Semestral Uni - Álgebra semana 06

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INECUACIONES I
ÁLGEBRA
Una aplicación de las desigualdades es para el caso de
los veleros utilizados en las carreras de la Copa
América, la cual se efectúa cada tres o cuatro años (la
última edición se realizó en Auckland Nueva Zelanda el
pasado 7 y 16 de marzo del 2021). La International
America’s Cup Class (IACC) da la siguiente regla de
definición para yates:
L, S y DSP también están especificadas por
complicadas fórmulas, pero aproximadamente, L es la
longitud, S es el área del velamen y DSP es el
desplazamiento (el volumen del casco bajo la línea de
flotación).
https://www.youtube.com/watch?v=WHcIWr_xM9k&feature=emb_title
Aplicación de las desigualdades
https://www.youtube.com/watch?v=WHcIWr_xM9k&feature=emb_title
𝐄𝐣𝐞𝐦𝐩𝐥𝐨
Resuelva la inecuación
𝑥 − 2 𝑥 + 3 𝑥 + 1 ≤ 0
𝑃 𝑥
Método de los puntos críticos (P.C.)
• Ubicamos los puntos críticos en la recta real y
separamos por zonas.
• Hallamos los puntos críticos (o raíces) del
polinomio 𝑃 𝑥 igualando a cero cada uno de sus
factores lineales.
• Colocamos los signos (+) o (−) en las zonas de
forma alternada, empezando de derecha a izquierda
con el signo (+).
Pasos para aplicar el método de los P.C.:
Puntos críticos: 2 ;−3 ; −1
• Garantizamos que el coeficiente principal de cada
uno de los factores lineales de 𝑃 𝑥 sea positivo.
Resolución • Finalmente hallamos el C.S. según el siguiente
criterio:
⟶ C. S. = zona (−) y P.C. cerrados.
Para nuestro ejemplo, elegimos las zonas de signo
− y los extremos finitos cerrados, es decir:
𝑃 𝑥 > 0
𝑃 𝑥 ≥ 0
𝑃 𝑥 < 0
𝑃 𝑥 ≤ 0
⟶ C. S. = zona (−) y P.C. abiertos.
⟶ C. S. = zona (+) y P.C. cerrados.
⟶ C. S. = zona (+) y P.C. abiertos.
−3 −1 +∞−∞ 2
−+− +
𝐶. 𝑆. = −∞;−3 ∪ −1; 2∴
Ejemplos:
• 5𝑥2 + 3𝑥 − 7 > 0
Caso I:
• 𝑥2 − 10 ≤ 0
(∆> 𝟎)
Su forma general es:
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 ≷ 0 𝑎 ≠ 0
INECUACIÓN CUADRÁTICA
Resolución de la inecuación cuadrática
1) La inecuación cuadrática debe estar en su
forma general y es conveniente que su
coeficiente principal sea positivo (𝑎 > 0).
2) Calculamos el discriminante, según su
resultado existen 3 casos.
Halle sus dos raíces (por factorización o
fórmula general), luego aplique el criterio de
los puntos críticos e indique el CS.
Aplicación 1
Resolver:
−𝑥 𝑥 − 6 ≥ 𝑥2 − 𝑥 + 3
Resolución
2𝑥
𝑥
−1
−3
−2𝑥2 + 7𝑥 − 3 ≥ 0
Por (−1): 2𝑥2 − 7𝑥 + 3 ≤ 0 ; ∆= 25 > 0
2𝑥 − 1 𝑥 − 3 ≤ 0 ; Puntos críticos:
1
2
∶ 3
𝐶𝑆 =
1
2
; 3
1
2
3 +∞−∞
−+ +
∴
Aplicación 2
Resolución:
𝑥2 − 2 2𝑥 − 6 > 0
𝑥
𝑥
−3 2
2
Puntos críticos: 3 2 y − 2
𝑥2 − 2 2𝑥 − > 03 2
2
Aplicación 3:
Determine 𝑎𝑏 si la inecuación 𝑥2 − 𝑎𝑥 − 𝑏 ≥ 0 tiene 
como 𝐶𝑆 = ൻ−∞; ሿ−2 ∪ ሾ10; ۧ+∞
Resolución:
Del conjunto solución, −2 y 10 son las raíces del
polinomio, por el teorema de Cardano:
−2 + 10 = 𝑎
𝑎 = 8
−2 10 = −𝑏
𝑏 = 20
𝑎𝑏 = 80
𝑥2 − 2 2𝑥 − 6 > 0
Resolver la siguiente inecuación
⟶
∴
⟶ ⟶
Observación
Si una inecuación cuadrática 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 ≷ 0
tiene como 
𝐶𝑆 = 𝑚 ; 𝑛 𝐶𝑆 = ൻ−∞; ሿ𝑚 ∪ ሾ𝑛; ۧ+∞o
Entonces m y 𝑛 son raíces de la cuadrática y se
puede aplicar el Teorema de Cardano.
− 2 3 2 +∞−∞
−+ +
CS = −∞ ;− 2 ∪ 3 2 ;+∞∴
Resolución:
4𝑥2 − 12𝑥 + 9 ≥ 0
Notamos que su ∆=
Entonces la cuadrática es un TCP
2𝑥 − 3 2 ≥ 0
𝐶𝑆 = ℝ
También tenga en cuenta lo siguiente:
2𝑥 − 3 2 ≥ 0
2𝑥 − 3 2 > 0
2𝑥 − 3 2 < 0
2𝑥 − 3 2 ≤ 0
𝐶𝑆 = ℝ
𝐶𝑆 = ∅
(Solución única)
Caso II: (∆= 𝟎)
Resolver la siguiente inecuación
4𝑥2 − 12𝑥 + 9 ≥ 0
El polinomio es un trinomio cuadrado perfecto y por
simple inspección se obtiene el conjunto solución.
Ejemplo
(−12)2−4 4 9 = 0
Si:
Si:
Si:
Si:
𝐶𝑆 = ℝ −
2
3
𝐶𝑆 =
2
3
∴
Observación
Si el conjunto solución de:
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 ≷ 0 ; 𝑎 ≠ 0
es de la forma 𝛼 o ℝ− 𝛼 entonces
∆ = 0 y 𝛼 es raíz doble del polinomio.
Resolución:
Como la inecuación tiene solución única, entonces.
Aplicación 
Determine el valor de 𝑏 + 𝑚 si la inecuación
2𝑥2 − 2𝑥 + 𝑏 ≤ 0
tiene 𝐶𝑆 = 𝑚 .
Caso III: (∆< 𝟎)
Ejemplo 
Resolver
𝑥2 + 6𝑥 + 10 > 0
Aplique el teorema de trinomio positivo y por simple
inspección se obtiene el conjunto solución que puede
ser ℝ o ∅.
𝑏 + 𝑚 =
3
2
∆ = 0
−2 2 − 4 2 𝑏 = 0
𝑏 =
1
2
𝑚 es raíz doble
𝑚 +𝑚 =
2
2
Por el T. Cardano:
→ 𝑚 = 1
∴
TEOREMA DEL TRINOMIO POSITIVO (TTP):
𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 > 𝟎; ∀𝒙 ∈ ℝ ⟷ 𝒂 > 𝟎 ∧ ∆ < 𝟎
Resolución:
𝑥2 + 6𝑥 + 10 > 0
Notamos que: ∆= 62 − 4 1 10 < 0
Por el teorema del trinomio positivo :
Como: 𝑎 = 1 > 0 ∧ ∆= −4 < 0
𝑥2 + 6𝑥 + 10 > 0; ∀ 𝑥 ∈ ℝ
+
𝐶𝑆 = ℝ∴
También tenga en cuenta lo siguiente:
𝐶𝑆 = ℝ
𝐶𝑆 = ℝ
𝐶𝑆 = ∅
𝐶𝑆 = ∅
𝑥2 + 6𝑥 + 10 > 0
+
+
𝑥2 + 6𝑥 + 10 ≤ 0
𝑥2 + 6𝑥 + 10 ≥ 0
+
𝑥2 + 6𝑥 + 10 < 0
+
Si 𝑥2 − 𝑟𝑥 −
3
4
> −𝑟 ∀𝑥 ∈ ℝ, halle la variación de 𝑟.
Resolución
𝑥2 − 𝑟𝑥 + 𝑟 −
3
4
> 0 ; ∀𝑥 ∈ ℝ
Aplicación 
esto se cumple según el teorema del trinomio
positivo si:
coef. princ. > 0
> 0 ∧ < 0(−𝑟)
2
−4 1 𝑟 −
3
4
𝑟2 − 4𝑟 + 3 < 0
∧ ∆< 0
1
𝑟 − 1 𝑟 − 3 < 0
Puntos críticos: 1 y 3
𝑟 ∈ ⟨1 ; 3ۧ
1 3 +∞−∞
−+ +
∴
Aplicación
Determine la variación de 𝑏 si la inecuación
cuadrática.
𝑥2 − 2𝑏𝑥 + 4 ≥ 0 ,
Cumple para todo 𝑥 que pertenece a los reales.
Resolución:
𝑥2 − 2𝑏𝑥 + 4 ≥ 0 ;Como:
∆= (−2𝑏)2−4 1 4 ≤ 0
Por el Teorema del trinomio no negativo.
∀ 𝑥 ∈ ℝ
Entonces se cumple que
𝑎 = 1 > 0 ∧
𝑏2 − 4 ≤ 0
𝑏 − 2 𝑏 + 2 ≤ 0
Puntos Crticos: 2;−2
𝑏 ∈ −2; 2
TEOREMA DEL TRINOMIO NO NEGATIVO 
𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 ≥ 𝟎; ∀𝒙 ∈ ℝ⟷ 𝒂 > 𝟎 ∧ ∆ ≤ 𝟎
−2 2 +∞−∞
−+ +
∴
www.a cadem i a ce s a r v a l l e j o . e du . pe