Semestral Uni - Álgebra semana 01

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Tópicos de álgebra
ÁLGEBRA
C U R S O D E Á L G E B R A
I) Breve historia de los símbolos < 𝑦 >
II) Productos notables
III) División de polinomios
IV) Factorización
V) Desigualdades
VI) Problemas diversos
Índice
C U R S O D E Á L G E B R A
HISTORIA DE LOS SIMBOLOS Y 
Los símbolos < y > se introdujeron por primera vez por el matemático
inglés Thomas Harriot (1560-1621) en su obra Artis Analyticae Praxis
publicada en Londres en 1631. Thomas Harriot fue inspirado por un
símbolo que había visto en el brazo de un nativo americano (ver Figura)
para “inventar” los símbolos de las desigualdades.
En 1734, el francés Pierre Bouguer inventó los
símbolos ≤ y ≥ . Mucho antes de la aparición del
álgebra simbólica no había símbolos para
representar las incógnitas y no había símbolos
para representar la relación entre incógnitas
antes de Diofanto.
Thomas Harriot
Pierre Bouguer
Productos 
Notables
C U R S O D E Á L G E B R A
Resolución
1.- Trinomio cuadrado perfecto
𝑎 + 𝑏 2 =
𝑎 − 𝑏 2 =
𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2
𝑎2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏2
PRINCIPALES PRODUCTOS NOTABLES
• Identidades de Legendre
(𝑎 + 𝑏)2+(𝑎 − 𝑏)2 =
(𝑎 + 𝑏)2−(𝑎 − 𝑏)2 =
2 𝑎2 + 𝑏2
4𝑎𝑏
2.- Diferencia de cuadrados
(𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏) = 𝑎2 − 𝑏2
3.- Trinomio al cuadrado
(𝑎 + 𝑏 + 𝑐)2 = 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 +2(𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑎𝑐)
⋯ 1
⋯ 2
Consecuencias
1 + 2 :
1 − 2 :
• También al multiplicar las condiciones de Legendre
(𝑎 + 𝑏)4−(𝑎 − 𝑏)4 = 8𝑎𝑏 𝑎2 + 𝑏2
Aplicación 1
Simplificar M si M =
8 + 2
4
− 8 − 2
4
3 +
4
8 2 + 1
2
3 −
4
8
Efectuando en el numerador y denominador de M.
• 8 + 2
4
− 8 − 2
4
= 8 8 2 8
2
+ 2
2
= 8 4 10 = 320
• 3 +
4
8 3 −
4
8 2 + 1
2
=
3 − 8 3 + 2 2
32 − 8
2
= 1
M =
320
1
∴ M = 320
C U R S O D E Á L G E B R A
4.- Desarrollo de un binomio al cubo
(𝑎 + 𝑏)3 = 𝑎3 + 3𝑎2𝑏 + 3𝑎𝑏2 + 𝑏3
(𝑎 − 𝑏)3 = 𝑎3 − 3𝑎2𝑏 + 3𝑎𝑏2 − 𝑏3
(𝑎 + 𝑏)3 = 𝑎3 + 𝑏3 + 3𝑎𝑏Identidades 
de Cauchy
(𝑎 + 𝑏)
(𝑎 − 𝑏)3 = 𝑎3 − 𝑏3 − 3𝑎𝑏 (𝑎 − 𝑏)
Aplicación 2
Aplicación 3
Si 𝑥 =
3
3 +
3
9 , calcule el valor de 𝑀 = 𝑥3 − 9𝑥 + 9
Resolución
Como: 𝑥 =
3
3 +
3
9
Si
𝑥3 + 3𝑥𝑦2
3𝑥2𝑦 + 𝑦3
=
9
7
, calcula
𝑥 + 𝑦
𝑥 − 𝑦
2
Resolución
Por propiedad de razones y proporciones:
3𝑥2𝑦 +𝑦3
− 3𝑥2𝑦
𝑥3 +
𝑥3
+ 3𝑥𝑦2
−𝑦3+ 3𝑥𝑦2
=
79 +
79 −
𝑥 + 𝑦 3
𝑥 − 𝑦 3
= 8
𝑥 + 𝑦
𝑥 − 𝑦
3
= 8
𝑥 + 𝑦
𝑥 − 𝑦
= 2 ∴
𝑥 + 𝑦
𝑥 − 𝑦
2
= 4
Elevando al cubo
𝑥3 =
3
3 +
3
9
3
Por la identidad de Cauchy
𝑥3 = 3+ 9 + 3
3
3 .
3
9
3
3 +
3
9
3 𝑥
𝑥3 = 12 + 3 3 𝑥 𝒙𝟑 − 𝟗𝒙 =𝟏𝟐
Piden: 𝑀 = 𝑥3 − 9𝑥 + 9 ∴ 𝑀 = 21
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( ) = 𝑎3 + 𝑏3𝑎2 − 𝑎𝑏 + 𝑏2(𝑎 + 𝑏)
5.- Suma y diferencia de cubos
= 𝑎3 − 𝑏3(𝑎 − 𝑏) 𝑎
2 + 𝑎𝑏 + 𝑏2( )
Aplicación 5
K = 𝑥2 − 1 𝑥2 + 𝑥 + 1 𝑥2 − 𝑥 + 1 − 𝑥6
𝑥3 − 1 𝑥3 + 1
Reducir K si:
Resolución
K = 𝒙 − 𝟏 𝑥2 + 𝑥 + 1 𝒙 + 𝟏 𝑥2 − 𝑥 + 1 − 𝑥6
K = 𝒙 + 𝟏 𝒙 − 𝟏 𝑥2 + 𝑥 + 1 𝑥2 − 𝑥 + 1 − 𝑥6
𝑥6 − 1 ∴ K = −𝟏
Aplicación 4
Reducir la expresión R, si
𝑅 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 3 − 𝑎 + 𝑏 3 − 3𝑐 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 𝑎 + 𝑏
Resolución
Cambiamos de variable 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 𝑚
𝑎 + 𝑏 = 𝑛
Ahora reemplazando en 𝑅
𝑅 = 𝑚3− 𝑛3−3
−
𝑐 = 𝑚 − 𝑛
(𝑚 − 𝑛)(𝑚)(𝑛)
𝑅 = 𝑚3 − 𝑛3−3 𝑚 𝑛 𝑚 − 𝑛 = 𝑚 − 𝑛 3
∴ 𝑹 = 𝒄𝟑
𝒄
Si 𝑥2 + 2𝑥 + 4 = 0, calcula 𝑥6 + 𝑥3 + 1
Aplicación 6
Resolución
Del dato tenemos: 𝑥2 + 2𝑥 + 4 = 0𝒙 − 𝟐 𝒙 − 𝟐
𝑥3 − 23
𝑥3 − 23 = 0
𝑥3 = 8
𝑥6 = 64
∴ 𝑥6 + 𝑥3 + 1 = 73
División 
algebraica
C U R S O D E Á L G E B R A
DIVISIÓN ALGEBRAICA DE POLINOMIOS
Polinomio dividendo
Polinomio divisor
Polinomio residuo
Polinomio cociente
IDENTIDAD FUNDAMENTAL DE LA DIVISIÓN
𝑫 𝒙 =𝒅 𝒙 𝒒 𝒙 +𝑹 𝒙
máx. ° 𝑅 𝑥 = ° 𝑑 𝑥 −1
𝐏𝐫𝐨𝐩𝐢𝐞𝐝𝐚𝐝𝐞𝐬:
° 𝑞 𝑥 = ° 𝐷 𝑥 − ° 𝑑 𝑥
2
1
𝐷 𝑥 𝑑 𝑥
𝑞 𝑥
𝑅 𝑥
Donde:
𝐷 𝑥 :
𝑑 𝑥 :
𝑞 𝑥 :
𝑅 𝑥 :
Conocidos 
Por 
conocerse 
TIPOS DE 
DIVISIÓN
EXACTA: Si 𝑅 𝑥 = 0
INEXACTA: Si 𝑅 𝑥 ≠ 0
° 𝐷 𝑥 ≥ ° 𝑑 𝑥 > 0
° 𝑑 𝑥 > ° 𝑅 𝑥
La división solo es posible si
Aplicación 1
halle el resto en la división
𝑥15 + 𝑥 − 1 14 + 𝑥
𝑥 𝑥 − 1
Resolución
Como 𝑑 𝑥 = 𝑥 𝑥 − 1 y ° 𝑑 𝑥 = 2, entonces su resto
es de la forma 𝑅 𝑥 = 𝑎𝑥 + 𝑏
Ahora por la identidad fundamental
𝐷 𝑥 = 𝑑 𝑥 𝑞 𝑥 + 𝑅 𝑥
𝑥15 + 𝑥 − 1 14 + 𝑥 =𝑥 𝑥 − 1 𝑞 𝑥 + 𝑎𝑥 + 𝑏
Si 𝑥 = 0 −1 14 = 0 + 𝑏 𝑏 = 1
Si 𝑥 = 1 1 + 0 + 1 =0 + 𝑎 + 𝑏 𝑎 = 1
∴ 𝑅 𝑥 = 𝑥 + 1
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Aplicación 1
MÉTODOS PARA DIVIDIR POLINOMIOS
I) Método de Horner:
5𝑥3 + 1 + 9𝑥2 + 6𝑥4
𝑥 − 2 + 3𝑥2
Halle el cociente y residuo de la siguiente división
Resolución
Polinomios completos y ordenados en forma decreciente
12
3
− 2
6 5 9 0 13
−1
+2
2 1 4 −2 𝟗
4
− 1 2
−4 8
÷
÷
÷
×
+ + +
Coef. del cociente Coef. del 𝑅𝑒𝑠𝑖𝑑𝑢𝑜
𝒙𝟐 𝒙 𝒙
Mismo signo
Signo 
Contrario
⋕ 𝐶𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎𝑠 = ° 𝒅 𝒙 = 2
+
𝑞 𝑥 = 2𝑥2 + 𝑥 + 4 𝑅 𝑥 = −2𝑥 + 9
11𝑥2 + 6𝑥4 + 3 + 7𝑥3
3𝑥 + 2
Ordenando el dividendo en forma decreciente
Halle el cociente y residuo en la siguiente división
++
−6
𝑥 = −
2
3
6 7 0 311
6
−4 −2 −6 4
3 9 7
÷ 𝟑
𝟐 𝟏 𝟑 −𝟐
×
+ +
3𝑥 + 2 = 0
𝒙𝟐 𝒙𝒙𝟑
Divisor se 
iguala a cero
Despejar 𝑥
1 𝐶𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎
Coef. del cociente
𝑅𝑒𝑠𝑖𝑑𝑢𝑜
𝑞 𝑥 = 2𝑥3 + 𝑥2 + 3𝑥 − 2
𝑅 𝑥 = 7
Aplicación 2
Resolución
II) Regla de Ruffini
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III) Teorema del resto
El resto de la división
𝑃 𝑥
𝑎𝑥 + 𝑏
es 𝑅 𝑥 = 𝑃 −
𝑏
𝑎
Permite calcular el resto de una división sin efectuarla.
Ejemplos:
Si
𝑃 𝑥
2𝑥 + 5
𝑅 𝑥 = P −
5
2
su resto es
Si
𝑃 𝑥
𝑥 − 2
𝑅 𝑥 =P 2su resto es
𝐑𝐞𝐠𝐥𝐚 𝐩𝐫á𝐜𝐭𝐢𝐜𝐚
I) Se iguala a cero el divisor y si este es lineal se despeja 
la variable, sino una expresión conveniente.
II) El valor de la variable o la expresión despejada se 
reemplaza en el dividendo y el resultado obtenido 
será el resto buscado.
° 𝑑 𝑥 > ° 𝑅 𝑥Recordar:
𝑥32 − 𝑥2 − 8 16 − 13 + 2𝑥3
𝑥 − 2
I) 𝑥 − 2 = 0
Calcule el resto de la siguiente división
Aplicación 3
Resolución
𝑥 = 2
II) Ahora reemplazando en el dividendo
𝑅 𝑥 = 232 − −4 16 − 13 + 2. 23 ∴ 𝑅 𝑥 = 3
𝑥15 + 𝑥3 + 3 13 + 1 + 2𝑥
𝑥3 + 2
Calcule el resto de la siguiente división
Aplicación 4
Resolución
I) 𝑥3 + 2 = 0 𝑥3 = −2
II) Ahora reemplazando en el dividendo
𝑅 𝑥 = 𝑥3 5 + −2 + 3 13 + 1 + 2𝑥
−2
∴ 𝑅 𝑥 = 2𝑥 − 30
Factorización 
en ℚ
C U R S O D E Á L G E B R A
FACTORIZACIÓN EN ℚ
Factorizar un polinomio es transformarlo en una
multiplicación indicada de factores primos.
𝑥3 − 6𝑥2 + 11𝑥 − 6 = 𝑥 − 1 𝑥 − 2 𝑥 − 3
ALGUNOS CRITERIOS DE FACTORIZACIÓN
El polinomio no constante 𝑓 𝑥 es factor o divisor del
polinomio 𝑃 𝑥 solo si la división
𝑃 𝑥
𝑓 𝑥
es exacta.
FACTORIZACIÓN
FACTOR ALGEBRAICO
Ejemplo
𝑥 − 3 es factor del polinomio 𝑃 𝑥 = 𝑥
3 − 𝑥2 − 18
Ya que la división
𝑥3 − 𝑥2 − 18
𝑥 − 2
es exacta
I) 𝑥 − 3 = 0
𝐏𝐨𝐫 𝐭𝐞𝐨𝐫𝐞𝐦𝐚 𝐝𝐞𝐥 𝐫𝐞𝐬𝐭𝐨
𝑥 = 3
II) 𝑅 𝑥 = 3
3 − 32 − 18 ∴ 𝑅 𝑥 = 0
2.- ASPA DOBLE ESPECIAL – Aplicación 2
Factorice 𝑃 𝑥 = 𝑥4 + 6𝑥3 + 8𝑥2 + 11𝑥 + 2
1.- ASPA SIMPLE – Aplicación 1
Factorice 𝑃 𝑥 = 6𝑥2 − 19𝑥 + 15
Tenemos:
2𝑥
𝑃 𝑥 = 6𝑥2 − 𝑥 − 15
3𝑥
+3
−5
𝑃 𝑥 = 2𝑥 + 3 3𝑥 − 5
𝑥2
𝑥2
+2
+1
2𝑥2
𝑥2
+ 𝑥
+5𝑥
𝑃 𝑥 = 𝑥4 + 6𝑥3 + 8𝑥2 + 11𝑥 + 2
+
3𝑥2
−
5𝑥2
𝑃 𝑥 = 𝑥2 + 5𝑥 + 1𝑥2 + 𝑥 + 2
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Factorice 𝑃 𝑥 = 2𝑥
3 − 6𝑥2 + 𝑥 − 3
3.- DIVISORES BINÓMICOS
Se utiliza para factorizar polinomios de coeficientes
enteros en una variable de grado 3 o más. 
I) Se halla las posibles raíces racionales (PRR)
∴ P 𝑥 =
3
12 −6 −3
12 0 0
06 3
𝑄 𝑥
2𝑥2 + 1𝑥 − 3
ASPECTOS PREVIOS:
Raíz de un polinomio
𝛼 es raíz del polinomio no constante 𝑃 𝑥 ↔ 𝑃 𝛼 = 0
Teorema del factor
𝛼 es raíz del polinomio no constante 𝑃 𝑥 ↔ 𝑥 − 𝛼
es su factor, en tal caso 𝑃 𝑥 = 𝑥 − 𝛼 . 𝑄 𝑥
Ejemplo
Sea el polinomio 𝑃(𝑥) = 𝑥
4 − 𝑥3 + 𝑥 − 10
• 𝑥 = 2 es raíz del polinomio, ya que 𝑃(2) = 0
• Por teoremadel factor tenemos 𝑃(𝑥) = 𝑥 − 2 . 𝑄 𝑥
Donde 𝑄(𝑥) es un polinomio no constante.
Aplicación 3
Pasos a seguir:
𝑃𝑅𝑅 = ±
𝐷𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒 3
𝐷𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒2
= ±
1; 3
1; 2
= ± 1; 3 ;
1
2
;
1
3
II) 𝑥 =3 es una raíz, ya que 𝑃 3 = 0, por teorema del
factor 𝑃 𝑥 = 𝑥 − 3 . 𝑄 𝑥 ⋯ ∗
III) Ahora hallamos 𝑄 𝑥 al dividir
𝑃 𝑥
𝑥−3
por Ruffini
Reemplazando en ∗
Desigualdades
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TEOREMAS SOBRE DESIGUALDADES
Indique el equivalente de
𝐴 = 1 − 3𝑥 ∈ ℝ/ 2𝑥 + 3 ∈ ;5−ۦ ሿ7
De la condición de 𝐴:
Sean 𝑥, 𝑦, 𝑧 números reales, se cumple:
𝟏) 𝑥 < 𝑦 ↔ 𝑥 ± 𝑧 < 𝑦 ± 𝑧
𝟐) 𝑎 < 𝑥 < 𝑏
𝑧 > 0
↔ ቐ
𝑎. 𝑧 < 𝑥. 𝑧 < 𝑏. 𝑧
𝑎
𝑧
<
𝑥
𝑧
<
𝑏
𝑧
𝟑) 𝑎 < 𝑥 < 𝑏
𝑧 < 0
↔ ቐ
𝑎. 𝑧 > 𝑥. 𝑧 > 𝑏. 𝑧
𝑎
𝑧
>
𝑥
𝑧
>
𝑏
𝑧
2𝑥 + 3 ∈ ;5−ۦ ሿ7 → −5 < 2𝑥 + 3 ≤ 7
−8 < 2𝑥 ≤ 4 −4 < 𝑥 ≤ 2
12 > −3𝑥 ≥ −6 13 > 1 − 3𝑥 ≥ −5
→ 1 − 3𝑥 ∈ ሾ−5 ۧ; 13 ∴ 𝐴 = ሾ−5 ۧ; 13
−3 ÷2
× −3 +1
Aplicación 1
Resolución
Si 𝑥 ∈ ;4−ۦ ሿ2 entonces la variación de
2𝑥 + 1
𝑥 − 3
es:
Si 𝑎 < 𝑥 < 𝑏 entonces
1
𝑎
>
1
𝑥
>
1
𝑏
𝟒) Sean 𝑎 y 𝑏 números del mismo signo.
La fracción a suma de fracciones parciales:
2𝑥 + 1
𝑥 − 3
=
2𝑥 + 1
𝑥 − 3
−2 + 2
=
7
𝑥 − 3
+2
Aplicación 2
Resolución
C U R S O D E Á L G E B R A
Del dato:
𝟓) 𝑥 y
1
𝑥
tienen el mismo signo.
∴
18 − 2𝑥
𝑥 − 3
∈ ;2−ۦ ሿ4
𝑥 ∈ ;4−ۦ ሿ2 → −4 < 𝑥 ≤ 2
−7 < 𝑥 − 3 ≤ −1 −
1
7
>
1
𝑥 − 3
≥ −1
−1 >
7
𝑥 − 3
≥ −7 1 >
7
𝑥 − 3
+ 2 ≥ −5
∴
2𝑥 + 1
𝑥 − 3
∈ ሾ−5 ۧ; 1 este intervalo es su variación
Determine la variación de
18 − 2𝑥
𝑥 − 3
si 𝑥 ≥ 5
Como: 𝑥 ≥ 5 𝑥 − 3 ≥ 2
1
𝑥 − 3
≤
1
2
0 < 0 <
12
𝑥 − 3
≤ 6
−2 <
12
𝑥 − 3
− 2 ≤ 4
La fracción a suma de fracciones parciales:
18 − 2𝑥
𝑥 − 3
=
18 − 2𝑥
𝑥 − 3
+ 2 − 2=
12
𝑥 − 3
− 2
−3 −1
×7 +2
−3
−1 ×12
−2
2𝑥 + 1
𝑥 − 3
=
7
𝑥 − 3
+ 2
Resolución
Aplicación 3
18 − 2𝑥
𝑥 − 3
=
12
𝑥 − 3
− 2
𝟔) 𝑎 < 𝑥 < 𝑏 → 𝑎3 < 𝑥3 < 𝑏3
• si 2 < 𝑥 < 5 → 8 < 𝑥3 < 125
• si − 4 < 𝑥 < −2 → −64 < 𝑥3 < −8
C U R S O D E Á L G E B R A
Si 𝑥 ∈ ℝ entonces la variación de 𝑥2 − 6𝑥 + 11 es:
Del dato:
𝟕) Si x ∈ ℝ entonces 𝑥2 ≥ 0
Completando cuadrados tenemos:
Halle la variación de − 2𝑥2 + 8𝑥 si 𝑥 ∈ ሾ−3 ۧ; 3
Completando cuadrados tenemos:
𝑥2 − 6𝑥 + 11 = 𝑥2 − 6𝑥 + 9 + 2 = 𝑥 − 3 2+2
𝑥 ∈ ℝ 𝑥 − 3 ∈ ℝ
𝑥 − 3 2 ≥ 0 𝑥 − 3 2 + 2 ≥ 2
∴ 𝑥2 − 6𝑥 + 11 ∈ ሾ2 ۧ;+∞
𝟖) 0 < 𝑎 < 𝑥 < 𝑏 → 𝑎2 < 𝑥2 < 𝑏2
𝑎 < 𝑥 < 𝑏 < 0 → 𝑎2 > 𝑥2 > 𝑏2
𝑎 < 𝑥 < 𝑏 ∧ 𝑎𝑏 < 0 → 0 ≤ 𝑥2 < 𝑚á𝑥 𝑎2; 𝑏2
−2𝑥2 + 8𝑥 = −2 𝑥2 − 4𝑥 = −2 𝑥2 − 4𝑥 + 4 − 4
= −2 𝑥 − 2 2 + 8
Del dato: 𝑥 ∈ ሾ−3 ۧ; 3 → −3 ≤ 𝑥 < 3
−2
−5 ≤ 𝑥 − 2 < 1
2
0 ≤ 𝑥 − 2 2 ≤ 25
× −2
0 ≥ −2 𝑥 − 2 2 ≥ −50
+8
8 ≥ −2 𝑥 − 2 2 + 8 ≥ −42
∴ −2𝑥2 + 8𝑥 ∈ ሾ−42; 8ሿ
2 +2
−3
Resolución
Aplicación 4
Resolución
Aplicación 5
C U R S O D E Á L G E B R A
𝟗) Si 𝑎1; 𝑎2; … ; 𝑎𝑛 ∈ ℝ
+ se cumple:
2𝑎 + 𝑏
2
≥ 2𝑎. 𝑏
𝑀𝐴 ≥ 𝑀𝐺 ≥ 𝑀𝐻
Donde:
𝑀𝐴 =
𝑎1 + 𝑎2 +⋯+ 𝑎𝑛
𝑛
𝑀𝐺 = 𝑛 𝑎1. 𝑎2…𝑎𝑛
𝑀𝐻 =
𝑛
1
𝑎1
+
1
𝑎2
+⋯+
1
𝑎𝑛
Obs: 𝑀𝐴 = 𝑀𝐺 = 𝑀𝐻 ↔ 𝑎1= 𝑎2 = ⋯ = 𝑎𝑛
𝟏𝟎) Si 𝑥 > 0 entonces 𝑥 +
1
𝑥
≥ 2
Si 𝑥 < 0 entonces 𝑥 +
1
𝑥
≤ −2
Se tiene un terreno en la ribera del rio y
queremos cercar parte de ella en forma
rectangular; para ello contamos con 200 𝑚 de
cerca. ¿Cuál será el área máxima cercada?
Del texto se tiene el
siguiente gráfico:
𝒂 𝒂
𝒃
En el gráfico se cumple:
Área: 
Cerca: 
Se sabe que: 
reemplazando: 
200
2
≥ 2𝐴 10 000 ≥ 2𝐴
2
→ 5 000 ≥ 𝐴
∴ 𝐴𝑚á𝑥 = 5 000 𝑚
2
A = 𝑎. 𝑏
2𝑎 + 𝑏 = 200
Resolución
Aplicación 6
w w w. a c a d e m i a c e s a r v a l l e j o . e d u . p e