Semestral Uni - Álgebra semana 04

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ECUACIONES POLINOMIALES I
ÁLGEBRA
Las ecuaciones son fundamentales en el álgebra. Desde
tiempos inmemoriales, la necesidad de resolver problemas
en la vida cotidiana de los pueblos, antiguos y modernos,
obliga a desarrollar técnicas matemáticas que surgen en la
resolución de ecuaciones algebraicas.
INTRODUCCIÓN
Una de sus aplicaciones son los porcentajes los porcentajes
son importantes en todas las áreas y juegan un papel
fundamental en la MATEMÁTICA FINANCIERA.
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La matemática financiera es una ciencia que deriva de la matemática que estudia el valor del dinero a
través del tiempo, en el cual se combinan las tasas de interés aplicadas a un capital inicial o valor presente
para obtener un monto o valor futuro, este valor futuro se obtiene aplicando métodos de evaluación que
permiten tomar decisiones con respecto a la inversión. Esta también se le llama INGENIERÍA ECONÓMICA.
RAÍZ DE UN POLINOMIO 
El número 𝜶 es raíz de un polinomio, si anula a dicho
polinomio.
𝜶 es raíz de 𝑷 𝒙 ↔ 𝑷 𝜶 = 𝟎
Ejemplos
❖ 2 es raíz de 𝑃 𝑥 = 𝑥
2 − 4 ↔ 𝑃 2 = 0
❖ −3 es raíz de 𝑃 𝑥 = 𝑥
3 + 𝑥 + 30 ↔ 𝑃 −3 = 0
TEOREMA DEL FACTOR
𝜶 es raíz de 𝑷 𝒙 ↔ 𝑥 − 𝜶 es factor de 𝑷 𝒙
Ejemplos
❖ 2 es raíz de 𝑃 𝑥 = 𝑥
2 − 4 ↔ 𝑥 − 2 es factor de 𝑃 𝑥
En efecto, factorizando 𝑃 𝑥 = 𝑥 − 2 𝑥 + 2
❖ 𝑥 − 7 es factor de 𝐻 𝑥 ↔ 7 es raíz de 𝐻 𝑥
❖ −1 es raíz de 𝑀 𝑥 = 𝑥
3 + 1 ↔ 𝑥 + 1 es factor de 𝑀 𝑥
Entonces 𝑀 𝑥 = 𝑥 + 1 . g 𝑥
❖ 3 y − 5 son raíces de 𝑁 𝑥 ↔ 𝑥 − 3 y 𝑥 + 5 son 
factores de 𝑁 𝑥 .
Entonces 𝑁 𝑥 = 𝑥 − 3 𝑥 + 5 . 𝑞 𝑥
❖ 𝑥 + 4 es factor de 𝐴 𝑥 ↔ −4 es raíz de 𝐴 𝑥
❖ Un polinomio de grado 𝒏 tiene exactamente 𝒏 raíces
(contando con la multiplicidad)
Importante
❖ Raíz Simple: 
❖ Raíz de Multiplicidad 𝒌: 
si aparece una sola vez.
si se repite 𝑘 veces. 
Ejemplo
𝑃 𝑥 = 𝑥 − 8 𝑥 − 5
2 𝑥 + 1 3
➢ 𝑃 𝑥 es un polinomio de grado 6 →
➢ 8 es una raíz simple. 
➢ 5 es una raíz de multiplicidad 2, 
➢ −1 es una raíz de multiplicidad 3, 
tiene 6 raíces
𝑃 𝑥 = 𝑥 − 8 𝑥 − 5 𝑥 − 5 𝑥 + 1 𝑥 + 1 𝑥 + 1
llamada también raíz doble. 
llamada también raíz triple.
Observación 
Conociendo las raíces del polinomio,
podemos saber que forma tiene dicho
polinomio.
Ejemplos
❑ Si 𝟐 es una raíz simple y 𝟕 es una raíz triple, entonces 
el polinomio de menor grado es 
𝑃 𝑥 = 𝑥 − 2 𝑥 − 7
𝟑𝒂
Coeficiente principal
❑ Si −𝟑 es una raíz simple, 𝟒 es una raíz doble y −5 es una
raíz triple, entonces el polinomio de menor grado es
𝑃 𝑥 = 𝑥 + 3 𝑥 − 4
𝟐 𝑥 + 5 𝟑𝒂
Coeficiente principal
ECUACIÓN CUADRÁTICA 
Son ecuaciones polinomiales de segundo grado, por lo 
tanto, siempre tiene 2 raíces .
Forma general 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎; 𝒂 ≠ 𝟎
Fórmula general
𝑥1 y 𝑥2 son sus raíces, además
∆ = 𝑏2 − 4𝑎𝑐; llamado DISCRIMINANTE
𝒙𝟏 =
−𝒃 + ∆
𝟐𝒂
𝒙𝟐 =
−𝒃 − ∆
𝟐𝒂
Naturaleza de sus raíces
Considerando los coeficientes reales 
∆ > 𝟎 Raíces reales diferentes.
∆ = 𝟎 Raíces reales e iguales (solución única).
∆ < 𝟎 Raíces imaginarias conjugadas.
Interpretación gráfica
∆ > 𝟎 ∆ = 𝟎 ∆ < 𝟎
𝐗 𝒙𝟏 = 𝒙𝟐
•
La gráfica de un polinomio cuadrático es una parábola.
Raíces reales 
diferentes
Raíces reales e iguales 
(solución única)
Raíces NO reales 
imaginarias conjugadas
𝒙𝟏
•
𝒙𝟐
•
𝐗 𝐗
𝒙𝟏 , 𝒙𝟐 ∉ ℝ
PROPIEDADES
Sean 𝑥1 y 𝑥2 las raíces de la ecuación. 
𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎; 𝒂 ≠ 𝟎
𝒃
𝒂
−
Suma de raíces 𝒙𝟏+𝒙𝟐 =
Producto de raíces 𝒙𝟏. 𝒙𝟐 =
𝒄
𝒂
Para hallar la diferencia de raíces 
𝒙𝟏 + 𝒙𝟐
𝟐 − 𝒙𝟏 − 𝒙𝟐
𝟐 =
Observación 
Si las ecuaciones cuadráticas 
𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎 y
𝒎𝒙𝟐 + 𝒏𝒙 + 𝒑 = 𝟎
son equivalentes 𝐭𝐢𝐞𝐧𝐞𝐧 𝐥𝐚𝐬 𝐦𝐢𝐬𝐦𝐚𝐬 𝐬𝐨𝐥𝐮𝐜𝐢𝐨𝐧𝐞𝐬
Se cumple:
𝒂
𝒎
𝒃
𝒏
𝒄
𝒑
= =
𝟒𝒙𝟏𝒙𝟐
DEFINICIONES
Raíces simétricas 𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 = 𝟎
Raíces recíprocas 𝒙𝟏. 𝒙𝟐 = 𝟏
ECUACIÓN BICUADRADA 
Son ecuaciones de cuarto grado, por lo tanto tiene 4 raíces,
pero carece del término lineal y cúbico.
Forma general 𝒂𝒙𝟒 + 𝒃𝒙𝟐 + 𝒄 = 𝟎; 𝒂𝒃𝒄 ≠ 𝟎
Ejemplo
𝑥4 − 10𝑥2 + 9 = 0
Resolver la ecuación
𝑥2
𝑥2
−9
−1
𝑥2 − 9 𝑥2 − 1 = 0
𝑥2 = 9 ∨ 𝑥2 = 1
𝑥 = ±3 ∨ 𝑥 = ±1
∴ CS = 3;−3; 1;−1
PROPIEDADES
Sea la ecuación bicuadrada
𝒂𝒙𝟒 + 𝒃𝒙𝟐 + 𝒄 = 𝟎; 𝒂𝒃𝒄 ≠ 𝟎
I. Las soluciones tienen la forma: 𝜶;−𝜶; 𝜷;−𝜷
𝐈𝐈. 𝜶𝟐 + 𝜷𝟐 =
𝒃
𝒂
− 𝐈𝐈𝐈. 𝜶𝟐. 𝜷𝟐 =
𝒄
𝒂
IV. Si sus raíces están en P.A. se cumple: 𝜶 = 𝟑𝜷
V. Si una raíz es de la forma 𝒂+𝒃𝒊, las otras raíces son:
𝒂 − 𝒃𝒊 −𝒂 + 𝒃𝒊 −𝒂− 𝒃𝒊
𝒂 ≠ 𝟎
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