Semestral Uni - Geometría semana 06

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PUNTOS NOTABLES 
ASOCIADOS AL 
TRIÁNGULO. 
GEOMETRÍA 
SEMANA 06 
OBJETIVOS
1 Destacar los principales resultados que se pueden obtener al intersecardos líneas notables de un mismo tipo en un triángulo y mostrar que la
tercera línea análoga a las anteriores pasa por dicha intersección.
3 Conseguir una forma opcional para resolver más rápido algunosproblemas de temas anteriores, como congruencia o cuadriláteros.
2 Examinar el uso conveniente de la disposición gráfica de estos puntosal pertenecer a una misma figura (recta o circunferencia).
PUNTOS NOTABLES 
En las más variadas situaciones
podemos encontrar puntos
especiales que destacan por el papel
fundamental que cumplen dentro de
un determinado evento o situación,
por ejemplo ¿Donde debería ubicarse
un pozo de agua para abastecer con
igual prioridad a tres casas lejanas?
La respuesta al problema anterior 
sería: “En el circuncentro del triángulo 
determinado por las posiciones de las 
casas”.
A
B
CP
Q
T
Líneas de un mismo tipo, de una misma característica,
Sean Q, T y P puntos de tangencia.
Punto de Gergonne
de una misma especie, un mismo
tipo de línea notable.
CIRCUNFERENCIA INSCRITA ,CIRCUNSCRITA Y EXINSCRITAPUNTOS NOTABLES ASOCIADOS AL TRIÁNGULO.
CIRCUNFERENCIA INSCRITA ,CIRCUNSCRITA Y EXINSCRITABARICENTRO.
A
B
C
G: Baricentro
G
P
a
a
Qb b
R
c
c El baricentro(G) divide a cada 
mediana de un triángulo 
en dos segmentos cuyas 
longitudes están en la razón
1:2 A
B
C
G
Q
𝒙= 𝟐𝒚
OBSERVACIÓN:
𝒙
𝒚
A
B
C A
B
C
a
a
𝟐𝒙
𝒙
W
𝟐𝒙
𝒙
𝟐𝐲
𝒚
W
G: Baricentro del ∆ABC 
A
B
C
G
𝒂
𝒙
𝒃
𝒙= 𝒂 + 𝒃
W: Baricentro W: BaricentroSe cumple: Se cumple:
Punto de concurrencia de las tres medianas en un triángulo.
Otros casos para reconocer el baricentro.
Teoremas para tener en cuenta.
G: Baricentro del ∆ABC 
A
B
C
G
𝒙
𝒂
𝒃
𝒄
𝒙= 
𝒂+𝒃+𝒄
𝟑
• Si AQ es Mediana
y BW = 2(WR)
Q
R
Q
R
• Si AW = 2(WQ)
y BW = 2(WR)
Punto de concurrencia de las alturas en un triángulo.
B
CA
P
• Si ∆ABC es 
obtusángulo:
A
B
C
CIRCUNFERENCIA INSCRITA ,CIRCUNSCRITA Y EXINSCRITAORTOCENTRO.
• Si ∆ABC es 
rectángulo
A
B
C
A C
B
R
P
Q
H: Ortocentro
H
H ∈ R. 
interior H ∈ R. exterior
B:Ortocentro
• Si ∆ABC es 
acutángulo:
H
R
Q
W
Si QBPW :Inscriptible
W: OrtocentroSe cumple:
Otro caso para reconocer 
al ortocentro. Teorema para tener en cuenta.
𝛼
α
α
A
B
C
H
P
Q
𝒙
𝒚
• Como H es ortocentro:
m∢ABH= m∢ACH=α
• Por ∢ inscrito (rebote):
m∢ACP=α
• El ∆HCP es isósceles:
HQ=QP
∴ 𝒙= 𝒚
Si H es ortocentro del ∆ABH 
Se cumple: 𝒙= 𝒚
Recuerda.
UNI 2003-I
Se tiene un triángulo equilátero, donde la distancia del 
ortocentro a la recta que une los puntos medios de dos
lados del triángulo es 2. Calcule la longitud del lado del 
triángulo.
𝐴) 2 B) 2 3 C) 4
D)4 3 E)8 3
Resolución
A C
B
60°
𝟔𝟎° 𝟔𝟎°• Trazamos dos alturas y 
ubicamos al ortocentro H
NM
H
• AM=MB y BN=NC
• Trazamos la recta MN
• Del dato :
d (H; MN )=𝟐
𝟐
𝟑𝟎°
𝟑𝟎°
• MNes base media del
∆ABC y mide 𝟒 𝟑
𝟐 𝟑𝟐 𝟑
∴ 𝒙 = 𝟖 𝟑
Clave 𝑬
• Sea el ∆ABC equilátero cuyo lado mide 𝒙
Piden: 𝒙
𝒙
CIRCUNFERENCIA INSCRITA ,CIRCUNSCRITA Y EXINSCRITAINCENTRO.
A
B
C
I: incentro
• Si la C es inscrita al 
∆ABC:
O: Incentro
r: Inradio
A
B
CQ
α α
R
𝜷
𝜷
C
O r
P
𝜽
𝜽
OBSERVACIÓN:
Coincide con el centro de 
la circunferencia inscrita 
en el triángulo, a cuyo radio
se le denomina inradio.
Sea I incentro del ∆ABC 
A
B
C
I
PA=PI=PC
P
I2 : Incentro del ∆BHC 
I1: Incentro del ∆ABH 
A
B
CH
I1
I2
𝒙
𝒙=𝟒𝟓°
Punto de concurrencia de las tres bisectrices interiores en todo triángulo.
Otro caso para reconocer al incentro.
Teoremas para tener en cuenta.
A
B
C
90°+ 
𝜽
𝟐
• Si CP es bisectriz y 
m∢APC= 90°+ 
θ
2
P: Incentro
P
α
α
Se cumple:
Se cumple:
Se cumple:
𝜽
I
𝒅
𝒅
𝒅
UNI 2017-II
En un triángulo rectángulo ABC recto en B, AC=2AB. Si 
AC= 6cm, calcule la longitud (en cm) de IM, donde M es 
el punto medio de AC e I es el incentro del triángulo 
ABC .
𝐴)3 3 − 3 B)3 2 − 3 C)3 3 + 3
D)3 2 + 3 E)3 3
Resolución
• Dato : AC=2AB=𝟔
𝟔
𝟑
• Trazamos dos bisectrices interiores y 
ubicamos al incentro I
I
𝟒𝟓°
𝟒𝟓°
A
B
C
𝟑𝟎°
𝟑𝟎°
M
𝟑
𝟑
Piden: IM= 𝒙
𝒙
• ∆BAI ≅ ∆MAI (LAL)
m∡IMA = 𝟒𝟓°
45°
• Trazamos IH ⊥ AM
H
r
r
=r 𝟐
𝒙= r 𝟐
r 𝟑
• En AM: r( 𝟑+1) =3
𝒙 = 𝟑( 𝟔− 𝟐
𝟐
)• Reemplazando:
r = 
3( 𝟑−1)
2
= 3 ( 𝟔− 𝟐
𝟐
)𝟐
∴ 𝒙 = 3 2 − 3 Clave 𝑩
𝟑𝟎°
𝜶
𝜶
CIRCUNFERENCIA INSCRITA ,CIRCUNSCRITA Y EXINSCRITAEXCENTRO.
E: Excentro
𝜽
𝜽
A
B
C
𝜷
𝜷
OBSERVACIÓN:
Coincide con el centro de una 
Circunferencia exinscrita al 
triángulo, a cuyo radio se le 
denomina exradio.
A
B
C
O
C
r
• Si la C es exinscrita al 
∆ABC relativa al lado BC:
O: Excentro
r: Exradio
A
B
C
I
E
I: Incentro del 
∆ABC 
E: Excentro del
∆ABC 
A,I y E son colineales 
A
B
C
I
I: Incentro del 
∆ABC 
E: Excentro del
∆ABC 
E
M
IM=ME
Punto de concurrencia de dos bisectrices exteriores y una interior en todo triángulo.
Otro caso para reconocer al excentro.
A
B
C
𝜽
90° -
𝜽
𝟐
P
• Si m∢BPC= 90°-
θ
2
y CP es bisectriz
P: Excentro
Teoremas para tener en cuenta.
IBEC es inscriptible
Se cumple:
Se cumple:
α
α
E
Se cumple:
𝒅
𝒅
UNI 2003-I
Tres rectas se intersecan dos a dos. ¿Cuántos puntos del 
plano, determinado por dichas rectas, equidistan de las 
tres rectas.?
𝐴) Uno B) Dos C) Tres
D)Cuatro E)Cinco
Resolución
• Las rectas determinan el plano P y en él un ∆ABC.
A
B
C
• La pregunta es equivalente a pedir la 
cantidad de puntos que equidistan de 
los lados del ∆ABC en ese plano.
• Analizando las regiones asociadas al ∆ABC
➢ En la región interior tenemos al incentro
rr
r
➢ En la región exterior tenemos a los excentros
d
d
d
I
𝑬𝑨
𝑬𝑪
𝑬𝑩
Luego los puntos son: I, 𝐄𝐀, 𝐄𝐁 y 𝐄𝐂
∴ 𝐑𝐞𝐬𝐩𝐮𝐞𝐬𝐭𝐚: 𝐒𝐨𝐧 𝟒 𝐩𝐮𝐧𝐭𝐨𝐬
Clave 𝑫
A
B
C
CIRCUNFERENCIA INSCRITA ,CIRCUNSCRITA Y EXINSCRITACIRCUNCENTRO.
A
B
C
ℒ3 ℒ2
O: Circuncentro
ℒ1
OBSERVACIÓN:
Coincide con el centro de la 
Circunferencia circunscrita 
al triángulo, a cuyo radio se 
le denomina Circunradio.
• La C es circunscrita al 
∆ABC:
A
B
C
C
O
R
O: Circuncentro
R: Circunradio
A
B
C
𝜽
𝟐𝜽
W
d d
Se cumple:
w: Circuncentro
A
B
C
H O
Si H es ortocentro 
y O es Circuncentro 
𝜽
α
𝜶 = 𝜽
A
B
C
H O
Si H es ortocentro 
y O es Circuncentro 
𝒂 = 𝟐𝒃
𝒂
𝒃
Punto de concurrencia de las mediatrices de los lados de todo triángulo.
Otro caso para 
reconocer al 
circuncentro.
Teoremas para tener en cuenta.
Importante.
R
R
R
El circuncentro equidista 
de los vértices Se cumple: Se cumple:
O
𝒂 𝒂
𝒃
𝒃
𝒄
𝒄
O
Si O es 
Circuncentro 
UNI 2003-I
La suma de dos ángulos exteriores de un triángulo mide 
270°, el lado mayor mide 48m. Hallar la distancia del 
baricentro al circuncentro.
𝐴) 6m B) 8m C) 12m
D)16m E)20m
Resolución
• Sean 𝑒1+ 𝑒2+ 𝑒3 las medidas de los ángulos exteriores del ∆ABC 
• Sabemos que 𝑒1+ 𝑒2+ 𝑒3 =360°
Por dato: 𝟐𝟕𝟎° + 𝑒3 =360° 𝑒3 =90°
• Luego el ∆ABC es triángulo rectángulo, 
• Si ∆ABC es 
rectángulo :
OA
B
C
O es circuncentro 
del ∆ABC y 
coincide con el 
punto medio de la 
hipotenusa.
A
B
C
sean G y O su baricentro 
y circuncentro respectivamente.
G
O
Piden: GO= 𝒙
𝟒𝟖
• Trazamos 𝐵𝑂
𝒙 BG=2(GO) =2𝒙
𝟐𝒙
• Por teorema de la mediana:
𝟐𝟒 𝟐𝟒
𝟐𝟒
BO=𝟐𝟒 =𝟑𝒙
∴ 𝒙 = 𝟖𝒎 Clave 𝑩
OBSERVACIÓN
• Por dato se deduce : AC= 𝟒𝟖
CIRCUNFERENCIA INSCRITA ,CIRCUNSCRITA Y EXINSCRITAALGUNOS ANEXOS .
ി𝐄 : Recta de Euler
del ∆ABC 
Se cumple:
HG = 𝟐(GO)
A
B
C
H G O
𝐸
𝒂𝟐𝒂
Nota:∆ABC no es equilátero
IMPORTANTE:
Si m∢ABC=60°
y ിE es la recta de 
Euler 
Se cumple:
∆ PBQ: Equilátero
BH=BO
𝐸
P
Q
A
B
C
G
H
O
𝟔𝟎°
Recuerda: Ángulos asociados a algunos puntos notables.
A
B
C
𝜽
𝒙
H
Si H es Ortocentro
𝜭+ 𝒙=𝟏𝟖𝟎°A
B
C
𝜽
𝒙
I
• Si I es incentro:
𝒙 = 𝟗𝟎°+ 
𝜽
𝟐
A
B
C
𝜽
x
O
• Si o es circuncentro:
𝒙=𝟐𝜭
• Si E es excentro:
𝒙 = 𝟗𝟎° -
𝜽
𝟐
E
A
B
C
𝜽
𝒙
A
B
C
𝜽 𝒙 = 
𝜽
𝟐
E• Si E es excentro:
𝒙
𝒅
𝒅
AHOC: inscriptible
w w w. a c a d e m i a c e s a r v a l l e j o . e d u . p e