Semestral Uni - Geometría semana 08

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SEMEJANZA DE 
TRIÁNGULOS. 
GEOMETRÍA 
SEMANA 08 
3 Destacar la importancia de este tema, al ser frecuente en los diferentesexámenes de admisión.
OBJETIVOS
1 Entender a la semejanza como una herramienta que nos permite aplicar los criterios aprendidos en el tema de Proporcionalidad.
2
Aprender qué es lo que hace que dos figuras tengan la misma forma
incluso al tener dimensiones diferentes y como esto ayuda al avance 
de la matemática.
SEMEJANZA
La semejanza es una de las
operaciones geométricas, mediante la cual
relacionamos dos figuras que tienen la
misma forma, pero que generalmente son
de diferente tamaño. Es de suma
importancia conocer sus características
para poder realizar diversas
construcciones que implican trabajos a
gran escala luego del implemento de la
maquetación del proyecto.
Su aplicación se presenta en
casi todos los campos, que van desde los
diseños arquitectónicos, hasta la
matemática más abstracta o aplicativa
como la de los fractales.
𝜶
𝜽
𝜽
𝜶
SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS.
Para reconocer si dos triángulos son semejantes, basta con observar si ellos tienen dos de 
sus medidas angulares respectivamente iguales.
NOTA : Las lineas notables homólogas
también están relacionadas en la 
proporcionalidad.
A
B
C
M
N
P
𝒂
𝒃
𝒉𝟏
𝒉𝟐
= 
𝑴𝑴𝑴𝑴𝑴
𝒉𝟐.𝒄𝒔𝒄
𝒂
𝒃
= 𝒉𝟏
𝒉𝟐
Lados homólogos:
Son aquellos que se oponen 
A medidas angulares iguales 
En diferentes triángulos.
Teorema:
En dos triángulos 
semejantes sus lados 
homólogos son
proporcionales.
En el gráfico:
𝐵𝐶 y 𝑁𝑃
𝐴𝐶 y 𝑀𝑃
𝐴𝐵 y 𝑀𝑁
𝒂
𝒃
𝒉𝟏. 𝒄𝒔𝒄𝜭
𝒉𝟐. 𝒄𝒔𝒄𝜭
Luego:
A
B
C
P Q
∆ABC ~ ∆PBQ
A
B
C
PQ
∆ABC ~ ∆PBQ
𝜶
𝜶
A
B
C
P
Q
∆ABC ~ ∆QBP
𝜶𝒙
𝒂
𝒃
Se cumple:
𝒙𝟐 = 𝒂. 𝒃
Teorema de 
antiparalelas.
𝒙
𝒂
𝒃
𝒙 = 
𝒂.𝒃
𝒂+𝒃
Se cumple:
Teorema
Nota: Este teorema es
recíproco.
SITUACIONES USUALES DONDE SE PRESENTA SEMEJANZA.
𝜶
A
B
CP
∆ABC ~ ∆APB
UNI 2011-I
ABCD es un cuadrilátero inscrito en una circunferencia de 
radio r y circunscrito a una circunferencia de radio R. Si 
𝐵𝐷 interseca a 𝐴𝐶 en I, 3BI = AI y AB + CD = 𝑎 𝑐𝑚 (𝑎 >0), 
calcule la longitud (en cm ) de 𝐵𝐶.
𝐴)
𝑎
2
B)
𝑎
3
C)
𝑎
4
D)
𝑎
5
E)
𝑎
6
Resolución
A
B
C
D
R
r
I
𝒂
𝟑𝒂
Datos: 3𝐵𝐼= A𝐼
𝐴𝐵+ 𝐶𝐷= 𝑎 cmPiden: BC = 𝒙
𝒎
𝒏
𝒎 + 𝒏
m∢𝐵𝐶𝐴 = m∢𝐴𝐷𝐵 = 𝜶
𝜶
𝜶
m∢𝐵𝐼𝐶 = m∢𝐴𝐼𝐷 = 𝜽
𝜽
𝜽
• ∆BCI ~ ∆ADI : = 
𝑯𝑩𝑩𝐴𝐷
𝒙
𝟑𝒂
𝒂
𝐴𝐷 = 𝟑𝒙
• Por teorema de Poncelet
𝒎 + 𝒏 = 𝒙 + 𝟑𝒙
𝒂
∴ 𝒙 =
𝒂
𝟒Clave 𝑪
TEOREMA
• ABCD: Inscrito
A continuación algunas relaciones adicionales como resultado de la semejanza. 
A
B
C
P Q
A
B
C
PQ
Si 𝑃𝑄 ∥ 𝐴𝐶
y trazamos la ceviana 𝐵𝑁
N
Se cumple:
𝒂 𝒃
𝒙 𝒚
𝒂
𝒃
= 
𝒙
𝒚
Si 𝑄𝑃 ∥ 𝐴𝐶
y trazamos la ceviana 𝐵𝑁
N𝒂 𝒃
para luego prolongarla
𝒙𝒚
Se cumple:
𝒂
𝒃
= 
𝒙
𝒚
𝜶
𝜶
𝒂
𝒃
𝒏
𝒎
𝒙
𝒂
𝒃
Se cumple:
𝒙𝟐 = 𝒂. 𝒃
Se cumple:
𝒂. 𝒃 = 𝒎.𝒏
A
B
C
P Q
RS
Si PQRS es 
un cuadrado
𝒙
𝒃
𝒉
𝒙 =
𝒃 .𝒉
𝒃+𝒉
Se cumple:
UNI 2002-II
Sea ABCD un cuadrado de lado 𝐿, M es el punto 
medio del lado 𝐴𝐷, E es un punto en el lado 𝐴𝐵, 
P es la intersección de 𝑀𝐵 con 𝐸𝐶 y F es tal que 
𝐷𝐹 contiene a P (F e 𝐸𝐵). Sabiendo que AE =EF. 
Calcula FB.
𝐴)
2
2
L B)
𝐿
2
C)
𝐿
3
D)
𝐿
4
E)
2
3
L
Resolución
A B
CD
𝑳
𝑳
M
E
P
F𝒂 𝒂
Piden: FB = 𝒙
𝒙
𝑳
𝟐
𝑳
𝟐
• Prolongamos 𝐵𝑀 y 𝐶𝐷 .
H
• ∆𝐻𝐵𝐶: 𝑀𝐷 es base media. 
HD = DC
𝒃 𝒃
• Por la observación: 𝒙 = 𝒂
∴ 𝒙 =
𝑳
𝟑
Clave 𝑪
𝟑𝒂 = 𝑳
OBSERVACIÓN
UNI 2018-I
Según el gráfico AM = 1u, AC = 2u y AB = 3u. 
Calcule BC (en u). 
𝐴)4 B) 17 C)5
D)6 E)7
B
M
C
A
B
M
C
A
Resolución
𝟏 𝟐
𝟑
Piden: BC = 𝒙
𝑳
• Trazamos la tangente por B. 
OBSERVACIÓN
• Por observación: ി𝐿 ∥ 𝐴𝑁
m ෢𝐵𝑁 = m෢𝐵𝐴 = 𝟐𝜶
𝟐𝜶
𝟐𝜶
𝜶
• ∆BCA : Por semejanza.
𝟑(𝟐)= 𝟏(𝒙)
∴ 𝒙 = 𝟔Clave 𝑫
NOTA:En este problema el 
triángulo ABC no cumple con 
el teorema de existencia. 
N
∆ABC ~ ∆PQR
𝒂𝒌
𝒃𝒌
𝒂
𝒃
𝜶
P
Q
R
A
B
C
𝜶
También:
UNI 1995-II
En un trapezoide ABCD la longitud del segmento que une 
los puntos medios de 𝐵𝐶 y 𝐴𝐷 es 𝐿 unidades. Las prolonga-
ciones de los lados 𝐴𝐵 y 𝐷𝐶 se intersecan en el punto E. 
Hallar la longitud del segmento que une los baricentros de 
las regiones triangulares BEC y AED.
𝐴)
𝐿
3
B)
𝐿
2
C)
2𝐿
3
D)
4𝐿
5
E)
3𝐿
4
A
B
C
D
Resolución
N
M
E
𝐺1
𝟐𝒂
𝒂
𝐺2
𝟐𝒃
𝒃
Piden: 𝐺1𝐺2 = 𝒙
𝒙
𝑳
• Sea la m∢𝑀𝐸𝑁= 𝜶
𝟐𝒂
𝟐𝒃
𝒙
3𝒂
3𝒃
𝑳
• ∆ 𝐺2𝐸𝐺1 ~ ∆MEN
= 
𝑯𝑩𝑩𝒙
𝑳
𝟐𝒂
𝟑𝒂 ∴ 𝒙 = 
𝟐𝑳
𝟑 Clave 𝑪
En dos figuras semejantes las líneas 
homólogas determinan ángulos de 
igual medida en una y en la otra figura 
respectivamente.
PRACTIQUEMOS. 
APLICACIÓN:
Del gráfico halle la relación entre 𝑥, 𝑧 e 𝑦.
𝒚
𝒛
𝒙
Resolución
𝒚
𝒛
𝒙
A
B
CO
T
M
N
• AMNC: Inscrito
m∢𝐴𝐶𝐵 = m∢𝐵𝑀𝑁 = 𝜶
𝜶
• Como sabemos:
∆ABC ~ ∆NBM 
• Analizando el gráfico 
O y T son puntos medios.
• 𝐵𝑂 y 𝐵𝑇 son medianas 
Homólogas.
• Las mediatrices de 𝐴𝐶 y 𝑀𝑁 también son homólogas.
𝑥+ 𝑦
En dos figuras semejantes las líneas 
homólogas determinan ángulos de 
igual medida en una y en la otra figura 
respectivamente.
∴ 𝒙+ 𝒚= 𝒛
TEOREMAS 
ADICIONALES
RELACIONES OBTENIDAS GENERANDO SEMEJANZA
𝒎
𝒏
𝒙 =
𝒂.𝒎+ 𝒃.𝒏
𝒎+𝒏
Se cumple:
𝒙
𝒂
𝑏
Para un Trapecio. 
Se cumple:
𝒙𝟐 = 𝒂. 𝒃
P
𝒙
𝒂 𝒃
Si T y Q son puntos de tangencia.
Para una circunferencia. 
𝜷 𝜷
𝜷
𝜷
𝜽
𝜽
𝜽
𝜽
DEMOSTRACIÓN:
• Por la observación:
m∢ATP = m∢TQP = 𝜷
m∢BQP = m∢QTP = 𝜽
• ∆APC ~ ∆CPB:
𝑥
𝒃
= 
𝒂
𝑥
∴ 𝒙𝟐 = 𝒂. 𝒃
A B
C
𝒙
𝒂 𝒃P
T Q
T Q
Caso 1:
Si T es punto de tangencia.
Se cumple:
𝒙𝟐 = 𝒂. 𝒃
• Por la observación 
anterior:
m∢𝐵𝐴𝑇= m∢𝐵𝑇𝑄 = 𝜷
m∢𝐴𝐵𝑇 = m∢𝐴TP = 𝜽𝜷
𝜽
• 𝒙 = 𝒂. 𝒄𝒔 𝒄𝜭 . ( )
• 𝒙 = 𝒃. 𝒄𝒔 𝒄𝜭 . ( )
𝒔𝒆𝒏𝜷
𝒔𝒆𝒏𝜭
∴ 𝒙𝟐 = 𝒂. 𝒃
Para una circunferencia. 
Caso 2:
T
OBSERVACIÓN
DEMOSTRACIÓN:
𝑏
A
B
TP Q
• TAPC y CPBQ
son inscriptibles:
w w w. a c a d e m i a c e s a r v a l l e j o . e d u . p e