)x
2+(b – 2)x+c+3
 Q(x+2)=m
2x2+nx+7
 R(x+1)= – ax
2+(b+5)x+4 – c
 además, P(x) ≡ Q(x+1)+R(x – 1).
 Determine el valor de a+b+c.
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5
Álgebra
 
3
Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. 
Derechos reservados D. LEG N.º 822
11. Dado el polinomio idénticamente nulo
 F a x b x cx( ) = − +( ) + + −( ) + + −π π2 5 2 52
 reduzca
 R
a b a b
abc
=
+ − +( )3 3 3
A) 2 B) 3 C) 1
D) – 2 E) – 3
12. Si al dividir 
 
m x n x x
x x
−( ) + −( ) + −
+ −
4 2 5 1
12
8 6
2
 se obtiene un R(x)=5, determine el valor de 
m+n.
A) 8 B) – 9 C) – 8
D) 9 E) 0
13. Dada la división exacta
 
mx nx px x
x
8 7 6
4
2 9
1
+ + + −
−
 determine el valor de m+p.
A) 8 B) 9 C) 10
D) 11 E) 12
14. Halle el residuo de dividir
 
x x x x
x x
81 80 3 22 5 6 1
1 2
− + − +
−( ) −( )
A) 18x – 19 B) 18x+1 C) x+19
D) 18x+19 E) x – 19
NIVEL AVANZADO
15. Si F a x b x x ax bx( ) = −( ) + −( ) + + +2 5 2 3 21 4
 es un polinomio de grado mínimo no nulo, de-
termine el menor valor que toma la suma de 
coeficientes de F(x).
A) 4 B) – 2 C) 0
D) – 4 E) 2
16. Sean los polinomios
 P x x xQ x( ) −( ) = − + +5
5 69 3 2 1
 y Q x
x2 6
2 8
+( ) = +
 Determine el término independiente de P(x).
A) 0 B) 7 C) 9
D) 10 E) 36
17. Si
 M(x) ≡ N(x)+3x
 N(x – 1) – P(x) ≡ 0
 P(x – 1)=x
2+5
 calcule la suma de coeficientes del polinomio M.
A) 10 B) 11 C) 13
D) 17 E) 20
18. Si la suma de coeficientes del cociente que se 
obtiene al dividir P(x) con ax
3+2x+5 – a es 10, 
además dicha división genera un residuo igual 
a – bx2+(5+b)x+8. Calcule la suma de coefi-
cientes del polinomio P.
A) 63 B) 73 C) 83
D) 93 E) 3
19. Si el cociente que se obtiene al dividir 
P
x x
x( )
+ +2 5 3
 coincide con el divisor de dicha 
 división, y su residuo es mx+n, halle el mayor 
valor de m×n si la suma de coeficientes de P 
es 89; además, m, n ∈ Z+.
A) 7 B) 36 C) 12
D) 16 E) 15
20. Si la dividir el polinomio P(x) entre x
2 – 4x+3 se 
obtiene un residuo igual a 5x+1 y al dividirlo 
con x2 – 2x – 8 genera un resto igual a x, halle el 
resto de dividir P(x) con x
2+x – 2.
A) 8x+3 B) 8x+10 C) 
8
3
10
3
x +
D) 
10
3
8
3
x + E) 0
4
Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. 
Derechos reservados D. LEG N.º 822
Álgebra
División algebraica II
NIVEL BÁSICO
1. Se tiene la división
 
7 6 5
4 2
2 5 4
2
x x x
x x
+ + +
− +
 indique el polinomio que se obtiene al sumar 
el cociente y residuo de dicha división.
A) 3x3+2x2 – 5x – 3
B) 17x+17
C) 3x3+2x2+12x+14
D) 23x – 17
E) x3+2x2+12x – 14
2. Calcule mn
p
 si la división
 
5 7 9 8
2 3
6 5 4 3 2
3 2
x x x x mx nx p
x x x
+ − + + + −
+ − +
 es exacta.
A) 3 B) 7 C) 4
D) 1 E) 5
3. Dada la división
 
8 5 3 2
3 2
4 3 5x x x x
x
− + + +
+
 determine q(x) · R(x).
A) x4+2x3 – 3x2+2x – 1
B) 3x4+6x3 – 9x2+6x – 3
C) 4x4+4x3+4x2+4x+4
D) 4x4+8x3 – 12x2+8x – 4
E) 3x4 – 6x3+9x2+6x+3
4. Halle n si
 
4 3 10 13
2
4 3 2x x n x x n
x
− + −( ) + + +
−
 es exacta.
A) 1 B) 2 C) 3
D) – 2 E) – 3
5. Halle el residuo de dividir
 
8 16 5 1
4 8
97 96 2x x x x
x
− + − +
−
A) 19 B) 20 C) 21
D) 22 E) 23
6. Si el resto de dividir
 
3 50 1
2
5 4x nx x
x
+ − +
+
 y
 
32 16 8 10 5
1
2
5 4 3nx nx nx nx
x
− + + −
−
 es el mismo, halle n.
A) 3 B) – 3 C) – 1
D) 1 E) 2
7. Si P(x) es divisible por (x – 1)(x – 2), además 
genera un cociente x+n, calcule P(3) si se sabe 
que P( – 1)=12.
A) 8 B) 10 C) 11
D) 12 E) 20
NIVEL INTERMEDIO
8. Sea la división exacta
 
ax bx mx nx
x x
4 3 2
2
3
3
+ + + +
+ +
 donde los coeficientes del cociente son igua-
les, determine el valor de abmn.
A) 40 B) 12 C) 20
D) 10 E) 30
9. De la división
 
2 4 3 4 3 1
2 3
4 3 2
2
ax a x a x x
ax x
+ +( ) + −( ) + +
+ −
 de cociente q(x) y resto R(x), señale la proposi-
ción correcta.
A) Es exacta.
B) El residuo es un polinomio lineal.
C) Si a=2, entonces q(x)=4x
2+2x+6.
D) El cociente no depende de a.
E) q(x) · R(x)=20x
2+10x – 30.
Álgebra
 
5
Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. 
Derechos reservados D. LEG N.º 822
10. Halle la suma de coeficientes del cociente que 
se obtiene en
 
2 5
1
2
1 2 2x x x x x
x
n n n+ + + + + +
−
− − ...
A) n B) 2n C) 4n
D) n2 E) 0
11. Si los coeficientes del cociente de la división
 
mx m x nx px q
x
4 3 24
1
+ +( ) + + +
+
 son números consecutivos, además, el residuo 
es igual al doble del coeficiente principal del 
cociente, calcule m+n+p+q.
A) 30 B) 32 C) 33
D) 34 E) 35
12. Indique el resto de
 
x x x x
x x
+( ) + +( ) + −
+ +
2 4 1
4 5
6 2 2 2
2
A) 4x+18 B) – 4x – 18 C) 4x – 18
D) 0 E) – 4x+18
13. Determine el residuo de la división
 
x x x x x
x x
99 66 3 2
2
3 6 1
1
− − + + +
+ +
A) 5x – 3 B) 5x+3 C) 0
D) 3 E) 5x
14. Sea F(x) un polinomio mónico de tercer grado. 
Si F(x) es divisible entre x+2 y x+3, además, 
al dividir F(x) entre (x+1)·g(x) el R(x)=10x+12, 
determine la suma de coeficientes de F(x).
A) 26 B) 36 C) 46
D) 56 E) 66
NIVEL AVANZADO
15. Si la división
 
6 37
2 4 2
6 5 4 3 2
3 2
x mx nx px x ax b
x x x
+ + + + + +
+ + −
 genera un cociente cuyos coeficientes van au-
mentando de 2 en 2, y tiene un residuo cuyos 
coeficientes van disminuyendo de 1 en 1, cal-
cule m+n+p – a+b.
A) 32 B) 42 C) 52
D) 62 E) 72
16. Se tiene la división
 
x x x x nx p
x
n n n n+ + + + + +
−
− − −2 3 4
1
1 2 3 ...
 determine el valor de la suma de coeficientes 
del cociente.
A) n(n+1)
B) 
n n n+( ) +( )1 2
3
C) 
n n n+( ) +( )1 2
6
D) 
n n +( )1
2
E) 
n n +( )



1
2
2
17. Se sabe que
 1
1
1
2 3
1
+ + + + + =
−
−
+
b b b b
b
b
n
n
...
 además, la suma de coeficientes del cociente en
 
x x
x
n+ + +
−
1 2 5
3
 
 es 
9 3
2
10 +
. Halle n.
A) 18 B) 19 C) 9
D) 10 E) 20
Álgebra
 
6
Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. 
Derechos reservados D. LEG N.º 822
18. Se define
 an=an – 1+an – 2; n ≥ 3
 y a1=a2=1
 Si la división
 
a x a x a x a x a x a
x a
1
5
2
4
3
3
4
2
5 6
3
+ + + + +
−
 genera un R(x)=n
2+13, indique un valor de n.
A) 8 B) – 8 C) 10
D) – 10 E) – 9
19. Sea la secuencia de polinomios P1(x)=x
2+1; 
P2(x)=x
2+2; P3(x)=x
2+3; ... y R1(x); R2(x); 
R3(x); ... de modo que Rn(x) es el 
 resto de 
P
x n
n x( )
−
.
 Determine R1(x)+R2(x)+R3(x)+R4(x)+R5(x).
A) 50 
B)60 
C) 70
D) 80 
E) 90
20. Sea P(x) un polinomio de tercer grado. Si P(x) 
es divisible entre x – 1 y también entre x+3; 
además, al dividir P(x) entre x
2 – 4 el resto de 
R(x)=x+23, calcule P(4).
A) 229 
B) 230 
C) 231
D) 232 
E) 233
7
Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. 
Derechos reservados D. LEG N.º 822
Álgebra
Factorización sobre Z
NIVEL BÁSICO
1. Se sabe que x – 5 es un factor algebraico de
 P(x)=25x
10 – 625x8+2x – n.
 Calcule n2.
A) 4 B) 25 C) 49
D) 100 E) 625
2. Sea el polinomio factorizado
 P(x)=(x+1)
2(x – 2)3(x+5)4
 halle el número de factores primos y la suma 
de ellos.
A) 3 y 3x+1
B) 3 y 3x – 4
C) 4 y 3x+4
D) 3 y 3x+4
E) 3 y x – 4
3. Indique un factor primo de
 M(x; y)=x
4y+5x3y+x3y2+5x2y2
A) x+y B) x+1 C) x2
D) xy E) x+4
4. Sea el polinomio
 P(x; a; b)=4x
2+4x(a+b)+a2+b2+2ab
 determine su factor primo.
A) x+a+b
B) 2x+a+b
C) x+2a+2b
D) 2x+a+2b
E) x+2
5. Indique el factor primo común de los polino-
mios
 P(x)=3x
2 – 10x – 8
 Q(x)=6x
2+13x+6
A) 3x+2 B) x – 4 C) x+2
D) 2x+3 E) 3x+1
6. Factorice
 M(x)=x
4+7x3+15x2+19x+6
 y dé como respuesta el término lineal de uno 
de sus factores primos.
A) 3x B) 4x C) x
D) 5x E) – 2x
7. Factorice
 G(x; y)=x
2+5xy+6y2+5x+8y – 14
 e indique el factor primo de menor suma de 
coeficientes.
A) x+3y+7
B) x – 3y+7
C) x+2y – 2
D) x – 2y – 2
E) x – 3y – 7
NIVEL INTERMEDIO
8. Si P(x)=mx
4+nx3+x2+6x – 3
 tiene a f(x)=2x
2 – 3x+3 como factor algebraico, 
determine mn.
A) 8 B) – 10 C) – 30
D) – 16 E) – 40
9. Dado el polinomio factorizado
 F x x x y x a ax y;( ) = + +( ) +( ) +( ) ∧ >4 2
3 2 21 2 3 4
 indique el factor primo de mayor suma de co-
eficientes.
A) x B) x2+x+1 C) x2
D) x2+a E) 2y+3
10. Luego de factorizar
 R(a; b)=(b – 2)a
2+ab2+b2 – 2ab+a(b – 2) – 2b
 indique la suma de coeficientes de un factor 
primo.
A) 1 B) – 3 C) 2
D) – 2 E) 4
Álgebra
 
8
Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. 
Derechos reservados D. LEG N.º 822
11. Sea el polinomio
 P(a; b; c)=a
2+2ab+b2+2bc+c2+2ca – 1
 indique la suma de coeficientes de un factor 
primo.
A) 10 B) 8 C) 6
D) 5 E) 2
12. Determine la menor suma de coeficientes de 
un factor primo que se obtiene de
 F(x)=x
2+(2a – 3)x+a2 – 3a – 4
A) a+2 B) a+1 C) a – 3
D) a – 5 E) a – 1
13. Si al factorizar
 S(x)=x
4+3x3+3x2+15x – 10
 un factor primo es de la forma
 x2+ax+b, calcule el máximo valor de a+b.
A) 1 B) 2 C) 7
D) 3 E) 5
14. Al factorizar el polinomio
 N(x; y)=6x
2+xy – 2y2 – 17x – 9y+5
 uno de sus factores primos tiene la forma 
ax+by+c. Determine el mayor valor que toma 
a+b+c.
A) 4 B) – 4 C) 7
D) – 1 E) 9
NIVEL AVANZADO
15. Determine la suma de factores primos de
 Q(a; b; c)=a
2b+ac2+ab2+2abc+a2c+b2c+bc2
A) a+b+c
B) 2(a+b+c)
C) a+2b+3c
D) 3a+2b+c
E) ab+ac+bc
16. Indique un factor primo de
 M(x; y)=x
3+y3+3xy – 1
A) x+y – 1
B) x+y+1
C) x – y+1
D) x+y – 2
E) x – y – 1
17. Determine el número de factores primos de
 N x x x xx( ) = − +( ) + −( ) + −( )2
3 3 2 33 2 3 11 9
A) 3 B) 4 C) 5
D) 6 E) 7
18. Si al factorizar el polinomio
 P x xx( ) = + −( ) −3 2 1 622014 22013
 uno de sus factores primos es x a
n2 − , donde 
a; n ∈ Z ∧ an < 0, calcule a+n.
A) 2010 
B) 2011 
C) 2012
D) 2013 
E) 2014
19. Dado el polinomio
 F x x xx( ) = +( ) −( ) −( ) +1 5 9 352
 halle el término independiente de uno de sus 
factores primos.
A) 10 B) – 2 C) – 4
D) 1 E) 5
20. Sea
 P x n x n x n xx( ) = + +( ) + +( ) + +( ) +
4 3 22 2 6 2 4 8
 indique la cantidad de valores que toma n, de 
modo que P(x) tenga solamente 3 factores pri-
mos en Z.
A) 1 
B) 2 
C) 3
D) 4 
E) 5
9
Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. 
Derechos reservados D. LEG N.º 822
Álgebra
Factorización sobre Q
NIVEL BÁSICO
1. Si 1/2 es una raíz del polinomio
 P(x)=1024x
9 – 64x5+8x2 – nx+3
 calcule n2.
A) 10 B) 100 C) 25
D) 16 E) 144
2. Dado el polinomio
 F(x)=2x
3+kx2+px+6
 indique la alternativa que no es una PRR.
A) – 1/2 B) 3 C) – 6
D) 3/2 E) 1/4
3. Factorice P(x)=6x
3 – 11x2+6x – 1.
 Dé como respuesta el factor primo de menor 
suma de coeficientes.
A) 3x – 1 B) x – 1 C) 2x – 1
D) x+4 E) x – 6
4. Si al factorizar G(x)=6x
3 – 7x2+1
 uno de sus factores primos es de la forma 
ax+b, donde a, b ∈ Z ∧ a > 2; calcule ab.
A) 3 B) 1 C) 2
D) 4 E) 1/2
5. Determine la suma de factores primos del po-
linomio N(x)=x
3 – 12x2+44x – 48
A) 3x – 2 B) x – 12 C) 3(x – 4)
D) 6x – 1 E) 3x+12
6. Factorice P(x)=x
4 – 2x3 – x2+3x – 2
 y dé como respuesta un factor primo.
A) x+2 B) x3 – x+1 C) x3+x+1
D) x – 1 E) x2+1
7. Factorice
 J x x x xx( ) = +( ) + +( ) −3
2 32 3
 Dé como respuesta la suma de coeficientes de 
un factor primo.
A) –1 B) 3 C) 4
D) 5 E) 0
NIVEL INTERMEDIO
8. Se sabe que –1 es raíz de
 R(x)=9x
5+27x4+15x+k
 Calcule el valor numérico de R(k).
A) – 48 B) 42 C) – 42
D) 0 E) 48
9. Si n representa la cantidad de PRR de
 P(x)=x
8+5x2 – 8 y m representa la cantidad de
 PRR de Q(x)=7x
3+2x2 – x – 7. Calcule mn.
A) 10 B) 6 C) 60
D) 80 E) 48
10. Del polinomio P(x)=x
3+4x2+4x+3; se puede 
afirmar que
A) tiene 3 factores primos.
B) es primo.
C) la suma de coeficientes de un factor primo 
es 5.
D) tiene un factor primo cuadrático.
E) x – 3 es un factor primo.
11. Determine la suma de factores primos no co-
munes de
 A(x)=x
4 – 4x3+6x2 – 5x+2 y
 B(x)=x
3 – 7x+6
A) x2 – x+1
B) x2+3
C) x2+2x+1
D) x2+4
E) x2+x+3
Álgebra
 
10
Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. 
Derechos reservados D. LEG N.º 822
12. Sea el polinomio
 N(x)=x
3+kx2+(3 – k)x – 4
 determine el valor de k para que N(x) tenga so-
lamente 2 factores primos, además, k > 0.
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5
13. Indique el número de factores primos de
 P(x)=x
5 – 5x4+10x3 – 10x2+5x – 1
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5
14. Sea G(x)=x
5+2x4+x3+x2+1.
 Indique e factor primo de menor grado.
A) x2 – x+1
B) x2+x+1
C) x2+1
D) x2 – x – 1
E) x2+x – 1
NIVEL AVANZADO
15. Si P(x)=x
3 – 2x+10, entonces se puede afirmar 
que
A) P(x) tiene 2 factores primos.
B) P(x) tiene 3 factores primos lineales.
C) –10 es una raíz de P(x).
D) x – 5 es un factor primo de P(x) .
E) P(x) es primo.
16. Halle la suma de factores primos del polino-
mio M(x)=(x – 7)
3 – 6(x – 7)+11x – 83.
A) 3x – 27
B) 3x – 6
C) x2+2x – 6
D) x2+x – 4
E) 3x
17. Halle la suma de coeficientes de un factor pri-
mo del polinomio
 G(x)=x
5+x4+x2 – 5x+2
A) 1 B) –1 C) 4
D) 2 E) 5
18. Halle un factor primo del polinomio
 F(x)=2x
5+x4 – 10x3 – 5x2+8x+4
A) x2+1 B) 2x – 1 C) x+4
D) x3+x+1 E) 2x+1
19. ¿Cuántos factores primos tiene el polinomio
 f(x)=(x – 1)
5+x?
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5
20. Se sabe que f(x) y g(x) son los factores primos 
de mayor y menor grado, respectivamente, de 
R(x)=x
5 – x4+4x3 – 2x2+2x+1. Determine f(1)+g(2).
A) 7 B) – 3 C) 0
D) 8 E) 2
11
Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. 
Derechos reservados D. LEG N.º 822
Álgebra
Números complejos
NIVEL BÁSICO
1. Determine
 M=i+i2+i3+...+i4
10
A) i B) 1 C) 0
D) – 1 E) – i
2. Sean los números complejos
 z1=x
2+16i ∧ z2=25+y
2i
 Si z1=z2, indique un valor que tome x+y.
A) 10 B) – 1 C) 2
D) 5 E) – 5
3. Si z=5(cos53+isen53º) y 
 w i= +( )2 45 45cos º sen º
 calcule z+w y z · w.
A) 4+5i; 1+7i
B) 5+4i; –1+7i
C) 4+5i; –1 – 7i
D) 4+5i; –1+7i
E) 5 – 4i; 1+i
4. Calcule un valor de 2a+1 si
 z
a ni
ani
=
+
+
3
12
 es un complejo real, 
 donde a ∈ R ∧ n ∈ R – {0}.
A) – 13 B) – 11 C) 10
D) 14 E) 9
5. Sea z ∈ C, donde
 Re(z)=Re(z*)+8 y
 Im(z*)=3 Im(z) – 20
 Determine el equivalente a z.
A) 4+5i B) 5+4i C) 4 – 5i
D) 5 – 4i E) – 5+4i
6. Indique el |z| si
 z
i i
i
= +
( ) +( )
+( )
3 4 1 3
1
2
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5
7. Se sabe que
 
z i
i
i
z
z
1
3
2 22−( )
−
=
+
∈; C
 Determine z8 .
A) 2 B) – 2 C) 4
D)16 E) 1
NIVEL INTERMEDIO
8. Calcule
 M i i i i= + + + +2 2
2 23 24 ...
20 términos
� ����� �����
A) 20 B) 0 C) i
D) – i E) 18
9. Dada la igualdad
 1+2+3+...+10+22bi=5a+
+(1×2+2×3+3×4+...+10×11)i
 donde a b i; ∈ ∧ = −R 1,
 halle a+b.
A) 11 B) 20 C) 40
D) 31 E) 0
10. Sean los números
 z=a+5i
 w=4+bi; a; b ∈ R
 Si 2z+3w=Im(w)+Re(z)i,
 calcule 10b.
A) – 64 B) −
32
5
 C) – 32
D) 32 E) 
32
5
11. Reduzca
 z
i i i i
i i
=
+( ) + +( ) −( )
+( ) +( )
2 1 2 13 17 13 17
2 5 3
A) 0 B) 1 C) i
D) – i E) 2
Álgebra
 
12
Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. 
Derechos reservados D. LEG N.º 822
12. Dado el número complejo
 z i= +3 5
 y f(x)=x
2+6x+10
 determine el valor de f z *( ).
A) – 25 B) 25 C) – 4
D) 4 E) 5i
13. El número complejo z0 satisface la ecuación
 
5 3
4
2
2
0
+
− +
= −
i
i
i
z
i
 Determine el valor de f(z0), donde
 f(x)=x
2 – 3x+3
A) 1+i B) 1 – i C) – 2+i
D) 2 2+ i E) i
UNI 2000 - II
14. Sea z=x+yi; i = −1; z ≠ 0, además
 
z
n i
ni z
i+
=
+( )
+
1
15 8
 Determine n.
A) 4 B) – 4 C) 4 ∨ – 4
D) 16 E) – 16
NIVEL AVANZADO
15. Sea S nin
n
=
=
∑
1
100
 Determine 
S
i1+
.
A) 50 B) – 50i C) 50i – 50
D) 100 E) 100i
16. Si la gráfica
 
Im
Re
z
 representa el número complejo
 z
i
ai
a
a
a=
+
+
−
+
∈
1
1 1 2
; R
 señale la alternativa correcta.
A) a > – 1 
B) a < 1 
C) a > 0
D) a=0 
E) a > 1
17. Se sabe que w i= − +1
2
3
2
.
 Calcule wn
n=
∑
0
98
.
A) w B) 1 C) 0
D) i E) – i
18. Si se cumple que
 z z z i+ = +* 48
 calcule z.
A) 2 2 3+ i
B) 2 3 1i −( )
C) 2 3+ i
D) 2 3 2− i
E) − −2 3i
19. Se sabe que
 1 1 1 1 25002 3 4+( ) + +( ) + +( ) + +( )  = −i i i i
n
 Calcule n4.
A) 256 B) 81 C) 16
D) 625 E) 1
20. Sea z ∈ C, donde
 z – 2+i=x+yi ∧ |z+4+6i|=4
 Indique la alternativa correcta.
A) (x – 6)2+(y – 7)2=16
B) (x+6)2+(y+7)2=16
C) (x+6)2+(y – 7)2=4
D) (x+6)2+(y – 7)2=16
E) (x – 6)2+(y+7)2=4
Anual UNI
Polinomios ii y División algebraica i
01 - d
02 - b
03 - a
04 - e
05 - a
06 - C
07 - a
08 - d
09 - a
10 - C
11 - b
12 - b
13 - b
14 - a
15 - b
16 - b
17 - d
18 - C
19 - d
20 - C
División algebraica ii
01 - c
02 - d
03 - d
04 - e
05 - a
06 - c
07 - d
08 - a
09 - d
10 - b
11 - e
12 - e
13 - a
14 - b
15 - b
16 - c
17 - b
18 - e
19 - c
20 - c
Factorización sobre Z
01 - d
02 - d
03 - a
04 - b
05 - a
06 - d
07 - c
08 - d
09 - d
10 - c
11 - e
12 - c
13 - e
14 - a
15 - b
16 - a
17 - c
18 - b
19 - c
20 - b
Factorización sobre Q
01 - b
02 - e
03 - b
04 - a
05 - c
06 - b
07 - d
08 - a
09 - c
10 - d
11 - d
12 - c
13 - a
14 - b
15 - e
16 - a
17 - d
18 - e
19 - b
20 - d
números comPlejos
01 - c
02 - b
03 - d
04 - b
05 - a
06 - e
07 - d
08 - e
09 - d
10 - a
11 - e
12 - c
13 - e
14 - c
15 - b
16 - e
17 - c
18 - b
19 - a
20 - d
Álgebra
 
2
Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. 
Derechos reservados D. LEG N.º 822
Álgebra
Ecuaciones polinomiales
NIVEL BÁSICO
1. Si 2 es solución de la ecuación
 
x
x nx nx
10
9 2
2
5 3 70− + − =
 calcule n2.
A) 5 B) 25 C) 9
D) 16 E) 4
2. Indique qué valores debe tomar a para que la 
ecuación de incógnita x 
 a x x2 5 2− = + 
 sea compatible determinada.
A) R – {1; – 1} B) R – {1} C) R – { – 1}
D) R E) 1 ∨ – 1
3. Si la ecuación n x m2 24 9−( ) = − es compati-
ble indeterminada, calcule un valor de m+n si 
se sabe que x es la incógnita de la ecuación.
A) 2 B) 4 C) – 1
D) 6 E) 0
4. Determine el valor de n3 si la ecuación 
n(nx – 1)=4(4x – 1) de incógnita x es incompatible.
A) – 4 B) 4 C) 64
D) – 64 E) 16
5. Respecto a la ecuación polinomial de incóg-
nita x 
 (x – 1)3(x+2)2(2x – 1)(2x – 3)4=0
 indique el valor de verdad (V) o falsedad (F) 
de las siguientes proposiciones y elija la se-
cuencia correcta.
 I. La ecuación tiene 10 raíces.
 II. 1 es raíz simple.
 III. – 2 es una raíz doble.
 IV. La suma de sus soluciones es 1.
A) VVVV B) VFVV C) VFVF
D) FVVF E) FVFV
6. Resuelva
 
x x−
+
+
=
5
45
2
52
2
A) 50 B) {45} C) {50}
D) {52} E) 52
7. Si b es solución de la ecuación lineal
 
x x x
x
+
−
−
+ =
−
−
3
2
5
3
4
1
6
, calcule el valor de 4b.
A) 21 B) – 21/4 C) 42
D) 1 E) – 21
NIVEL INTERMEDIO
8. Si se sabe que x0 es solución de x
5 – 2x3+5=0, 
 determine el valor de 
x
x
0
5
0
3
7
1
+
+
.
A) 5 B) 4 C) 3
D) 2 E) 1
9. ¿Qué valores debe tomar n si 
 x n n n x2 2 2 1 2+ +( )= −( )+ tiene finitas soluciones?
A) R – { – 3}
B) R – { – 1; – 2}
C) R – { – 1}
D) R
E) R – { – 1; – 3}
10. Dada la ecuación de infinitas soluciones
 m(x – 1)+3x=– n(x+1) – 5,
 donde x es la incógnita, halle el valor de m · n.
A) – 4 B) 4 C) – 3
D) – 15 E) 3
11. Si la suma de raíces de la ecuación 
 x m x n x p−( ) ⋅ −( ) ⋅ −( ) =2 6 3 03 2
 de incógnita x, es 120, calcule 5(m+n+p).
A) 20 B) 50 C) 100
D) 500 E) 10
Álgebra
 
3
Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. 
Derechos reservados D. LEG N.º 822
12. Calcule la suma de raíces de la ecuación poli-
nomial de incógnita x
 nx x n x
n−( ) +( ) −( ) =1 4 02 5 si tiene 10 raíces.
A) 1 B) 0 C) 1/3
D) – 7/3 E) – 1/2
13. Halle la solución de la ecuación
 
x a b
c
x c
a b
x
a b c
− −
+
−
+
+
+ +
= 3
A) 3 B) abc C) a+b+c
D) 
1 1 1
a b c
+ + E) ab+ac+bc
14. Resuelva la siguiente ecuación lineal.
 m x n x m x m n2 3 24 3 2 2 48−( ) + +( ) + −( ) + + =
A) { – 14} B) {14} C) – 14
D) 14 E) {4}
NIVEL AVANZADO
15. Calcule x
x
1
1
1
− si x1 es solución de 
 x4 – 23x2+1=0.
A) − 3 B) 3 C) – 1
D) 0 E) 2
16. Sea la ecuación compatible indeterminada de 
incógnita x
 x m n m n x2 26 2 5 1+( )+ = + −( )
 halle m+n.
A) 1 B) – 1 C) 2
D) – 2 E) 0
17. Dada la ecuación polinomial
 (x – m)m(x – n)n(x – p)p=0; m ≠ n ≠ p
 donde la suma de sus raíces es 29 y la suma de 
sus soluciones es 9, indique el valor de la suma 
de productos binarios de sus soluciones.
A) 20 B) 22 C) 23
D) 25 E) 26
18. Resuelva la siguiente ecuación de incógnita x 
si el número de raíces es igual al número de 
soluciones.
 x n x p n x m p
p n n m m p− +( ) ⋅ − +( ) ⋅ + +( ) =− − −1 3 02
2 2 2 2 2
A) {0; – 1; 2} 
B) {0; 2; – 2} 
C) {1; 2; – 2}
D) {1; – 1; 2} 
E) { – 1; 2; – 2}
19. Sea la ecuación lineal de incógnita x
 
x m n p
m n q
x m n q
m n p
x
p q m n
− − −
+ +
+
− − −
+ +
=
+ + +( )
2
2
 halle x – 2(m+n).
A) pq B) p – q C) p+q
D) 1 E) p/q
20. Sea la ecuación
 
2
3 2
40
2
1
20 x
k kk + +
=
=
∑
 indique su solución.
A) 36 B) 38 C) 40
D) 44 E) 48
Álgebra
 
4
Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. 
Derechos reservados D. LEG N.º 822
Álgebra
Ecuaciones cuadráticas
NIVEL BÁSICO
1. Resuelva
 3(x+1)(x – 1)+7x=5 – 3x
A) 
3
2
4;{ } B) 23 4;{ } C) 23 4; −{ }
D) − −{ }23 4; E) 32 4; −{ }
2. Indique la menor solución de
 x2 – 8x+16=n si n > 0.
A) 4 + n B) 4 C) n
D) 2 + n E) 4 − n
3. Si x1 y x2 son raíces de la ecuación
 3x2+4x+2=0, calcule x x x x1
3
2 1 2
3
+ .
A) 
4
9
 B) 
2
9
 C) 
4
27
D) 
8
27
 E) 1
4. Si la ecuación x2 – 3x+1=0 tiene raíces a y b, 
determine el valor de a6+b6.
A) 320 B) 321 C) 322
D) 233 E) 343
5. Sea la ecuación cuadrática
 (m – 1)x2+(m – 2)x+m – 2=0 de solución úni-
ca, determine el valor de m si la suma de sus 
raíces es diferente de cero.
A) 2 B) 2/3 C) – 2
D) – 2/3 E) 0
6. Indique una ecuación cuadrática de raíces 
2+3i y 2 – 3i.
A) x2+4x+13=0
B) x2+4x – 13=0
C) x2 – 4x – 13=0
D) x2 – 13x+4=0
E) x2 – 4x+13=0
7. Calcule el mayor valor de m+n si las ecuaciones
 m x x p2 24 2 12 0+( ) + + =
 2x2+(n – 5)x+3p=0
 son equivalentes.
A) 11/2 B) 2 C) 15/2
D) 7/2 E) 8
NIVEL INTERMEDIO
8. Halle la mayor solución de 2x2+4x – 5=0.
A) 
− +2 14
2
 B) 
− +2 56
4
 C) 
2 14
2
+
D) 
− −2 56
2
 E) 2 14+
9. Si x2 – 13x+m=0tiene CS={a; 2b} y x2 – nx+30=0 
tiene CS={2a; b}, calcule m+n, donde a; b ∈ Z.
A) 43 B) 42 C) 41
D) – 43 E) – 42
10. Halle el valor de a si las raíces de la ecuación
 x a x
a2
2
1
2
2 0− +( ) +



 + =
 son x1=m
m y x2=m
m+1; m ∈ R+.
A) – 1 B) 2 C) – 3
D) 4 E) 5
11. Dada la ecuación 
x
x
n2
2
3
9
2
0+ +
−


 =
 indique el valor de verdad (V) o falsedad (F) 
de las siguientes proposiciones y elija la se-
cuencia correcta.
 I. Si n=0, su CS es unitario.
 II. Si n > 0, tiene raíces imaginarias.
 III. Si n < 0, tiene 2 soluciones.
 IV. Si n ≥ 0, tiene raíces reales.
A) VVVV B) VVVF C) FVFV
D) VFVV E) VFFV
Álgebra
 
5
Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. 
Derechos reservados D. LEG N.º 822
12. Si las ecuaciones cuadráticas
 5 9
1
2
05 2 2x n x+ −( ) + =
 m x x m2 2 21 2 5 0−( ) + + − =π
 tienen raíces simétricas y recíprocas, respec-
tivamente, indique qué valor no puede tomar 
m+n.
A) 5 B) 1 C) – 5
D) 2 E) – 1
13. Determine una ecuación cuadrática de raíces
 a2b+ab2 y 
1 1
a b
+ si a y b son las raíces de 
 3x2 – 3x+2=0.
A) 6x2+13x+6=0
B) 6x2 – 13x+6=0
C) x2 – 13x+1=0
D) 6x2+13x – 6=0
E) 6x2 – 13x – 6=0
14. Si las ecuaciones x2+(k –1)x+k2 – 8=0 y
 mx+nx+p=0, donde m+n ≠ 0, son equivalen-
tes, calcule la suma de valores que toma k.
A) 2/3 B) 3 C) 1/3
D) – 11/3 E) – 2/3
NIVEL AVANZADO
15. Dada la ecuación en x 
 x2 – 2ax+a2 – b+1=0, donde a ∈ R – {0} y b ∈ R 
indique el valor de verdad (V) o falsedad (F) 
de las siguientes proposiciones y elija la se-
cuencia correcta.
 I. Si b > 1, la ecuación tiene 2 raíces reales y 
diferentes.
 II. Si b=1, entonces su CS={a}.
 III. Si b ≥ 1, la ecuación tiene raíces reales.
 IV. Si b < 1, las raíces de la ecuación son nú-
meros complejos no reales.
A) VVFV B) VVVV C) VFFV
D) VFFF E) FFFF
16. Dada la ecuación 2x2+mx+30=0 y x1; x2 sus 
raíces, ¿para qué valores de m se cumple la 
 relación 
x
x
1
2
3
5
= ?
A) |m|=16 B) |m|=10 C) |m|=14
D) |m|=8 E) |m|=20
UNI 2011- I
17. Indique qué valores debe tomar n para que 
 la ecuación 
n
x nx
n−( )
+ −
−( )
=
3
2
1
8
02 tenga 
 raíces reales.
A) R B) R+ C) R0
+
D) R– E) 1
18. Dada la ecuación cuadrática
 mx m x m x m
m
n
2 3 2
1
225+ +( )= +
=
∑ 
 calcule m2+1 si dicha ecuación tiene raíces 
simétricas.
A) 5 B) 25 C) 26
D) 37 E) 82
19. Halle una ecuación cuadrática cuyas raíces 
sean las raíces positivas de
 bx b x x2 2 2 0+ − − = y
 2 5 2 5 02ax a x+ −( ) − = ,
 donde a y b son las raíces de x2 – 6x+7=0.
A) 7x2 – 6x+1=0
B) x2 – 6x+7=0
C) x x2 2 5 10 0+ +( ) + =
D) x x2 2 5 10 0− +( ) + =
E) 7x2+6x+1=0
20. La condición para que las ecuaciones 
x2+bx+c=0 ∧ x2+b'x+c'=0 tengan una raíz 
en común es
A) (b – b')2+(c – c')(bc' – b'c)=0
B) (c – c')2+(b – b')=0
C) (b – b')(bc' – b'c)=0
D) (c – c')2+(bc' – b'c)=0
E) (c – c')2+(b – b')(bc' – b'c)=0
UNI 2000 - II
Álgebra
 
6
Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. 
Derechos reservados D. LEG N.º 822
Álgebra
Teoremas sobre ecuaciones polinomiales
NIVEL BÁSICO
1. Resuelva.
 x3 – 4x+1=3x2+2x – 7
A) {1; 2; 4}
B) { – 1; – 2; – 4}
C) {1; 4}
D) {1; – 2; 4}
E) {1; – 2; – 4}
2. Calcule la suma de raíces aumentada con la 
suma de soluciones de
 (x – 4)(x+3)2(x – 5)3(x – 1)4=0
A) 20 B) 21 C) 22
D) 23 E) 24
3. Si dos de las raíces de la ecuación
 x3+3px2+5qx – 15r=0 son simétricas, calcule 
el valor de pq/r; donde pqr ≠ 0.
A) 0 B) 1 C) – 1
D) – 2 E) 2
4. Dada la ecuación x3+x2+1=0, de raíces a, b y 
q, determine el valor de
 M =
+( )
+
+( )
+
+( )α α
θ
β β
α
θ θ
β
3 2
2
3 2
2
3 2
2
A) 3 B) 2 C) 1
D) 0 E) –1
5. Si 2 3+ es una de sus raíces, resuelva la si-
guiente ecuación.
 5x3+15x2+n2x+m3=0; m, n ∈Q
A) 2 3 2 3 4+ −{ }; ;
B) 2 3 2 3 1+ −{ }; ;
C) − + −{ }1 2 3 2 3; ;
D) − + −{ }7 2 3 2 3; ;
E) 2 3 2 3 1+ −{ }; ;
6. Calcule b si la ecuación
 2x3+bx2+cx – 20=0; b, c ∈R
 tiene como raíz a 1 – 3 i.
A) – 6 B) 6 C) 1
D) 2 E) – 2
7. Indique el valor de verdad (V) o falsedad (F) 
respecto a las siguientes proposiciones y elija 
la secuencia correcta.
 I. Si P(x) es de grado 3 y tiene raíces 2; – 3 y 5, 
entonces P(x)=a(x – 2)(x+3)(x – 5).
 II. Si G(x) es mónico de grado 3 y tiene raíces – 1; 
6 y – 2, entonces G(x)=(x+1)(x+6)(x+2).
 III. Si M(x) tiene a 4 como raíz de multiplicidad 
3, entonces M(x)=(x – 4)
3q(x)/q(x) ≠ 0 .
 IV. Si F(x) es un polinomio de raíces 1; – 3 y 2, 
donde este último es una raíz de multiplici-
dad 2, además º[F]=4 y es mónico, enton-
ces F(x)=(x – 1)(x+3)(x – 2)
2.
A) VVVF B) VFVV C) VFFV
D) FVFV E) FFVV
NIVEL INTERMEDIO
8. Indique una solución no real de
 x4 – 4x3+10x2 – 12x+5=0
A) 1 – 2 i B) 2 i C) – 1+2 i
D) – 2 i E) 1+ i
9. Si la ecuación polinomial
 x x x x
n m
2
3
3 24 1 5 6 0−( ) +( ) − +( ) =
 tiene 18 raíces, calcule m+n.
A) 4 B) 7 C) 10
D) 5 E) 6
10. Si a, b y c son las raíces simples de la ecuación
 x3+px+q=0, calcule el valor de 
 (a – b)2+(b – c)2+(a – c)2
A) p B) p+q C) 3p
D) 0 E) 2p
Álgebra
 
7
Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. 
Derechos reservados D. LEG N.º 822
11. Si a, b y q son raíces de la ecuación
 x3+(2n – 1)x2 – 2nx – 3=0,
 halle el valor de (1 – a)(1 – b)(1 – q).
A) – 27 B) – 3 C) – 8
D) – 2 E) – 1
12. Si n + 3 es una raíz positiva de 
 3x3+mx2+54x – 36=0, donde n ∈ Z 
 calcule n aumentado con la raíz entera de di-
cha ecuación.
A) 7 B) 3 C) 0
D) 5 E) 1
13. En una ecuación polinomial de cuarto grado 
y de coeficientes reales, una de sus raíces es 
3 – 2 i y la suma y el producto de todas las raí-
ces son 7 y – 26, respectivamente. Halle las 
otras dos raíces.
A) – 1 y 2 B) 2 y 3 C) 1 y – 2
D) – 2 y 3 E) 1 y 3
14. La ecuación de coeficientes racionales
 x4+mx3+nx2+px+q=0 tiene como raíces
 tan60º y 3 2 3 2i i i+ −( ).
 Calcule el valor de m+n+p+q.
A) – 3 B) 4 C) – 4
D) 3 E) 2
NIVEL AVANZADO
15. Calcule la suma de raíces positivas de
 x5 – 9x4+27x3 – 23x2 – 24x+36=0
A) 5 
B) 8 
C) 9
D) 10 
E) 12
16. Si las raíces de la ecuación
 2x4 – 16x3+mx2+nx – 30=0
 están en progresión aritmética, indique cuál 
no puede ser una raíz de la ecuación.
A) 3 B) 2 31− C) 2
31
3
+
D) – 1 E) 4
17. Dada la ecuación ax3+bx2+3x+1=0
 cuyo CS ; ;=
−
−






1 1
1
2
2
2n
n n
n , halle la menor raíz 
 de dicha ecuación.
A) −
1
4
 B) − 15
20
 C) – 4
D) – 15 E) 2
18. Se sabe que 3 5− es raíz de 
2x5 – 7x4+mx3+nx2 – p=0, donde m, n, p ∈ Q. 
Halle el valor de p.
A) 14 B) – 14 C) – 28
D) 28 E) – 7
19. Si una raíz de la ecuación x3 – 13x2+ax+b=0, 
 donde a, b ∈ R, es α =
+



=
∑ n
in 6 191
10
, calcule el 
 valor de 2(a+b).
A) 20 B) 22 C) 24
D) 26 E) 28
20. Si dos de las raíces de la ecuación
 2x5+ax4+bx3+cx2+dx – 2=0; {a; b; c; d} ⊂ R 
son i y 1+i, determine el valor de a+b+c+d.
A) 0 
B) 1 
C) 2
D) 3 
E) 4
Álgebra
 
8
Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. 
Derechos reservados D. LEG N.º 822
Álgebra
Ecuaciones bicuadradas y fraccionarias
NIVEL BÁSICO
1. Resuelva
 2 6 2 6 92 2 2x x x x x+( ) −( ) = −
A) {2; – 2; 3; – 3}
B) 2 2
1
3
1
3
; ; ;− −{ }
C) {1; – 1; 3; – 3}
D) 
1
2
1
2
1
3
1
3
; ; ;− −{ }
E) 
1
2
1
2
3 3; ; ;− −{ }
2. Dada la ecuación 3x4+2x2+1=0 de raíces x1; 
x2; x3 y x4, halle el valor de
 x x x x x x x x x x x x1 2 3 4 1
2
2
2
3
2
4
2
1
3
2
3
3
3
4
3
+ + + + + + + + + + +
A) −
2
3
 B) 
2
3
 C) 1
D) −
4
3
 E) 0
3. Indique una ecuación bicuadrada de coefi-
cientes racionales donde dos de sus raíces son 
2 i y 3.
A) x4+x2 – 36=0
B) x4+6x2 – 1=0
C) x4+x2+36=0
D) x4 – 5x2 – 36=0
E) x4 – x2 – 6=0
4. Si las raíces de la ecuación
 2x4 – 80x2+n=0 están en progresión aritméti-
ca, indique la menor y mayor solución de la 
ecuación mencionada.
A) –4 y 4 B) – 8 y 8 C) – 5 y – 5
D) – 1 y 1 E) – 6 y 6
5. Indique el número de soluciones de la ecuación
 
x x
x x
x
x
x
x
2
2
3
2
3 2
4 5
8
4
2 3
5
− +
+ −
+
−
−
=
+
+
A) 4 B) 3 C) 0
D) 1 E) 2
6. Resuelva
 
3
3 9
4
1
2
1
1
3x x x x−
+
+
=
−
−
−
A) {3} B) { } C) {1; – 1; 3}
D) {1; – 1} E) R
7. Determine la suma de soluciones de la ecuación
 
x x x x
x x x x
−( ) −( ) −( ) −( )
+( ) +( ) +( ) +( )
=
3 5 7 29
2 4 6 30
0
...
...
A) 224 B) 225 C) 300
D) 325 E) 324
NIVEL INTERMEDIO
8. Si la ecuación de incógnita x
 x4+(a+b+c)x3+7x2+(mn+mp+np)x – 6=0
 es bicuadrada. Determine el valor de
 F
a b c
ab ac bc
m n m p n p
m n p
=
+ +
+ +
+
+ +2 2 2 3 3 3 3 3 3
2 2 26
A) 
3
2
 B) −
3
2
 C) 2
D) 1 E) 0
9. Si a y b son 2 raíces no opuestas de la ecuación 
x4+2x2 – 1=0, calcule
 M =
+( ) +( )
+
α β α β
α β
2 2 8 8
4 4
A) 38 B) – 34 C) 1
D) – 34/3 E) 34/3
10. Sea la ecuación bicuadrada x4+mx2+n2 – n+47=0,
 donde sus raíces están en progresión aritmética, 
calcule el producto de valores que toma n si 
−3 2 es la menor de sus raíces.
A) 11 B) 12 C) 1
D) 2 E) 3
11. Reconstruya una ecuación bicuadrada donde 
una de sus raíces es 5 2− .
A) x4 – 14x2+9=0
B) 2x4 – 28x2 – 18=0
C) x4+14x2+9=0
D) x4+14x2 – 19=0
E) x4 – 9x2+14=0
Álgebra
 
9
Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. 
Derechos reservados D. LEG N.º 822
12. Resuelva
 
2
6 8
1
9 20
3
7 10
4
2 2 2
2
x x x x x x
x
x+ +
+
+ +
−
+ +
=
−
A) {2; – 2} B) { – 2} C) {2}
D) { } E) {0; 2; – 2}
13. Con respecto a la ecuación
 
x x
x x
x x
x x
2
2
2
2
3
2
2 6
2 3
+ +
+ +
=
+ +
+ +
 marque el enunciado correcto.
A) Presenta soluciones reales.
B) Su CS es el vacío.
C) Su CS está conformado por números ima-
ginarios.
D) La suma de sus soluciones es 1/2.
E) El producto de sus soluciones es – 3/2.
14. Calcule el producto de soluciones de la si-
guiente ecuación.
 
x x
x x
x
x
2
2
4 4
6 9
2 4
3
3 0
+ +
+ +
−
+
+
− =
A) − 35
4
 B) −
3
2
 C) 
7
2
D) 
35
4
 E) 1
NIVEL AVANZADO
15. Dada la ecuación bicuadrada en variable x
 x4 – (2a – 5)x2+a2 – 5a+4=0
 determine el valor de verdad (V) o falsedad (F) 
de las siguientes proposiciones y elija la se-
cuencia correcta.
 I. Su CS ; ; ;= − − − − − −{ }a a a a4 4 1 1 .
 II. Si a > 5, todas las raíces de la ecuación son 
reales.
 III. Si a ≤ 0, todas las raíces de la ecuación son 
imaginarias.
A) VFF B) VVF C) VVV
D) FVV E) VFV
16. Dada la ecuación bicuadrada de incógnita x
 x4 – (a+13)x2+4a=0
 determine un valor de a para que la suma de 
raíces positivas sea 5.
A) 36 B) – 4 C) 2
D) 9 E) 6
17. Sea la ecuación bicuadrada
 2x4+mx2+162=0; m ∈ R
 donde el número imaginario z es una raíz de 
dicha ecuación, calcule |z|.
A) 1 B) 3 C) 4
D) 5 E) 6
18. Reconstruya una ecuación bicuadrada donde 
 una de sus raíces es 
5 3
2
+ i
.
A) 4x4+20x2+28=0
B) x4 – 5x2+7=0
C) 4x2 – 20x2 – 28=0
D) x4 – 7x2+5=0
E) x4+7x2+5=0
19. La suma de todas las soluciones positivas de 
la ecuación
 
10
1
6
2
2
+ +
= − −
x x
x x es
A) 
− − +2 5 17
2
B) 
− + +2 5 17
2
C) 
2 5 17
2
+ +
D) 
− + +3 5 17
2
E) 
3 5 17
2
+ +
UNI 2009 - II
20. Indique una solución de la ecuación
 
2
2 3
1
2 2
6
2 42 2 2x x x x x x− +
+
− +
=
− +
A) 
− +1 7
4
i
 B) 
3 181
2
+ i
 C) 
1 7
4
−
D) 
3 181
12
−
 E) 
1 7
4
+ i
Álgebra
 
10
Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. 
Derechos reservados D. LEG N.º 822
Álgebra
Desigualdades e Intervalos
NIVEL BÁSICO
1. Indique el símbolo que corresponde en el si-
guiente cuadro.
 
2014 5
2015 5
2013 5
2014 5
+
+
+
+
n
n
n
n
A) <
B) >
C) ≤
D) =
E) depende de n
2. Indique el valor de verdad (V) o falsedad (F) 
respecto a las siguientes proposiciones.
 I. 〈 – 1; 4〉 es un intervalo acotado.
 II. ]0; 5[ es un intervalo cerrado.
 III. [2; 6〉 es un intervalo semicerrado.
 IV. 〈e; +∞〉 es un intervalo no acotado.
A) VVVV B) VFFF C) FVFV
D) VVVF E) VFVV
3. Dado los intervalos
 A=〈 – ∞; – 4] ∪ 〈2; +∞〉 y B=〈0; +∞〉
 halle AC ∩ B.
A) 〈0; 2〉 B) [0; 2] C) 〈0; 2]
D) [0; 2〉 E) 〈 – 4; 2]
4. Dado los intervalos
 A=[1; 5]; B=〈3; 6] y C x x= ∈ >{ }R 4
 determine el intervalo de (A – B) ∪ (C – B).
A) [1; 3] ∪ 〈6; +∞〉
B) [1; 3〉 ∪ 〈6; +∞〉
C) [1; 3]
D) [1; +∞〉
E) 〈6; +∞〉
5. Sea el intervalo A=[m; m+2〉; m ∈ Z. Determine 
el valor de verdad (V) o falsedad) de las siguien-
tes proposiciones y elija la secuencia correcta.
 I. m es el ínfimo de A.
 II. El mayor valor de A es m+2.
 III. m+1 es el mayor valor entero de A.
 IV. La longitud del intervalo de A es 1.
A) VVFF B) FVFV C) VFVV
D) VFVF E) FFVF
6. Si x ∈ 〈– 3; 5〉, determine el intervalo de A
x
=
+3 1
2
.
A) 〈 – 4; 8〉 B) 〈 – 3; 7〉 C) 〈 – 6; 10〉
D) 〈 – 8; 4〉 E) 〈 – 7; 3〉
7. Determine la variación de M
x
x
=
+ 2
 si x ∈ 〈2; 5〉.
A) 
1
5
1
2
; B) 〈2; 5〉 C) 
7
5
2;
D) 
2
5
1; E) 〈2; +∞〉
NIVEL INTERMEDIO
8. Indique verdadero (V) o falso (F) según corres-
ponda en las siguientes proposiciones y elija la 
secuencia correcta.
 I. x x∈ < ≤{ } = ]R 2 3 2 3;
 II. x x∈ <{ } = −∞ [R 4 4;
 III. x x∈ − ≤ ≤{ } = −[ ]Q 6 5 6 5;
 IV. x x∈ − < ≤{ } = { }Z 1 7 1 2 3 4 5 6 7; ; ; ; ; ;
A) VVVV B) VVFF C) VFVF
D) VVVF E) FFVV
9. Sean los intervalos
 A
n n
n = −
2 2
; y B
m m
m = −
2 2
;
 halle A A B B1 2 1 2∪( )∩ ∪( ) e indique la cantidad 
de elementos enteros que posee.
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 0
Álgebra
 
11
Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. 
Derechos reservados D. LEG N.º 822
10. Sean los conjuntos
 A x
r
s
r s r S= = ∈ < < ∧ < <{ }, conZ 1 3 0 3
 B x x= ∈ < <{ }R 1 2
 calcule A ∪ B.
A) 〈1; 2〉 B) 〈1; 2] C) [1; 2〉
D) [1; 2] E) [2; 3〉
UNI 2002 - I
11. Sean los intervalos
 A ∪ B=〈2; 7] y B=〈5; 7]
 halle el ínfimo de A aumentado con la menor 
cota superior de B.
A) 12 B) 7 C) 6
D) 8 E) 9
12. Dado el intervalo A=[2n – 5; 3n+15〉 ⊂ R+, si 
(A)=n2, halle la suma del menor y mayor valor 
entero de A.
A) 33 B) 34 C) 35
D) 36 E) 37
13. Si se sabe que 
3 5
2
1 2
−


 ∈ −
x
; , determine la 
 cantidad de valores enteros que toma x.
A) 5 B) 4 C) 3
D) 2 E) 1
14. Se sabe que 
x
x
m n
+
−



 ∈ ]
3
2
; y (x+3) ∈ [7; 10〉. 
 Calcule 3mn.
A) 21 B) 7 C) 1
D) 14 E) – 7
NIVEL AVANZADO
15. Si – 2b < a < 0 ∧ – b > 2a ∧ 0 < 3b; además 
M=[a; b]; NC=〈0; – 2a]; P=〈 – 2b; ∞〉 
 indique la longitud del intervalo M ∩ N ∩ P.
A) a+b B) – a C) a
D) a – b E) b
16. Sean los intervalos
 A=[1; 7]; BC=〈2; 10〉; MC=〈 – 3; 4] y NC=] – ∞; 5]
 indique el número de elementos enteros de
 A B M NC
C
C
C
∪( ) − ∩( ) .
A) 7 B) 5 C) 1
D) 2 E) 0
17. Dado los intervalos
 A ∪ B=〈n; n+6〉 y B=〈n+3; n+6〉; n ∈ Z
 halle el ínfimo de A disminuido con el mayor 
valor entero de A.
A) n B) n+5 C) 5
D) – 5 E) – n
18. Se define la familia de intervalos
 I
n n
nn = − ∈
1 1
; ; N
 Calcule el valor de
  I Ii
i
i
i= =
−






1
10
1
10
∪ ∩
A) 1 B) 2 C) 
9
5
D) 
9
10
 E) 
1
5
19. Luego de hallar el intervalo de N
x
x
=
−
+
2 3
2 5
, halle 
 el producto del mayor y menor valor de N si 
 
x
x
−
∈




1 3
4
6
7
; .
A) 
4
3
 B) 1 C) 
4
39
D) −
10
39
 E) 
30
39
20. Dado el conjunto
 S x x= −( )∈ ∉ + ∞{ }1 2 1R ;
 halle el equivalente de S – R – .
A) [ – 1; 0] B) 〈 – 1; 0〉 C) R+
D) [ – 1; 1] E) R0
+
Anual UNI
EcuacionEs polinomialEs
01 - b
02 - a
03 - c
04 - d
05 - b
06 - c
07 - e
08 - d
09 - b
10 - a
11 - c
12 - d
13 - c
14 - a
15 - a
16 - d
17 - e
18 - b
19 - c
20 - d
EcuacionEs cuadráticas
01 - c
02 - e
03 - d
04 - c
05 - b
06 - e
07 - c
08 - a
09 - c
10 - d
11 - e
12 - d
13 - b
14 - e 
15 - b
16 - a
17 - c
18 - c
19 - a
20 - e
tEorEmas sobrE EcuacionEs polinomialEs
01 - d
02 - e
03 - c
04 - d
05 - d
06 - a
07 - b
08 - a
09 - d
10- e
11 - b
12 - d
13 - a
14 - a
15 - d
16 - e
17 - b
18 - d
19 - c
20 - c
EcuacionEs bicuadradas y fraccionarias
01 - e
02 - d
03 - d
04 - e
05 - e
06 - b
07 - a
08 - b
09 - d
10 - a
11 - a
12 - c
13 - c
14 - d
15 - c
16 - a
17 - b
18 - b
19 - b
20 - e
dEsigualdadEs E intErvalos
01 - b
02 - e
03 - c
04 - a
05 - d
06 - a
07 - c
08 - b
09 - a
10 - d
11 - e
12 - b
13 - d
14 - a
15 - b
16 - c
17 - d
18 - c
19 - e
20 - e
	acv_2016_algebra_01
	acv_2016_algebra_02
	acv_2016_algebra_03_Decrypted
	acv_2016_algebra_04
	acv_2016_algebra_05
	acv_2016_algebra_06
	acv_2016_algebra_07
	acv_2016_algebra_08