Semestral Uni - Aritmética semana 03

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REGLA DEL TANTO POR CIENTO
- Concepto
- Variación Porcentual
- Descuentos y aumentos sucesivos
- Aplicaciones Comerciales
ARITMÉTICA – SEM 3
Objetivos
• Conocer y diferenciar el concepto de Tanto por
ciento y porcentaje
• Calcular de manera correcta los descuentos y
aumentos porcentuales sucesivos, además de la
variación porcentual
• Resolver situaciones comerciales, respecto a los
diferentes precios de un mismo producto
Introducción
Durante nuestra experiencia y quehacer cotidiano,
encontramos variada información, expresada en tanto por
ciento (con el símbolo : % ), esto nos conlleva a preguntarnos
¿que significa?.
En la imagen por ejemplo, se observa la información
respecto a que algunas vacunas contra la COVID 19 tienen
mayor efectividad ( mayor tanto por ciento) que otras,
obtenidas a través de ensayos clínicos.
Vamos a notar que en diversas situaciones usaremos
e interpretaremos el concepto del tanto por ciento, no solo para
diferenciar la efectividad de una vacuna, sino también, en
variaciones porcentuales, en descuentos y aumentos
porcentuales; en situaciones de descuentos y ganancias
expresadas en tanto por ciento a nivel comercial, etc.
REGLA DEL TANTO POR CIENTO
Concepto.
Es un procedimiento aritmético que consiste en dividir
una cantidad en 100 partes iguales y considerar tantas
partes como se indican.
Ejemplo Ilustrativo: Calcule el 20 por ciento de 600.
20
100
120(600)
600
100
=
20 = 120
1ra forma:
Dividimos 600 en 100 partes iguales
6 6 6 … 6 6 6 6 6 6 6 … 6 6 6
Consideramos 20 de esas partes
2da forma: En forma práctica
En General
a por ciento <>
a
100
= a %
Equivalencias de tanto por ciento a 
fracciones 
10
100
<>10% <>
1
10
20
100
<>20% <>
1
5
1
4
<>25%
•
•
•
1
2
<>50%•
3
4
<>75%•
1<>100%•
Ejemplos:
2
5
<>40%•
3
5
<>60%•
4
5
<>80%•
1
8
<>12,5%•
•
1
3
<>33,෠3%
Aplicación 1Porcentaje. Es la aplicación del tanto por ciento
a una cantidad.
Calcule el 20% de 140Ejemplo
20% (140) = 28
tanto 
por 
ciento
cantidad
porcentaje
porcentaje
Observaciones:
1. Toda cantidad representa el 100% de si misma, es decir:
100%N = N
2. Las palabras de, del ,de los indicarán multiplicación.
3. Las palabras representa, es, son, será nos indicarán
igualdad.
En un seminario virtual de Aritmética para el ciclo
Semestral UNI, asistieron 80 mujeres y 52 varones, ¿qué
tanto por ciento de la cantidad de mujeres representa la
cantidad de varones?
Resolución
Del enunciado, asistieron: 80 mujeres y 52 varones
Nos piden:
Que tanto 
por ciento
T %
De
x
La cantidad 
de mujeres
80
Representa
=
La cantidad 
de varones
52
T % = 52
80
x (100%)
T % = 65%∴
Operaciones con Porcentajes
Para poder calcular alguna de las siguientes operaciones
con el tanto por ciento, deben aplicarse sobre una
misma cantidad.
Ejemplos:
a% N + b% N = (a + b) % N
a% N - b% N = (a - b) % N
N + b% N = (100 + b) % N
N - b% N = (100 - b) % N
a% (b% N) = b% (a% N) 
• 32% A + 16% A = 48% A
• B + 45% B = 100% B + 45% B = 145% B
• 98% A - 25% A = 73% A
• B - 32% B = 100% B - 32% B = 68% B
• 9% (8% N) = 8% (9% N) = 72% N
Aplicación 2
Si el 20% del dinero que tiene Carlos equivale al 30% del
dinero que tiene Daniel, y Ernesto tiene tanto como Carlos
y Daniel juntos. ¿qué tanto por ciento del dinero que tiene
Ernesto es el dinero que tiene Daniel?
Resolución
Sean: C, D y E los dineros que tienen Carlos, Daniel y
Ernesto, respectivamente.
• 20% C = 30% D
Del enunciado:
→
C
D
=
3
2
C = 3k
D = 2k
Además: E = 3k + 2k E = 5k
Piden: n% × E = D
n% × 5k= 2k
n% = 2
5
x (100%)
n %= 40%∴
Variación Porcentual (∆%).
Es el tanto por ciento de aumento o disminución que
sufre una cantidad, tomando como referencia su valor
inicial.
Se calcula de la siguiente manera:
∆% =
Valor final − Valor inicial
Valor inicial
× 100%
Además:
𝑆𝑖 ∆% > 0 → La cantidad aumenta
𝑆𝑖 ∆% = 0 → La cantidad no varía
𝑆𝑖 ∆% < 0 → La cantidad disminuye
Ejemplo:
Juan tiene 16 años y dentro de 4 años tendrá 20 años:
∆% =
20 − 16
16
x 100% → ∆% = 25%
∴ La edad de Juan aumentó en 25%
Aplicación 3
Si el lado de un cuadrado disminuye en 20%, en que tanto
por ciento disminuirá su respectiva área.
Al inicio Al final
5k
5k
4k
4k
Disminuye en 20%
25𝐤𝟐
16𝐤𝟐
Resolución
Del enunciado se tiene:
Suponemos
Calculando la Variación Porcentual del área:
∆% =
16𝐤𝟐 − 25𝐤𝟐
25𝐤𝟐
x 100%
∆% = −9
25
x 100% = −36%
∴ El área disminuye en 36%
Descuentos Sucesivos
Son descuentos que no se aplican sobre una misma
cantidad, sino sobre el saldo que va quedando.
¿ A que descuento único equivale dos descuentos sucesivos
del 20% y 30% ?
Ejemplo:
DU =𝟏𝟎𝟎%− 100 − 𝟐𝟎 % 100 − 𝟑𝟎 %
DU =𝟏𝟎𝟎%− 80 % 70 %
DU = 𝟏𝟎𝟎% − 56% → DU = 44%
•
¿ A que descuento único equivale tres descuentos sucesivos
del 10% , 20% y 50%?
DU =𝟏𝟎𝟎%− 100 − 𝟏𝟎 % 100 − 𝟐𝟎 %
•
100 − 𝟓𝟎 %
DU =𝟏𝟎𝟎%− 90 % 80 % 50 %
DU =𝟏𝟎𝟎%− 36% → DU = 54%
Aumentos Sucesivos
Son aumentos que no se aplican sobre una misma
cantidad, sino sobre los resultados que se van
obteniendo.
¿ A que aumento único equivale dos aumentos sucesivos
del 20% y 30% ?
Ejemplo:
AU = 𝟏𝟎𝟎%−100 + 𝟐𝟎 % 100 + 𝟑𝟎 %
•
AU = 120 % 130 % − 𝟏𝟎𝟎%
AU = 156 % − 𝟏𝟎𝟎% → AU = 56%
¿ A que aumento único equivale tres aumentos sucesivos
del 10% , 20% y 50%?
AU = 𝟏𝟎𝟎%−100 + 𝟏𝟎 % 100 + 𝟐𝟎 %
•
AU = 110 % 120 % − 𝟏𝟎𝟎%
AU = 178 % − 𝟏𝟎𝟎%
→ AU = 78%
100 + 𝟓𝟎 %
150 %
Aplicación 4
María fue a una tienda a comprar un pantalón cuyo
precio era de S/ 150, pero la tienda le ofrece dos
descuentos sucesivos del 10% y 20%. Determine cuánto
debe pagar María por el pantalón
Resolución
150
Precio
inicial
1er descuento
Del enunciado se tiene:
10%(150)
90%(150)
Precio luego 
del descuento
2do descuento
20%[90%(150)]
80%[90%(150)]
Precio
final
María debe pagar:∴ 80%[90%(150)] = 108
Aplicación 5
Juan invierte su capital en un negocio. En el primer mes
pierde el 20%, en el segundo mes pierde el 10% de lo que
quedaba y en el siguiente mes gana el 50% del nuevo
resto. Si al final de los 3 meses se retiro del negocio con
S/4320, ¿ Gano o perdió Ramiro en este negocio y
cuánto?
Resolución
Sea: “C” el capital que invierte Juan:
Por condición, al final tendrá:
80%(C)
Primer mes
90%( )
Segundo mes
150%( )
Tercer mes
= 4320 108%(C)= 4320
C = 4000
Capital al
final
Capital al
inicio
∴ Juan ganó: 4320 - 4000 = 320
Aplicaciones Comerciales
Ejemplo:
Aníbal es un comerciante de Laptops; cierto día va
donde su proveedor y compra una Laptop I5 a un precio
de S/2000, luego se dirige a su stand y lo ofrece a
S/3000, pero lo llega a vender con un descuento del
20%. ¿Cuánto ganó realmente Aníbal si gastó en
movilidad S/40?
Pc = Pv = Pf =
G = D =
A =
Gneta = Gastos =
2000 3000
1000
20%3000
600
2400
400
40360
Aníbal ganó realmente S/360∴
Del esquema se deduce lo siguiente:
Pv = Pc + G
Pv = Pf – D
G = Gneta + Gastos
Pf = Pc + A
Pv : Precio de venta
Pc : Precio de compra
Pf : Precio fijado
Siendo:
G : Ganancia o Ganancia Bruta
D : Descuento o Rebaja
A : Aumento o Incremento
En los problemas generalmente se considera que:
D es un tanto por ciento del Pf
G es un tanto por ciento del Pc
A es un tanto por ciento del Pc
El Gasto y la Gneta es un tanto por ciento de la G
10%(150)
Aplicación 6
¿Cuál es el precio que se debe fijar un artículo, de tal
modo que al momento de venderlo se haga una rebaja
del 25% y todavía se gane el 40%?. Considere que el
precio de costo es de S/150.
Resolución
Del enunciado se tiene:
Pf = ??Pv
R =25%(Pf)G = 40%(Pc)
Pc = 150
Del esquema:
Pv = • Pc + 40%Pc 
Pv = 140% (150)
Pv = 210
• Pv = Pf - 25%Pf 
210 = 75% Pf
210 = 3
4
Pf
∴ Pf = 280
Aplicación 7
En la venta de un artículo se gana el 40%, pero el proceso
de venta ocasionó gastos que representan el 25% de la
ganancia neta. Calcule el precio de costo, si la ganancia
neta fue S/ 160
Resolución
Del enunciado se tiene:
Pc Pv
G = 40%(Pc)
Gastos = 25% GnetaGneta=??
40
= 160
Del esquema:
G = Gneta + Gastos
40% Pc = 160 + 40
∴ Pc = 500
www.a cadem i a ce s a r v a l l e j o . e du . pe