Semestral Uni - Aritmética semana 15

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CLASIFICACIÓN DE LOS ENTEROS POSITIVOS
- Clasificación según su cantidad de divisores
- Clasificación por grupos de números 
- Descomposición canónica de un número 
- Estudio de los divisores de un número 
ARITMÉTICA – SEM 15
OBJETIVOS DE LA SESIÓN 
ESTUDIAR LOS SIGUIENTES PUNTOS :
INTRODUCCIÓN
Los números primos son la base de la
construcción de los números enteros.
Gracias a los números primos hoy
podemos comprar por internet y enviar
mensajes seguros, porque los números
primos son la materia prima de la
encriptación. Podemos convertir cualquier mensaje 
en un número o usar números primos 
para proteger claves
CLASIFICACIÓN DE Ζ+
SEGÚN LA
CANTIDAD DE DIVISORES
1.NÚMEROS SIMPLES
Son aquellos que poseen
a lo más dos divisores.
La Unidad
Es el único número entero
positivo que posee un solo
divisor (el mismo) : 1.
Números primos
Llamados también “primos absolutos”,
poseen exactamente dos divisores (la
unidad y el mismo número) :
2;3;5;7;11;13;17;19;23;29;31;37;41;43;
47;53;59;61;67;71;73;79;83;89;97;...
Se tiene :
Se
 s
u
b
d
iv
id
e
2.NÚMEROS COMPUESTOS
Son aquellos que poseen más
de dos divisores : 4;6;8;9;10;...
Propiedades de los números primos
Propiedad 1
Existe una cantidad infinita de primos
2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29; 31; 37; 41;…
El único primo par es el 2, todos los demás son
impares.
Propiedad 2
Propiedad 3
Los únicos números consecutivos y primos a la vez
son el 2 y 3.
Los tres únicos números impares consecutivos y
primos a la vez son el 3; 5 y 7.
Propiedad 4
Todo número primo mayor que 2 es de la forma 4 ± 1
,lo contrario no siempre se cumple.
∘
Propiedad 5
Ejemplos:
• primo: 5 = 4 + 1
∘
• primo: 31 = 4 − 1
∘
; pero no es primo. 
; pero no es primo. 
• 4 − 1 = 15
∘
• 4 + 1 = 21
∘
CLASIFICACIÓN POR GRUPO DE NÚMEROS
1. NÚMEROS PRIMOS ENTRE SI (PESI)
Dos o más números enteros positivos se denominan
números PESI, cuando el único divisor común que tienen
es la unidad; también se denominan primos relativos o
números coprimos.
• ¿10, 12 y 15 son PESI?
10 ∶
12 ∶
15 ∶
1 , 2 , 5 , 10
1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 12
1 , 3 , 5 , 15
divisores
∴ 10 ,12 y 15 son PESI.
Ejemplos:
• ¿14, 21 y 35 son PESI?
14 ∶
21 ∶
35 ∶
1 , 2 , 7 , 14
1 , 3 , 7 , 21
1 , 5 , 7 , 35
divisores
∴ 14 ,21 y 35 no son PESI.
El único divisor 
común es la
unidad.
Divisores comunes
son el 1 y 7.
2. PESI 2 A 2
Tres o más números enteros positivos son PESI 2 a 2, si al
formar todas las parejas posibles con esos números, cada
pareja resulta ser PESI.
• ¿14, 19 y 15 son PESI 2 a 2?
14 𝑦 19
14 𝑦 15
19 𝑦 15
∴ 14,19 y 15 son PESI 2 a 2
son PESI
son PESI
son PESI
Ejemplo:
Todas las parejas que se pueden formar son:
Notamos que todas las parejas, son PESI.
Todo número entero positivo mayor que la unidad puede ser
expresado, como la multiplicación indicada de sus divisores
primos diferentes elevados a ciertos exponentes enteros
positivos, dicha representación es única (salvo el orden de los
factores) y se le denominada Descomposición Canónica(D.C.).
TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA ARITMÉTICA
Ejemplo:
 Sea el número 24 
1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 8 ; 12 ; 24:
divisores primos de 24
divisores
24 → 24 =
(D.C.)
23 31×
En general:
𝑁 = 𝑎𝛼 × 𝑏𝛽 × 𝑐𝜃 …. (D.C.)
Donde:
• 𝑎 ; 𝑏 y 𝑐 ∶ son números primos diferentes
• 𝛼 ; 𝛽 y θ ∶ son enteros positivos
ESTUDIO DE LOS DIVISORES
Sea 𝑁 = 24 , sus divisores enteros positivos son:
1 ; 𝟐 ; 𝟑 ; 4 ; 6 ; 8 ; 12 ; 24
Divisores propios
Divisores primos
Divisores simples Divisores compuestos
𝐶𝐷(𝑁) = 𝐶𝐷(simples) + 𝐶𝐷(compuestos)
𝐶𝐷(𝑝𝑟𝑜𝑝𝑖𝑜𝑠) = 𝐶𝐷(N) − 1
𝐶𝐷(𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑒𝑠) = 𝐶𝐷(primos) + 1
Se cumple:
1. CANTIDAD DE DIVISORES (𝑪𝑫)
= = 8×𝐶𝐷(24)
(
31+1 − 1
3 − 1
)×
𝑆𝐷(24)
= 60
𝑁 = 𝑎𝛼 × 𝑏𝛽 × 𝑐𝜃 …. (D.C.)
𝐶𝐷(𝑁)
= (
𝑎𝛼+1 − 1
𝑎 − 1
)
× (𝛽 + 1)× (𝜃 + 1)
𝑆𝐷(𝑁)
Del ejemplo anterior:
=
4
4
(
23+1 − 1
2 − 1
)=
2
𝑆𝐷(24)
(𝟑 + 1) (𝟏 + 1)
= 15
En general:
= (𝛼 + 1)
× (
𝑏𝛽+1 − 1
𝑏 − 1
) × (
𝑐𝜃+1 − 1
𝑐 − 1
)
Sea
Se cumple:
24 = ×23 31
↓ ↓
... (D.C.)
×
×
2. SUMA DE DIVISORES (𝑺𝑫)
APLICACIÓN 1 UNI 2018 - 1
RESOLUCIÓN
Por dato:
Además: 𝐶𝐷(𝑁) = 𝛼 + 1 𝛽 + 1 = 6
2 3
𝛼 = 1
𝛽 = 2
Entonces: …(D.C.)
…(D.C.)
Luego: (1 + 𝑎)(1 + 𝑏 + 𝑏2) = 42
(𝟏 + 𝟓) (𝟏 + 𝟐 + 𝟐𝟐)
𝑎 = 5 𝑏 = 2 𝑁 = 20
Por lo tanto , la suma de sus cifras del número es 2
Halle la suma de las cifras del menor número entero
positivo N, sabiendo que admite sólo dos divisores
primos, el número de divisores simples y compuestos
es 6 y la suma de ellos es 42.
𝑁 = 𝑎𝛼 𝑏𝛽×
→
𝑁 = 𝑎1 𝑏2×
𝑆𝐷(𝑁) = = 6 7×
→
También :
(1 + 2 + 22 + 23)(1 + 3)= = 15 4× = 60
APLICACIÓN 2 UNI 2017 - 2
RESOLUCIÓN
Además:
𝐶𝐷(𝑁) = 𝑥 + 1 𝑦 + 1 𝑧 + 1 = 48
−
𝑥 + 1 𝑦 + 1 = 12
𝑧 = 3
2 6
3 4
4 3
6 2
N = 21 35 53
N = 22 33 53
N = 23 32 53
N = 25 31 53
= 60750
= 13500
= 9000
= 12000
Por lo tanto , el mayor número N es 60750
DESCOMPOSICIÓN CANÓNICA DEL FACTORIAL DE 
UN NÚMERODetermine el mayor número de la forma : 2𝑥 3𝑦 5𝑧 ,
donde 𝑥, 𝑦, 𝑧 son enteros con 𝑥𝑦𝑧 ≠ 0, con la condición
que al ser multiplicados por 5, el número de sus divisores
aumenta de 48 a 60.
× ×
Por dato:
𝑁 = 2𝑥 3𝑦 5𝑧× × →
𝐶𝐷(5𝑁) = 𝑥 + 1 𝑦 + 1 𝑧 + 2 = 605𝑁 = 2𝑥 3𝑦 5𝑧+1× × →
12 4
→
Luego:
𝑥 + 1 𝑦 + 1 = 12
→
→
→
→
Hallar la descomposición canónica de 18!
18! = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18×× × × × × × × × × × × × × × × ×→
22
→
21
→
21
→
23
→
21
→
22
→
21
→
24
→
21
18! = 216
→
32
→
31
→
31
→
31
→
31
→
32
× 38 53× 72× 111× 131× 171× …(D.C.)
→
51
→
51
→
51
→
71
→
71
Forma práctica:
Hallamos el exponente del factor primo 2 en el 18!
290
41 2
20
10
2
18 2
“Divisiones sucesivas”
→ 18! = 216 ×…
9 + 4 + 2 + 1
¿En cuántos ceros termina el factorial de 1973 al ser 
expresado en la base 5?
RESOLUCIÓN:
Sabemos:
1973! = 𝑎𝑏𝑐 …𝑥𝑦𝑧000…05
“n” ceros
, 𝑧 ≠ 0
Por descomposición polinómica en bloques:
APLICACIÓN 3
1973
53943
784
5
5
153
30
5
Por lo tanto, 1973! Termina en 490 ceros en la base 5
∴ 𝑛 = 490
Por dato:
1973! = 𝑎𝑏𝑐 …𝑥𝑦𝑧5 5
𝑛
×
≠ 5°
→ 1973! = 5490 ×…
394 + 78 + 15 + 3
INDICADOR DE UN NÚMERO
El indicador de un número N, nos dice cuántos números
PESI con N existen entre dos múltiplos consecutivos de N.
En forma práctica el indicador de N , nos dice cuántos
números menores o iguales a N, son PESI con N.
Notación: ∅𝑁 𝜓𝑁o
Ejemplo: Halle el indicador del número 6 : ∅(6)
0 6 12 181 2 3 4 5 7 8 9 10 11 13 14 15 16 17
2 números
PESI con 6
2 números
PESI con 6
2 números
PESI con 6
∴ ∅ 6 = 2
APLICACIÓN 4
RESOLUCIÓN
Piden: 𝑛(𝐻)
Entonces:
Sabemos: 𝑙𝑎 𝑐𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠
𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑞𝑢𝑒 900 𝑦
𝑃𝐸𝑆𝐼 𝑐𝑜𝑛 900
= ∅(900)
…(D.C.)
∅(900) = 240
Por lo tanto, el 𝒏 𝑯 = 𝟐𝟒𝟎
UNI 2020 - 1
Sea: 
Entonces:
…(D.C.)
De ahí:
Si: 𝑝 ∶ (𝑝𝑟𝑖𝑚𝑜)
∅ p = 𝑝 − 1
𝑁 = 𝑎𝛼 𝑏𝛽×
∅ 𝑁 = 𝑎𝛼−1 𝑎 − 1 𝑏𝛽−1 𝑏 − 1× × ×
∅ 𝑝𝛼 = 𝑝𝛼−1 (𝑝 − 1)×
Halle el número de elementos del conjunto
𝐻 = 𝑚 ∈ ℕ 𝑀𝐶𝐷 𝑚, 900 = 1,𝑚 < 900/
Por dato: 𝑀𝐶𝐷 𝑚, 900 = 1
𝑚 y 900 son PESI Además: 𝑚 < 900;
900 = 22 32 52× ×
∅(900) = 2(2−1) (2 − 1) 3 2−1 (3 − 1) 5 2−1 (5 − 1)× × × × ×
𝑚 toma 240 valores
Además:
Si: 𝐴 y 𝐵 son PESI
∅ A B = ∅ 𝐴 ∅(𝐵)× ×
BIBLIOGRAFÍA
 Asociación Fondo de Investigadores y Editores.
Aritmética. Análisis razonado del número y sus
aplicaciones. Lumbreras Editores, 2020.
 Asociación Fondo de Investigadores y
Editores. Aritmética: Colección compendio
académico UNI. Lumbreras Editores, 2018.
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